Ejercicios: Derivada de una función en un punto

Un creador de contenido ha observado que el número de seguidores de su canal durante la primera semana sigue la función $f(t) = t^2 + 2t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días.

Calcula la Tasa de Variación Media (T.V.M.) del número de seguidores entre el segundo día ($t = 2$) y el quinto día ($t = 5$). ¿Qué significado tiene este valor en el contexto del problema?

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y la recta tangente a la misma en el punto $P$.

A partir de la información visual, indica razonadamente cuál es el valor de la derivada de la función en el punto de abscisa $x = 2$, es decir, halla $f'(2)$.

Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula el valor de su derivada en el punto $x = 3$ utilizando la definición de derivada mediante el límite:

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = 3x^2 - 5$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Nota: Recuerda que la ecuación de la recta tangente viene dada por $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

El número de descargas de una nueva App de moda, en miles, viene dado por la función $D(t) = 2t^2 - t$, donde $t$ es el tiempo en horas desde su lanzamiento.

Calcula la velocidad instantánea de descarga (la derivada) en el instante $t = 4$ horas utilizando el límite:

Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x}$, calcula $f'(2)$ aplicando la definición de derivada en un punto. Explica si la función está creciendo o decreciendo en ese punto basándote en el signo del resultado.

Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 6x$ en los que la recta tangente es horizontal.

Ayuda: Una recta es horizontal cuando su pendiente es igual a cero.

Se considera la función definida a trozos:

Estudia la derivabilidad de la función en el punto $x = 2$ comprobando si las derivadas laterales existen y son iguales. ¿Es la función continua en dicho punto?

Utiliza la definición de derivada en un punto mediante el cálculo del límite:

para hallar el valor de la derivada de la función $f(x) = \frac{3}{x-2}$ en el punto de abscisa $x = 4$. Explica el significado geométrico del resultado obtenido en relación con la pendiente de la curva en ese punto.

Una empresa de mensajería ha comprobado que el coste de envío de un paquete (en euros) depende de su peso $x$ (en kg) según la función $C(x) = \sqrt{4x + 9}$. Calcula, usando la definición de derivada como límite, la tasa de variación instantánea del coste para un paquete que pesa exactamente $4$ kg e interpreta el resultado en términos económicos (coste marginal).

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 5x + 2$ en el punto donde la función corta al eje de ordenadas ($eje \ Y$).

Dada la función definida a trozos:

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 2$. Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él.

El número de usuarios de una nueva red social (en miles) evoluciona según la función $U(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Se pide:

1. Hallar la tasa de variación media de usuarios entre el mes $t=1$ y el mes $t=3$.

2. Hallar la tasa de crecimiento instantáneo (derivada) en el mes $t=2$ mediante las reglas de derivación y comparar ambos valores.

Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + 5$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = 1 - 2x$.

Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = |x^2 - 4|$ en el punto $x = 2$ calculando sus derivadas laterales. Interpreta gráficamente por qué la función no es derivable en ese valor de la abscisa.

Halla la ecuación de la recta normal a la curva $f(x) = e^{x-1} + 2x$ en el punto de abscisa $x = 1$. Recuerda que la recta normal es perpendicular a la recta tangente en el punto de contacto.

Una empresa de logística ha modelizado el coste de mantenimiento de su flota de furgonetas eléctricas mediante una función $f(x)$ definida por tramos. Para asegurar que no existan cambios bruscos en los costes operativos, la función debe ser derivable en todo su dominio. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 1$:

Calcula, utilizando exclusivamente la definición de derivada mediante el límite del cociente incremental ($h \to 0$), el valor de $f'(4)$ para la función:

Justifica cada paso del proceso, especialmente la eliminación de la indeterminación.

La trayectoria de un dron de reparto sigue la curva $f(x) = x^2 - 6x + 8$ (en hectómetros). El operador del dron quiere programar una maniobra de aproximación en línea recta desde un punto $P(a, f(a))$ de la trayectoria, de tal forma que la recta tangente a la curva en ese punto pase exactamente por la estación de carga, situada en el origen de coordenadas $(0,0)$.

Halla las coordenadas de los posibles puntos de tangencia y las ecuaciones de dichas rectas.

Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = x \cdot |x - 2|$ en el punto $x = 2$. Para ello:

1. Expresa la función como una función definida a trozos.

2. Calcula las derivadas laterales en $x = 2$ usando la definición de derivada.

3. Interpreta gráficamente si el punto $(2, f(2))$ es un "punto anguloso" o un punto de "transición suave".

La función de ingresos de una startup tecnológica viene dada por $I(x) = \frac{400x}{x+2}$, donde $x$ es la inversión en marketing en miles de euros e $I(x)$ los ingresos en miles de euros.

1. Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) en el intervalo $[2; 2,5]$.

2. Calcula la Tasa de Variación Instantánea (derivada) en $x = 2$.

3. ¿Qué error se comete si usamos la derivada en $x=2$ para estimar el incremento de ingresos al pasar de 2 a 2,5 miles de euros de inversión?

Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x) = e^{2x-4}$ en el punto donde la gráfica corta a la recta horizontal $y = 1$. Recuerda que la recta normal es perpendicular a la tangente en el punto de contacto.

Se considera la función $f(x) = \frac{k}{x^2+1}$. Determina el valor del parámetro $k \neq 0$ para que la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$ forme un ángulo de $135^\circ$ con el sentido positivo del eje $OX$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación de dicha recta tangente.

Dada la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, determina los valores de los parámetros $a, b$ y $c$ sabiendo que:

1. La gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 5)$.

2. La pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es mínima.

3. Existe un punto singular (derivada nula) en $x = 2$.

Pista: Para que la pendiente sea mínima en un punto, la derivada de la pendiente (segunda derivada de la función) debe anularse en dicho punto.