Ejercicios: Contraste de hipótesis

En el control de calidad de una fábrica de patatas fritas, se desea comprobar si el peso medio de las bolsas es realmente de $150$ gramos, como indica el envase. Se sabe que la desviación típica poblacional es $\sigma = 5$ gramos. Si se sospecha que las bolsas pueden pesar tanto más como menos de lo indicado:

1. a) Plantea las hipótesis $H_0$ y $H_1$.

1. b) Si fijamos un nivel de significación de $\alpha = 0,05$, calcula los valores críticos $z_{\alpha/2}$ que delimitan la zona de aceptación.

Estamos realizando un contraste de hipótesis bilateral para la media de una población normal con $\sigma$ conocida. Tras calcular el estadístico de contraste con los datos de una muestra, obtenemos un valor de $z_{exp} = 2,15$.

Si los valores críticos para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ son $-1,96$ y $1,96$, razona si debemos aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Explica con tus propias palabras qué significa cometer un Error de Tipo I en el contexto de un estudio que intenta probar si un nuevo método de estudio mejora las notas de matemáticas (donde $H_0$ es que el método no produce mejoras).

Se está probando un nuevo modelo de zapatillas de running diseñado para aumentar el rendimiento. El fabricante establece la hipótesis nula $H_0$: "El rendimiento medio con el nuevo modelo es igual al del modelo anterior" frente a la alternativa $H_1$: "El rendimiento medio es superior".

Explica razonadamente qué significaría cometer un error de tipo I y un error de tipo II en este contexto práctico. ¿Cuál de los dos errores crees que sería más perjudicial para la imagen de marca de la empresa si se descubre posteriormente?

En un estudio sobre sostenibilidad, se sabe que hace dos años el $30\ \%$ de los jóvenes de una localidad utilizaba el transporte público para ir al instituto. Tras una campaña de concienciación ambiental, se quiere comprobar si este porcentaje ha aumentado. Se toma una muestra aleatoria de $150$ jóvenes y se observa que $54$ de ellos usan ahora el transporte público.

A partir de estos datos, y con un nivel de significación del $5\ \%$, ¿se puede concluir que la campaña ha sido efectiva y la proporción de usuarios ha aumentado? Plantea el contraste correspondiente.

Un centro de salud afirma que la proporción de fumadores en la población de jóvenes entre 16 y 18 años es del $15\ \%$. Para verificarlo, se realiza un estudio sobre una muestra de $400$ jóvenes de ese rango de edad, resultando que $72$ de ellos fuman.

Calcula el p-valor (probabilidad de obtener un resultado tan extremo o más que el observado bajo la hipótesis nula) para un contraste bilateral. A la vista del resultado, ¿rechazarías la afirmación del centro de salud para un nivel de significación estándar de $\alpha = 0,05$?

Se ha realizado un estudio sobre el gasto mensual en ocio de los estudiantes universitarios de una ciudad, asumiendo que sigue una distribución normal con $\sigma = 20$ euros. Se ha obtenido para la media un intervalo de confianza al $95\ \%$ de $(75,1; 84,9)$.

Sin realizar nuevos cálculos de tipificación, utiliza la relación entre intervalos de confianza y contrastes de hipótesis para responder: ¿Se rechazaría la hipótesis nula $H_0: \mu = 70$ euros frente a $H_1: \mu \neq 70$ euros con un nivel de significación de $\alpha = 0,05$? ¿Y si la hipótesis nula fuera $H_0: \mu = 80$ euros? Justifica tu respuesta.

Un estudio sobre salud mental juvenil indica que el tiempo medio diario que los estudiantes de 2º de Bachillerato pasan en TikTok es de $120$ minutos, con una desviación típica de $30$ minutos. Un orientador de un instituto cree que en su centro, debido a la presión de la EBAU, el tiempo medio es significativamente menor. Toma una muestra aleatoria de $50$ alumnos y obtiene una media de $112$ minutos.

1. a) Define el contraste de hipótesis adecuado para la creencia del orientador.
2. b) Calcula el p-valor de la muestra obtenida.
3. c) Si se utiliza un nivel de significación del $1\%$, ¿qué conclusión debería extraer el orientador? ¿Y si el nivel de significación fuera del $5\%$?

En un debate sobre sostenibilidad, se afirma que el $75\%$ de los jóvenes de una ciudad separan los envases de plástico del resto de la basura. Para verificarlo, se selecciona una muestra de $150$ jóvenes y se observa que $105$ de ellos reciclan correctamente.

1. a) Plantea el test de hipótesis para comprobar si la proporción real es inferior a la afirmada.
2. b) ¿Es aceptable la afirmación inicial para un nivel de significación del $10\%$?
3. c) Supongamos que la proporción real fuera del $65\%$. ¿Qué decisión se tomaría más probablemente con este test si la muestra fuera de solo $20$ personas? Razona sobre la importancia del tamaño de la muestra en la potencia del test.

Se desea investigar si un nuevo método de estudio mejora el rendimiento en Matemáticas. La nota media histórica en una comunidad es de $6,4$ con una desviación típica $\sigma = 1,2$. Se aplica el nuevo método a un grupo experimental de $36$ alumnos y se obtiene una nota media de $6,9$.

1. a) Realiza un contraste de hipótesis unilateral para un nivel de significación $\alpha = 0,05$.
2. b) Si el intervalo de confianza al $95\%$ para la media de este grupo fuera $(6,508 ; 7,292)$, ¿podrías haber respondido al apartado anterior sin calcular el estadístico de contraste? Explica la relación entre intervalos de confianza y contraste de hipótesis.