Ejercicios: Variables cinemáticas: posición, velocidad y aceleración vectoriales

Un dron de reparto se encuentra en el punto de coordenadas $(4, 3)$ de un mapa, con las distancias en metros. La figura muestra el punto y su vector de posición.

1. a) Escribe su vector de posición $\vec{r}$ en función de los vectores unitarios $\vec{i}$ y $\vec{j}$.
2. b) Calcula el módulo de $\vec{r}$ y explica qué representa físicamente.

Un robot de un almacén automatizado pasa de la posición $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ a la posición $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, con las posiciones en metros. La figura representa ambas posiciones y el desplazamiento entre ellas.

1. a) Calcula el vector desplazamiento $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calcula su módulo.

Un atleta da exactamente una vuelta a una pista y regresa al punto de salida tras recorrer $400\ \text{m}$.

1. a) ¿Cuánto vale su desplazamiento?
2. b) ¿Cuánto vale la distancia que ha recorrido?
3. c) Explica con tus palabras la diferencia entre la distancia recorrida y el desplazamiento.

Una patinadora se mueve en línea recta y se desplaza $20\ \text{m}$ en la dirección del eje $x$ en $4\ \text{s}$.

1. a) Escribe su vector desplazamiento en función del vector unitario $\vec{i}$.
2. b) Calcula su velocidad media $\vec{v}_m$ como vector, recordando que $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

El desplazamiento de un corredor de orientación entre dos balizas es $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, en metros, y lo completa en $10\ \text{s}$.

1. a) Calcula su velocidad media vectorial.
2. b) Calcula el módulo de esa velocidad media.

Un repartidor en bicicleta va del local a una casa y vuelve al local por el mismo camino.

1. a) ¿Cuánto vale su desplazamiento total?
2. b) ¿Cuánto vale su velocidad media en todo el trayecto?
3. c) ¿Es cero también su rapidez media? Razona la respuesta y explica la diferencia entre velocidad media y rapidez media.

La posición de un carrito de laboratorio viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) ¿Cuál es su posición inicial?
2. b) Calcula su posición cuando $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Razona por qué la trayectoria es una recta horizontal: fíjate en qué ocurre con la coordenada $y$.

Una motocicleta en línea recta pasa de $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ en $5\ \text{s}$. Los vectores velocidad inicial y final se muestran en la figura.

1. a) Calcula el incremento de velocidad $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calcula su aceleración media $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Explica qué significa el resultado: ¿cuánto varía su velocidad cada segundo?

Un robot de limpieza de un centro comercial está en la posición $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ cuando $t = 0$ y en la posición $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ cuando $t = 2\ \text{s}$, con las posiciones en metros.

1. a) Calcula el vector desplazamiento y su módulo.
2. b) Calcula la velocidad media vectorial y su módulo.

Una estación meteorológica mide la velocidad del viento como $\vec{v} = 12\,\vec{i} - 5\,\vec{j}\ \text{m/s}$, donde el eje $x$ apunta al este y el eje $y$ al norte. La figura muestra el vector velocidad del viento y sus componentes.

1. a) Calcula el módulo de la velocidad del viento.
2. b) Calcula el ángulo que forma con el semieje $x$ positivo y describe con palabras hacia dónde sopla el viento.

La posición de una lancha teledirigida en un estanque es, en unidades del Sistema Internacional, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. La trayectoria y ambas posiciones se muestran en la figura.

1. a) Calcula las posiciones en los instantes $t_1 = 1\ \text{s}$ y $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calcula el desplazamiento entre esos instantes y su módulo.
3. c) Calcula la velocidad media en ese intervalo y su módulo.

Un ferry sale del puerto A, situado en el punto $(2, 3)$, y llega al puerto B, en el punto $(14, 15)$, con las coordenadas en kilómetros. La travesía dura $2\ \text{h}$.

1. a) Calcula el vector desplazamiento.
2. b) Calcula la velocidad media vectorial en $\text{km/h}$ y su módulo.
3. c) Expresa el módulo de la velocidad media en $\text{m/s}$, con un decimal.

Un avión en maniobras pasa de $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ en $2\ \text{s}$. La figura representa ambos vectores velocidad.

1. a) Calcula el incremento de velocidad $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calcula la aceleración media vectorial y su módulo.

Un patinete eléctrico de alquiler sale del origen y su posición, en unidades del Sistema Internacional, es $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2t\,\vec{j}$.

1. a) Calcula su posición cuando $t = 10\ \text{s}$.
2. b) ¿En qué instante pasa por un punto con coordenada $x = 90\ \text{m}$? ¿Cuál es su posición completa en ese momento?
3. c) Obtén la ecuación de la trayectoria $y(x)$ eliminando el tiempo y razona qué tipo de curva es.

Un senderista sale del refugio y se desplaza $1,2\ \text{km}$ hacia el este y después $1,6\ \text{km}$ hacia el norte, en un tiempo total de $0,5\ \text{h}$. El esquema muestra el recorrido del senderista.

