Ejercicios: Problemas de optimización

Descompón el número $24$ como suma de dos números positivos de modo que su producto sea máximo. Plantea la función que hay que optimizar y resuélvelo con la derivada.

Entre todos los rectángulos de perímetro $36\ \text{m}$, halla las dimensiones del que tiene área máxima y calcula dicha área.

Entre todos los rectángulos de área $100\ \text{m}^2$, halla las dimensiones del que tiene perímetro mínimo y el valor de ese perímetro.

El área de un corral rectangular que se construye con $80\ \text{m}$ de valla viene dada, en función de uno de sus lados $x$, por $A(x) = 40x - 2x^2$. Halla el valor de $x$ que hace máxima el área y el valor de dicha área máxima.

¿Qué número positivo excede a su cuadrado en la mayor cantidad posible? Expresa esa cantidad en función del número y maximízala con la derivada.

Un hortelano quiere vallar un huerto rectangular apoyado en el muro de su casa, de modo que solo necesita vallar tres lados. Dispone de $60\ \text{m}$ de valla.

1. a) Expresa el área del huerto en función del lado $x$ perpendicular al muro.

1. b) Halla las dimensiones que hacen máxima el área y el valor de dicha área.

Halla dos números positivos que sumen $18$ y cuya suma de cuadrados sea mínima.

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «El valor máximo de una función continua en un intervalo cerrado siempre se alcanza en un punto donde $f'(x) = 0$». Si es falsa, pon un contraejemplo con una función sencilla en un intervalo concreto.

Con una cartulina cuadrada de $24\ \text{cm}$ de lado se quiere construir una caja sin tapa recortando cuatro cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los laterales, como indica la figura.

1. a) Expresa el volumen de la caja $V(x)$ en función de $x$ e indica el dominio de validez de $x$.

1. b) Halla el valor de $x$ que hace máximo el volumen.

1. c) Calcula el volumen máximo y comprueba, con el signo de $V'(x)$ a ambos lados, que se trata de un máximo.

Un ganadero dispone de $240\ \text{m}$ de valla para construir un corral rectangular dividido en dos parcelas por una valla interior paralela a uno de los lados, como en la figura.

1. a) Expresa el área total del corral en función de uno de sus lados.

1. b) Determina las dimensiones que hacen máxima el área total y calcula dicha área.

Una conservera diseña latas cilíndricas con tapa de $500\ \text{cm}^3$ de capacidad, como la de la figura.

1. a) Expresa la superficie total de chapa $S(r)$ en función del radio $r$ de la base, usando la condición de volumen para despejar la altura.

1. b) Halla el radio que minimiza la cantidad de chapa (basta dar su valor exacto y una aproximación con dos decimales).

1. c) ¿Qué relación guardan la altura y el radio en la lata óptima?

Una tienda de ropa vende cada semana $80$ camisetas a $12\ \text{€}$ la unidad. Estima que por cada euro que rebaje el precio venderá $10$ camisetas más a la semana.

1. a) Expresa el ingreso semanal $I(x)$ en función de la rebaja $x$ en euros.

1. b) Halla el precio que maximiza el ingreso y el ingreso máximo semanal.

Se busca el punto de la parábola $y = x^2$ más cercano al punto $P(0, 3)$.

1. a) Expresa el cuadrado de la distancia de un punto genérico de la parábola a $P$ (minimizar el cuadrado de la distancia equivale a minimizar la distancia).

1. b) Halla los puntos de la parábola que minimizan esa distancia y calcula la distancia mínima.

Un diseñador maqueta un póster con $400\ \text{cm}^2$ de área impresa y márgenes de $4\ \text{cm}$ en los cuatro lados.

1. a) Expresa el área total del papel en función del ancho $x$ de la zona impresa.

1. b) Halla las dimensiones de la hoja completa que minimizan el gasto de papel.

Con un cable de $12\ \text{m}$ se cortan dos trozos: con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia, como en la figura.

1. a) Si $x$ es la longitud de cable destinada al cuadrado, expresa el área total encerrada $A(x)$.

1. b) Halla el valor de $x$ que minimiza el área total (deja el resultado en función de $\pi$).

