Ejercicios: Identificación del modelo funcional adecuado

La gráfica muestra los datos de usuarios mensuales de una plataforma de podcasts durante su primer año, como se muestra en la figura.

¿Cuál de estos modelos funcionales describe mejor la tendencia: lineal, cuadrático, exponencial o logarítmico? Justifica tu elección descartando al menos dos de los otros modelos.

Se mide la temperatura de una taza de café cada $5$ minutos tras servirla:

• a) Representa los puntos y explica por qué un modelo lineal no es adecuado.

• b) Sabiendo que la temperatura ambiente es de $22\ ^\circ$C, razona qué tipo de modelo (con qué asíntota) describe mejor el enfriamiento.

Verdadero o falso, razonando la respuesta con un contraejemplo: «Cualquier conjunto de datos que crece se ajusta bien a un modelo lineal».

Estos datos muestran el coste de imprimir carteles en función del número de unidades:

• a) Comprueba que las diferencias entre costes consecutivos son constantes.

• b) ¿Qué modelo funcional conviene? Determina su expresión y calcula cuánto costarían $100$ carteles.

La figura muestra tres nubes de puntos correspondientes a tres fenómenos distintos, como se muestra en la figura.

Asocia cada gráfica con uno de estos fenómenos y con el modelo funcional que mejor le conviene, justificando cada asignación:

• 1. La altura de una pelota lanzada hacia arriba en función del tiempo.
• 1. Los seguidores de una cuenta que crece por recomendaciones entre usuarios.
• 1. El gasto mensual en transporte de una familia en función del número de trayectos realizados.

La población de un pequeño pueblo con acceso limitado de vivienda ha pasado de $800$ a $1.600$ habitantes en diez años, pero el ritmo de crecimiento se está frenando a medida que se ocupan las viviendas disponibles (capacidad máxima estimada: $2.000$ habitantes).

• a) Explica por qué un modelo exponencial puro no sería realista a largo plazo.

• b) ¿Qué modelo con asíntota horizontal sería más adecuado? Describe su forma y sus parámetros cualitativos.

• c) ¿Qué predicción a $30$ años daría cada modelo? Comenta la diferencia.

Los casos semanales de una epidemia de gripe en una comarca han sido:

• a) Representa los datos y razona por qué ni un modelo exponencial ni uno logístico describen todo el proceso.

• b) Propón qué tipo de modelo (o combinación de modelos a trozos) podría ajustarse a cada fase del fenómeno, justificándolo.

• c) ¿Qué predicción razonable harías para la semana $10$?

Un analista ajusta los datos del consumo eléctrico mensual de un municipio (que es alto en invierno, bajo en primavera y vuelve a subir en verano por el aire acondicionado) con un polinomio de segundo grado.

• a) Razona por qué un modelo cuadrático puede dar predicciones absurdas a medio plazo para este fenómeno.

• b) ¿Qué familia de funciones sería más adecuada para un fenómeno que se repite cada año? Escribe la forma general de ese modelo y explica el significado de sus parámetros.

• c) ¿Qué precaución general hay que tener al extrapolar cualquier modelo ajustado a datos?