Ejercicios: Posición relativa de dos rectas

Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ y $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando directamente sus coeficientes.

Dadas las rectas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ y $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica su posición relativa justificando tu respuesta a partir del valor de sus pendientes.

Estudia la posición relativa de la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 5)$, y la recta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

Calcula las coordenadas exactas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 3x - y - 5 = 0$.

Averigua el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: kx + 4y - 2 = 0$ y $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sean estrictamente paralelas.

Dos drones de exploración siguen trayectorias rectilíneas descritas por las ecuaciones $r: x - y + 2 = 0$ y $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcula las coordenadas del punto del plano donde sus trayectorias se cruzan.

Determina la posición relativa de las rectas dadas en forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Halla el valor de $m$ para que las rectas $r: mx - 6y + 1 = 0$ y $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sean secantes y no paralelas.

En un sistema de seguridad, dos haces láser se modelan en un plano coordenado. El primer haz sigue la recta $r: x + y - 6 = 0$ y el segundo pasa por los emisores ubicados en $P(2, 1)$ y $Q(-2, -1)$. Determina si los haces láser son paralelos, coincidentes o si se cruzan. Si se cruzan, halla el punto exacto de intersección.

Las trayectorias de dos aviones en la pantalla de un radar bidimensional vienen dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Comprueba si las rutas se cruzan y, en caso afirmativo, calcula el punto de intersección de las trayectorias en el plano.

Discute la posición relativa de las rectas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ y $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $m$.

Calcula el valor de $k$ para que las rectas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ y $t: 3x + ky - 2 = 0$ se corten exactamente en el mismo punto del plano.

Un arquitecto diseña dos pasarelas rectas en un parque. La pasarela A sigue la dirección del vector $\vec{u} = (4, -2)$ y pasa por la fuente ubicada en $F(0, 5)$. La pasarela B viene dada por la ecuación $x + 2y - 10 = 0$. Demuestra analíticamente que ambas pasarelas se superponen, siendo en realidad la misma recta.

Halla las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la intersección de las tres rectas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ y $t: x + 4y - 12 = 0$.

Dadas las rectas $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ y $s: 3x - 2y + k = 0$, averigua si existe algún valor del parámetro $k$ para el cual las rectas sean coincidentes. Razona tu respuesta de forma analítica.

Un rayo de luz en un experimento de óptica sigue la trayectoria descrita por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. Un espejo plano está colocado exactamente sobre el eje de abscisas ($y = 0$). Determina las coordenadas del punto de incidencia del rayo sobre el espejo.

Discute la posición relativa de las rectas $r: ax + y - b = 0$ y $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando un análisis exhaustivo en función de los parámetros simultáneos $a$ y $b$.

Tres carreteras rectas se modelan en un plano topográfico mediante las ecuaciones $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: ax + y - 2 = 0$. Determina los valores del parámetro $a$ para los cuales las tres carreteras se cortan en un único punto o son paralelas entre sí, impidiendo que se forme un triángulo delimitado por ellas.

Un paralelogramo tiene dos de sus lados sobre las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$ y $s: x - 2y - 6 = 0$. Otro de sus lados se encuentra sobre la recta $t: 2x + y - 2 = 0$. Sabiendo que uno de los vértices del paralelogramo es el punto $P(4, 4)$, calcula la ecuación de la recta que contiene al cuarto lado y determina las coordenadas exactas de los cuatro vértices.

Determina el valor o valores de $k$ para que el punto de intersección de las rectas secantes $r: 2x + ky - 6 = 0$ y $s: x - y + 2 = 0$ pertenezca a la bisectriz del primer y tercer cuadrante ($y = x$).

Se considera la familia o haz de rectas definido por la expresión matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demuestra que todas las rectas que componen este haz se cortan en un mismo punto fijo y calcula sus coordenadas. A continuación, halla la ecuación general de la recta de este haz que es paralela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.

Una bola de billar sigue la trayectoria dada por la recta $r: x - y + 2 = 0$ y rebota en la banda representada por la recta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, calcula las coordenadas del punto exacto donde la bola impacta con la banda y averigua la ecuación de la recta que describe la trayectoria tras el rebote.

Dadas las rectas $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ y $s: ax + by - 5 = 0$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que ambas rectas sean idénticas. Posteriormente, halla la ecuación general de una recta perpendicular a ambas que pase por el origen de coordenadas.

Las órbitas proyectadas de dos cometas en un plano espacial siguen las trayectorias $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ y $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determina si existe algún momento (valor de $m$) en el que las trayectorias sean estrictamente paralelas. ¿Para qué valores de $m$ las órbitas se cruzan en un único punto?