1. a) Calcula el módulo de su desplazamiento total.
2. b) Escribe su velocidad media vectorial en $\text{km/h}$ y calcula su módulo.
3. c) Calcula el ángulo que forma su desplazamiento con la dirección este.

Un sensor de un laboratorio registra que un carrito está en el punto $(2, 5)$ cuando $t_1 = 1\ \text{s}$ y en el punto $(14, 17)$ cuando $t_2 = 5\ \text{s}$, con las posiciones en metros.

1. a) Calcula el desplazamiento del carrito y el intervalo de tiempo transcurrido.
2. b) Calcula la velocidad media vectorial y su módulo.
3. c) ¿Qué ángulo forma la velocidad media con el eje $x$? Justifícalo a partir de las componentes.

La posición de una partícula, en unidades del Sistema Internacional, es $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + (t^2 + 1)\,\vec{j}$.

1. a) Calcula las posiciones en $t = 0$ y en $t = 4\ \text{s}$.
2. b) Calcula el desplazamiento en ese intervalo y su módulo.
3. c) Calcula la velocidad media vectorial en ese intervalo y su módulo.
4. d) La trayectoria entre ambos puntos es curva: razona si la rapidez media en ese intervalo puede coincidir con el módulo de la velocidad media.

Una partícula se mueve según $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Escribe las ecuaciones paramétricas $x(t)$ e $y(t)$.
2. b) Elimina el tiempo y obtén la ecuación de la trayectoria $y(x)$. ¿Qué tipo de curva es?
3. c) Comprueba si la partícula pasa por el punto $(6, 9)$, en metros, y, en caso afirmativo, indica en qué instante lo hace.

La posición de un barco, en unidades del Sistema Internacional, es $\vec{r}(t) = (2 + 3t)\,\vec{i} + 4t\,\vec{j}$.

1. a) ¿Cuál es su posición inicial?
2. b) Obtén la ecuación de la trayectoria $y(x)$ y clasifícala.
3. c) Comprueba si pasa por el punto $(8, 8)$, en metros, e indica en qué instante.
4. d) Calcula la distancia del barco al origen en ese instante.

Un coche entra en una rotonda con velocidad $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ y sale de ella con $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ tras $3\ \text{s}$. La figura muestra la trayectoria en la rotonda y ambos vectores velocidad.

1. a) Comprueba que el módulo de la velocidad no ha cambiado.
2. b) Calcula el incremento de velocidad $\Delta\vec{v}$ y su módulo.
3. c) Calcula la aceleración media vectorial y su módulo.
4. d) Explica por qué existe aceleración si la rapidez se ha mantenido constante.

Una persona camina $30\ \text{m}$ hacia el este en $10\ \text{s}$ y después $40\ \text{m}$ hacia el norte en otros $10\ \text{s}$.

1. a) Calcula la distancia total recorrida y la rapidez media.
2. b) Calcula el desplazamiento total, su módulo y el módulo de la velocidad media.
3. c) Compara los resultados de los dos apartados y enuncia la relación general que guardan la rapidez media y el módulo de la velocidad media, indicando cuándo coinciden.

Un robot cortacésped se mueve por un jardín según $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + (12 - t)\,\vec{j}$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Calcula su posición inicial.
2. b) Determina el instante en que cruza la bisectriz del primer cuadrante, es decir, cuando sus coordenadas $x$ e $y$ coinciden, y la posición en ese momento.
3. c) Calcula su distancia al origen en ese instante.
4. d) Calcula la velocidad media entre $t = 0$ y ese instante.

Dos drones de vigilancia se mueven, en unidades del Sistema Internacional, según $\vec{r}_A(t) = 5t\,\vec{i} + 3t\,\vec{j}$ y $\vec{r}_B(t) = (60 - 5t)\,\vec{i} + 18\,\vec{j}$. Las trayectorias de ambos drones se muestran en la figura.

1. a) Escribe las ecuaciones $x(t)$ e $y(t)$ de cada dron.
2. b) Determina el instante y la posición en que se encuentran.
3. c) Calcula la distancia del punto de encuentro al origen.
4. d) Razona si las trayectorias de ambos drones podrían cruzarse en algún otro punto distinto.

Un carrito sobre un riel se mueve según $\vec{r}(t) = t^2\,\vec{i}$, en unidades del Sistema Internacional. La gráfica $x$-$t$ del carrito, con dos de esas secantes y la recta tangente en $t = 1\ \text{s}$, se muestra en la figura.

1. a) Calcula su velocidad media entre $t = 1\ \text{s}$ y $t = 3\ \text{s}$.
2. b) Repite el cálculo para los intervalos $[1, 2]\ \text{s}$, $[1;\ 1,1]\ \text{s}$ y $[1;\ 1,01]\ \text{s}$.
3. c) Observa la sucesión de valores obtenidos, predice el valor de la velocidad instantánea en $t = 1\ \text{s}$ y justifica el razonamiento que te lleva a ese valor.