Ejercicios: Inecuaciones lineales con dos incógnitas: sistemas

Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no pertenezcan.

Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ y $D(4, 0)$.

Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante.

A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(3, 0)$ y que la región incluye el origen de coordenadas.

Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.

Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.

Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.

Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.

Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de preparación y $2$ horas de horneado. Se dispone de un máximo de $10$ horas de preparación y $8$ horas de horneado al día. Plantea el sistema de inecuaciones que modeliza esta situación (considerando que las cantidades no pueden ser negativas) y representa gráficamente la región de posibles producciones diarias.

Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para plantar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $20$ euros por hectárea y la de cebada $30$ euros por hectárea. El presupuesto máximo para semillas es de $1200$ euros. Además, por normativas medioambientales, la superficie de cebada no puede superar el doble de la superficie de trigo. Escribe el sistema de inecuaciones asociado y halla los vértices de la región factible.

La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el sistema de inecuaciones que define dicha región, sabiendo que sus vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ y $D(2, 3)$.

Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad para $5$ toneladas. Por restricciones de personal, no se pueden enviar más de $10$ vehículos en total. Plantea el sistema de inecuaciones que determina el número de camiones de cada tipo que se pueden utilizar y halla analíticamente los vértices de la región solución.

Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los vértices de la región resultante.

Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$ minutos. Cada ejercicio de fuerza dura $5$ minutos y cada uno de cardio $10$ minutos. Además, el número de ejercicios de fuerza debe ser al menos igual al número de ejercicios de cardio. Plantea el sistema de inecuaciones y represéntalo gráficamente.

Una empresa de alquiler de vehículos dispone de coches y furgonetas. El mantenimiento diario de un coche cuesta $10$ euros y el de una furgoneta $20$ euros. El presupuesto diario para mantenimiento no supera los $300$ euros. El aparcamiento tiene capacidad máxima para $20$ vehículos. Determina la región factible y halla el número máximo de furgonetas que pueden mantenerse si se tienen exactamente $5$ coches.

Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \le x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.

Una refinería produce dos tipos de aleaciones, A y B. Para la aleación A se necesitan $3$ kg de cobre, $1$ kg de zinc y $2$ kg de estaño por unidad. Para la aleación B, $1$ kg de cobre, $2$ kg de zinc y $3$ kg de estaño. Se dispone en el almacén de un máximo de $300$ kg de cobre, $200$ kg de zinc y $240$ kg de estaño. Plantea el sistema de inecuaciones que describe las posibles producciones de ambas aleaciones, representa la región factible y calcula las coordenadas de todos sus vértices.

Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región no acotada y determina las coordenadas del único vértice que posee esta región.

Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad y rentabilidad, el número de entradas estándar no puede superar el triple de las entradas VIP. Además, los organizadores exigen que se vendan al menos $1000$ entradas VIP. Escribe el sistema de inecuaciones, halla los vértices de la región factible y determina algebraicamente si es posible vender exactamente $1500$ entradas VIP y $4000$ estándar.

Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región factible. ¿Para qué valores de $k$ la región factible se reduce al conjunto vacío?

Un nutricionista diseña una dieta basada en dos alimentos, X e Y. Cada porción del alimento X aporta $20$ g de proteínas, $10$ g de grasas y $40$ g de carbohidratos. Cada porción de Y aporta $15$ g de proteínas, $20$ g de grasas y $30$ g de carbohidratos. La dieta debe aportar al menos $120$ g de proteínas, no más de $100$ g de grasas y exactamente $240$ g de carbohidratos. Plantea el sistema de inecuaciones y ecuaciones asociado. ¿Se trata de una región bidimensional o de un segmento? Justifica tu respuesta y halla los extremos del conjunto solución.

La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje $X$ vs horas de testeo en el eje $Y$). Los vértices son $P(0, 4)$, $Q(2, 5)$, $R(5, 2)$ y $S(3, 0)$. Determina el sistema de inecuaciones que define exactamente esta región.

Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de ensamblaje. Los trabajadores pueden dedicar un máximo de $40$ horas semanales al corte y $60$ horas al ensamblaje. Además, por un contrato previo, se deben fabricar al menos $5$ mesas semanales y el número de sillas no puede ser inferior al número de mesas. Plantea el sistema de inecuaciones, represéntalo y halla todos los vértices de la región factible.

Dado el sistema de inecuaciones $2x + 3y \le 12$, $x - y \ge -1$ e $y \ge 0$. Analiza cómo cambia el área de la región factible si la primera restricción se modifica a $2x + 3y \le 12 + k$, con $k > 0$. Expresa el área de la nueva región en función de $k$, asumiendo que la forma geométrica del polígono resultante se mantiene como un triángulo.