1. c) ¿Qué área se obtiene si no se corta el cable y se usa entero para la circunferencia? ¿Es mayor o menor que la mínima?

Un ayuntamiento va a construir una piscina rectangular de $200\ \text{m}^2$ rodeada por una acera de $2\ \text{m}$ de ancho en dos lados opuestos y de $1\ \text{m}$ en los otros dos, como muestra la figura.

1. a) Expresa el área total del terreno (piscina más acera) en función de un lado $x$ de la piscina.

1. b) Halla las dimensiones de la piscina que hacen mínimo el terreno necesario y el área total mínima.

De una chapa rectangular de $60\ \text{cm} \times 30\ \text{cm}$ se recortan cuadrados de lado $x$ en las esquinas para construir una caja sin tapa.

1. a) Expresa el volumen $V(x)$ e indica el dominio de validez de $x$.

1. b) Halla los valores de $x$ que anulan $V'(x)$ y descarta el que no pertenece al dominio.

1. c) Comprueba que el valor válido proporciona el volumen máximo y calcúlalo.

Una ventana está formada por un rectángulo rematado en su parte superior por un semicírculo, como muestra la figura. El perímetro total de la ventana es $6\ \text{m}$.

1. a) Expresa el área total en función del radio $r$ del semicírculo.

1. b) Halla el valor de $r$ que maximiza la entrada de luz (deja el resultado en función de $\pi$ y da una aproximación con dos decimales).

1. c) ¿Qué relación hay entonces entre la altura del rectángulo y el radio?

De un tronco de sección circular de diámetro $d$ se quiere cortar una viga de sección rectangular, como muestra la figura. La resistencia de la viga a la flexión es proporcional al producto de su base por el cuadrado de su altura: $R = k \cdot b \cdot h^2$.

1. a) Expresa la resistencia en función de la base $b$ usando la relación que liga $b$, $h$ y $d$.

1. b) Halla las dimensiones de la viga de máxima resistencia.

Se inscribe un rectángulo con la base sobre el eje de abscisas bajo la parábola $y = 4 - x^2$, como muestra la figura.

1. a) Expresa el área del rectángulo en función de la abscisa $x$ de su vértice superior derecho.

1. b) Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima y el valor de dicha área.

Con un sector circular de cartulina de $9\ \text{cm}$ de radio se forma un cono cuya generatriz mide $9\ \text{cm}$, como esquematiza la figura.

1. a) Expresa el volumen del cono en función de su altura $h$ usando la relación entre generatriz, radio y altura.

1. b) Halla la altura del cono de volumen máximo.

1. c) Calcula el radio de la base de dicho cono.

Para el problema de la caja sin tapa construida con una cartulina cuadrada de $32\ \text{cm}$ de lado, cuyo volumen es $V(x) = x \cdot (32 - 2x)^2$ con $0 < x < 16$, un alumno escribe: «$V'(x) = 12x^2 - 256x + 1024 = 0$ da $x = 16$ y $x = \frac{16}{3}$; como el volumen crece con el tamaño del recorte, elijo $x = 16\ \text{cm}$». Señala los dos errores cometidos en la conclusión (uno de dominio y otro de justificación) y resuelve correctamente el problema.

Demuestra, usando la derivada, el siguiente resultado general: de todos los rectángulos de perímetro $4p$, el de área máxima es el cuadrado de lado $p$. Plantea la función área en función de uno de los lados, justifica que el valor crítico es un máximo y concluye.

Dos postes de $6\ \text{m}$ y $8\ \text{m}$ de altura están separados $10\ \text{m}$ en terreno llano. Se quiere anclar un cable tenso desde la cima de cada poste hasta un mismo punto del suelo situado entre ambos.

1. a) Si el punto de anclaje dista $x$ metros de la base del poste de $6\ \text{m}$, expresa la longitud total del cable $L(x)$.

1. b) Halla el valor de $x$ que minimiza $L(x)$. (Sugerencia: al igualar $L'(x) = 0$ llegarás a una proporción entre catetos e hipotenusas; resuélvela sin desarrollar de más.)

1. c) Calcula la longitud mínima del cable. (Pista: coincide con la distancia en línea recta entre la cima de un poste y el reflejo de la cima del otro respecto del suelo.)