Ejercicios: Aproximación y errores

Un corredor de Fórmula 1 ha registrado un tiempo de vuelta de $1,24572$ minutos. Para simplificar los gráficos en la retransmisión televisiva, se requiere realizar aproximaciones de dicho tiempo.

Realiza las siguientes operaciones:

• Trunca el tiempo a las milésimas.

• Redondea el tiempo a las milésimas.

• Redondea el tiempo a las centésimas.

Explica brevemente la diferencia obtenida entre truncar y redondear a las milésimas en este caso concreto.

En una tienda de electrónica, el precio real de un smartphone es de $456,28$ €. Sin embargo, en el cartel publicitario del escaparate, el dueño decide poner el precio redondeado a las unidades para que sea más atractivo visualmente.

Calcula:

• El valor aproximado que aparece en el cartel.

• El error absoluto cometido con dicha aproximación.

• El error relativo expresado en porcentaje (con dos decimales).

Al medir el grosor de un libro de texto con una regla cuya mínima división son los milímetros, obtenemos un valor de $2,4$ cm.

Indica:

• Cuál es la cota de error absoluto de esta medida.

• Entre qué valores se encuentra el grosor real del libro, expresando el resultado mediante un intervalo.

Tenemos dos medidas diferentes realizadas por distintos operarios:

1. Un carpintero mide un listón de madera de $2,5$ metros y comete un error absoluto de $1$ cm.

2. Un topógrafo mide una parcela de $450$ metros y comete un error absoluto de $1$ metro.

Calcula el error relativo de cada medida y determina razonadamente cuál de las dos aproximaciones es de mejor calidad (más precisa).

El número áureo o de oro, representado por la letra griega $\phi$, tiene un valor exacto de $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Un estudiante utiliza la calculadora y obtiene que su valor es aproximadamente $1,6180339...$

Si el estudiante decide tomar como aproximación del número áureo el valor $1,62$:

• ¿Se trata de un redondeo o de un truncamiento a las centésimas?

• Calcula el error absoluto cometido (toma el valor de la calculadora como valor real).

• ¿Es este error absoluto menor que una milésima?

Identifica el número de cifras significativas de los siguientes datos obtenidos en un laboratorio de química:

• $0,00405$ gramos de un compuesto reactivo.

• $120,70$ mililitros de agua destilada.

• $3,50 \cdot 10^4$ partículas por centímetro cúbico.

• $2000$ bacterias en una muestra (aproximado a las unidades).

La masa de la Tierra es de aproximadamente $5.972.200.000.000.000.000.000.000$ kg. En los libros de texto de ciencias se suele expresar este número en notación científica redondeando a dos cifras decimales (tres cifras significativas).

• Escribe la masa de la Tierra en notación científica con todas sus cifras.

• Escribe la aproximación redondeada que se usaría en un libro de texto.

• Calcula la cota de error absoluto asociada a ese redondeo.

Para cocinar un pastel gigante, un repostero suma las masas de los tres ingredientes principales, que ha pesado en una balanza industrial:

• Harina: $12,4$ kg (redondeado a las décimas).

• Azúcar: $5,75$ kg (redondeado a las centésimas).

• Mantequilla: $2,125$ kg (redondeado a las milésimas).

Calcula la suma total de los ingredientes y redondea el resultado final de forma que sea coherente con la medida menos precisa de las tres. Justifica tu elección.

Dos técnicos de sonido están calibrando equipos para un festival de música. El primer técnico mide la longitud de un cable de antena y obtiene $15,25$ m, cuando su valor real es de $15,30$ m. El segundo técnico mide la latencia de una señal digital y obtiene $0,018$ s, siendo el valor real de $0,020$ s.

1. a) Calcula el error absoluto cometido por cada técnico.
2. b) Determina cuál de las dos mediciones es más precisa comparando sus errores relativos.
3. c) Si el primer técnico redondea su medida a las décimas, ¿cuál sería el nuevo error relativo cometido?

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos produce resistencias que deben tener un valor nominal de $470$ ohmios ($\Omega$). El control de calidad permite un margen de error (tolerancia) tal que el valor real $R$ debe cumplir la condición $|R - 470| \leq 15$.

1. a) Expresa mediante un intervalo de la recta real los valores de resistencia permitidos.
2. b) Si una resistencia medida da un valor de $482,5 \Omega$, ¿está dentro del margen de tolerancia?
3. c) Calcula la cota de error relativo máximo que acepta la empresa para este componente.

El radio de una pista circular de patinaje se ha medido con una cinta métrica, obteniéndose un valor de $12,4$ metros. Se sabe que el error absoluto cometido en esta medición es, como máximo, de $0,05$ metros.

1. a) Escribe el intervalo en el que se encuentra el valor real del radio.
2. b) Calcula los valores máximo y mínimo posibles para el área de la pista (usa $\pi \approx 3,14159$).
3. c) Si tomamos como aproximación del área el valor calculado con el radio de $12,4$ m, ¿cuál es la cota de error absoluto para dicha área?

En un laboratorio de biología, se estima que el número de bacterias en una placa de cultivo es de $4,25 \times 10^7$, con un error relativo del $2\%$.

1. a) Calcula el error absoluto cometido en la estimación.
2. b) ¿Entre qué dos valores se encuentra el número real de bacterias?
3. c) Si después de una hora el número de bacterias se triplica, expresa el nuevo total en notación científica y calcula su orden de magnitud.

