Ejercicios: Radicales

Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica al máximo la expresión $\sqrt[6]{x^4 y^2 z^8}$, asumiendo que todas las variables representan números reales positivos.

Extrae todos los factores posibles del interior del siguiente radical, simplificando la expresión al máximo: $\sqrt[3]{108 a^5 b^7 c^3}$.

Reduce a índice común los radicales $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ y $\sqrt[6]{30}$, y ordénalos de menor a mayor justificando tu respuesta.

Realiza las sumas y restas de los siguientes radicales semejantes, extrayendo factores previamente para poder simplificar el resultado: $5\sqrt{18} - 2\sqrt{50} + \sqrt{8}$.

Multiplica los siguientes radicales del mismo índice y extrae los factores posibles del resultado final: $\sqrt[4]{27a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{3a^3b}$.

Calcula la potencia del siguiente radical y simplifica el resultado extrayendo todos los factores posibles (asume variables positivas): $(\sqrt[4]{8x^3y^2})^2$.

Simplifica la siguiente expresión aplicando la propiedad de la raíz de una raíz y expresando el resultado con un único radical: $\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}$.

Determina si los radicales $\sqrt[4]{25x^2}$ y $\sqrt{5x}$ son equivalentes para cualquier valor de $x > 0$. Justifica tu procedimiento utilizando exponentes fraccionarios.

Racionaliza el denominador de la siguiente expresión y simplifica el resultado final extrayendo factores si es posible: $\frac{6x}{\sqrt[5]{8x^2y^3}}$.

Racionaliza el denominador multiplicando por la expresión conjugada y simplifica operando el numerador: $\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}$.

Efectúa la siguiente operación combinada con radicales de distinto índice, expresando el resultado final con un único radical simplificado: $\frac{\sqrt{2x} \cdot \sqrt[3]{4x^2}}{\sqrt[6]{8x^5}}$.

El periodo $T$ de un péndulo simple viene dado por la fórmula física $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda y $g$ la gravedad. Si un ingeniero necesita que el nuevo periodo sea exactamente $\sqrt{2} + 1$ veces el periodo original, ¿por qué factor exacto debe multiplicar la longitud $L$ original? Expresa tu razonamiento algebraicamente desarrollando el binomio al cuadrado.

En un prisma rectangular, las longitudes de sus tres aristas concurrentes miden exactamente $\sqrt{2}$ m, $\sqrt{3}$ m y $\sqrt{5}$ m. Calcula el valor exacto de la diagonal espacial del prisma ($D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$) y el volumen del mismo, expresando ambos resultados en su forma radical más simple.

La tasa de interés compuesto anual $r$ (expresada en tanto por uno) necesaria para que un capital inicial $C_0$ se convierta en un capital final $C_n$ al cabo de $n$ años viene dada por $r = \sqrt[n]{\frac{C_n}{C_0}} - 1$. Calcula el valor exacto de la tasa $r$ si una inversión multiplica su valor por $\frac{5}{2}$ en exactamente 3 años. Racionaliza el radical resultante en tu respuesta.

Desarrolla la siguiente expresión utilizando las identidades notables para el cuadrado de una resta y el producto de binomios, y agrupa los términos semejantes: $(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

Según la Ley de Kleiber en biología, la tasa metabólica basal $R$ de un mamífero escala con su masa corporal $M$ según la relación $R = k \sqrt[4]{M^3}$, donde $k$ es una constante. Si un animal $A$ tiene una masa exactamente $27$ veces mayor que la de un animal $B$, determina la razón exacta $\frac{R_A}{R_B}$ utilizando propiedades de los radicales y extrayendo factores.

Simplifica al máximo la siguiente expresión con radicales anidados, reduciéndola a un único radical y extrayendo todos los factores posibles (asume que las variables son reales positivos):

$\sqrt[4]{\frac{x^3 y}{z} \sqrt[3]{\frac{z^2}{x y^2} \sqrt{\frac{x}{y}}}}$.

Racionaliza el denominador de la siguiente fracción que contiene tres términos radicales y simplifica el resultado final: $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$.

Demuestra algebraicamente que el número irracional $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ es, en realidad, un número entero. Plantea la ecuación $x^2$ y utiliza las identidades notables para resolverlo.

En un pentágono regular de lado $L = 2$ cm, la longitud de cualquier diagonal $D$ está relacionada con el lado mediante el número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, cumpliendo $D = L \cdot \Phi$. Traza una diagonal horizontal para dividir el pentágono en un triángulo isósceles superior y un trapecio isósceles inferior. Utilizando el teorema de Pitágoras, calcula el valor exacto de la altura total $h$ del pentágono sumando las alturas de ambas figuras. Expresa el resultado final de la forma más simplificada posible.

El factor de Lorentz en la teoría de la relatividad especial se define como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. Si una partícula subatómica viaja a una velocidad $v = \frac{\sqrt{5}}{3}c$, calcula el valor exacto de $\gamma$. Posteriormente, determina a qué velocidad exacta $v$ (en función de $c$) debe viajar para que el factor sea $\gamma = \sqrt{2} + 1$, racionalizando el resultado si es necesario.

La tensión máxima $S$ soportada por la base de una cúpula arquitectónica modelada mediante una sección cónica viene dada por la expresión $S = \frac{P}{\sqrt{a^2 + b^2 - a\sqrt{b}}}$. Si la carga estructural es $P = 14$ toneladas, con parámetros geométricos $a = \sqrt{2}$ y $b = 8$, calcula el valor exacto de la tensión $S$ racionalizando el resultado final.

Simplifica completamente la siguiente expresión algebraica, operando las fracciones mediante un denominador común y aplicando las propiedades de los radicales conjugados:

$\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$.

Considera la espiral de Teodoro, construida mediante triángulos rectángulos contiguos. El primer triángulo tiene catetos iguales de longitud $a$. El enésimo triángulo tiene como catetos la hipotenusa del triángulo anterior y un nuevo cateto de longitud $a$. Si el área del sexto triángulo de la secuencia es exactamente $A_6 = 12\sqrt{6}$ cm², calcula el valor exacto del parámetro $a$ y, con él, determina el perímetro exacto del tercer triángulo de la espiral simplificando los radicales.