Ejercicios: Dominio, simetría, cortes y monotonía

Un grupo de estudiantes de 2º de Bachillerato ha diseñado una aplicación para organizar eventos. El beneficio esperado en euros, $B(x)$, depende del número de usuarios registrados $x$ (en cientos) según la función:

$B(x) = x^2 - 10x + 8$

Se pide:

1. Determina el dominio de la función considerando que $x$ representa una cantidad física.

2. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Estudia la simetría de las siguientes funciones, indicando en cada caso si son pares, impares o no presentan simetría:

1. $f(x) = x^4 - 5x^2 + 2$

2. $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía) de la función polinómica:

$f(x) = -x^2 + 8x - 12$

Indica las coordenadas del vértice y especifica si se trata de un máximo o un mínimo relativo.

Halla el dominio de definición de cada una de estas funciones, razonando la respuesta:

• a) $f(x) = \sqrt{x - 3}$

• b) $g(x) = \ln(x + 2)$

• c) $h(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$

Sea la función $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

• a) Determina su dominio de definición.

• b) Halla los puntos de corte con los ejes.

• c) Estudia su simetría y, con la información anterior, esboza su gráfica. ¿Qué figura conocida forma?

El número de socios de un club de lectura durante sus primeros años se ajusta a $N(t) = t^3 - 12t + 60$, con $t$ en años y $0 \leq t \leq 4$.

• a) Estudia en qué intervalos de tiempo el club ganó y perdió socios.

• b) Halla los extremos relativos e interprétalos en el contexto.

• c) ¿Cuál fue el número mínimo de socios en ese periodo?

Determina los valores del parámetro $a$ para los que el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{x^2 + ax + 4}$ es todo $\mathbb{R}$. Razona tu respuesta usando el discriminante del denominador.

Razona si cada afirmación es verdadera o falsa:

• a) «Si $f$ es una función impar definida en $x = 0$, necesariamente $f(0) = 0$».

• b) «Si una función es par, su gráfica no puede cortar al eje $X$».

• c) «La suma de dos funciones impares es siempre una función impar».