Considera los números reales $A = \sqrt{7}$ y $B = \frac{22}{8}$.

1. a) Representa de forma exacta el número $A$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.
2. b) Aproxima ambos números por redondeo a las milésimas.
3. c) ¿Qué error relativo se comete al aproximar la suma $A + B$ por el número $5,4$?

Un inversor analiza la rentabilidad de una criptomoneda. El valor actual es de $0,0004582$ € por unidad. Para facilitar los cálculos en su aplicación móvil, decide truncar este valor a las cinco millonésimas.

1. a) Escribe el valor truncado en notación científica.
2. b) Calcula el error absoluto y el error relativo cometidos por este truncamiento.
3. c) ¿Cuál sería el error relativo si en lugar de truncar, hubiera redondeado a la misma cifra?

Dados los siguientes conjuntos de números reales:

$A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| < 3\}$

$B = [-2, 5]$

1. a) Expresa el conjunto $A$ en forma de intervalo.
2. b) Calcula y representa en la recta real la intersección $A \cap B$ y la unión $A \cup B$.
3. c) Determina si el número irracional $\sqrt{10}$ pertenece a alguno de estos conjuntos. Justifica la respuesta aproximando el radical a las centésimas.

Una escala sismográfica utiliza logaritmos para medir la energía liberada por un terremoto. Si la energía $E$ (en julios) se relaciona con la magnitud $M$ mediante la fórmula $\log E = 4,8 + 1,5M$:

1. a) Calcula la energía liberada por un terremoto de magnitud $M = 6,2$. Expresa el resultado en notación científica redondeando la mantisa a dos decimales.
2. b) Si cometemos un error de $0,1$ al medir la magnitud ($M = 6,3$ en lugar de $6,2$), ¿cuál es el error relativo porcentual cometido en el cálculo de la energía?
3. c) Explica por qué un pequeño error en la magnitud $M$ provoca un error tan grande en la energía $E$.

Un microchip de alta precisión tiene una base rectangular cuyas dimensiones se han medido con un calibre láser. La longitud obtenida es de $l = 4,25$ mm y la anchura es de $w = 2,80$ mm. Se sabe que el aparato de medida tiene un error absoluto máximo de $0,005$ mm en cada medición. Calcula:

1. a) La cota del error absoluto cometido al calcular el área del microchip.
2. b) El intervalo de valores posibles en el que se encuentra el área real.
3. c) ¿Cuál es el error relativo máximo, expresado en porcentaje, que se asume al dar el valor del área redondeado a las milésimas?

En un experimento de física de partículas, se estima que la masa de una muestra es de $m = 3,45 \cdot 10^{-6}$ kg con un error relativo del $0,2\%$. Simultáneamente, el volumen ocupado por la muestra se mide como $V = 1,2 \cdot 10^{-9}$ $m^3$ con una cota de error absoluto de $0,05 \cdot 10^{-9}$ $m^3$.

Determina si es posible que la densidad real ($\rho = m/V$) de la muestra supere los $3000$ $kg/m^3$, justificando tu respuesta mediante el cálculo de las cotas de error correspondientes.

Un analista financiero utiliza la aproximación del número áureo $\Phi \approx 1,618$ para predecir el comportamiento de una criptomoneda en una gráfica de crecimiento. Sabiendo que el valor exacto es $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$:

1. a) Calcula el error absoluto cometido en esta aproximación (utiliza todos los decimales de tu calculadora para el valor real).
2. b) Calcula el error relativo cometido.
3. c) Si el analista aplica esta proporción a una inversión de $2.500.000$ €, ¿cuál sería la diferencia en euros entre usar el valor aproximado y el valor real? ¿Es significativo este error en el contexto financiero?

Un senderista utiliza un GPS de montaña para orientarse. El dispositivo estima la distancia al refugio de su destino mediante la fórmula $d = \sqrt{x^2 + y^2}$. En un punto de la ruta, las coordenadas registradas son $x = 800$ m e $y = 600$ m. Sin embargo, el GPS tiene una imprecisión (cota de error absoluto) de $2$ metros en cada eje.

Calcula la cota del error relativo cometido al estimar la distancia total $d$. Redondea el resultado a cuatro cifras significativas.

Considera los números $A = 5,42 \cdot 10^8$ y $B = 3,1 \cdot 10^7$. Ambos números han sido redondeados a las cifras significativas que se muestran.

1. a) Determina las cotas de error absoluto para $A$ y $B$.
2. b) Calcula el valor de $S = A + B$ y expresa el resultado en notación científica.
3. c) Halla la cota del error relativo de la suma $S$. ¿Cómo se compara este error relativo con los errores relativos de $A$ y $B$ por separado?

Un depósito cilíndrico de combustible tiene una altura de $H = 10,0$ m y un radio de base de $R = 4,0$ m. Las medidas se han tomado con una precisión de un decímetro.

1. a) Calcula el volumen nominal del depósito en metros cúbicos utilizando $\pi \approx 3,1416$.
2. b) Determina la cota del error absoluto cometido en el cálculo del volumen debido a la imprecisión en las medidas de $R$ y $H$ (considera el valor de $\pi$ como exacto para este apartado).
3. c) Si el combustible se dilata y el volumen real fuera un $1\%$ superior al medido, ¿cuál sería el nuevo error relativo total respecto al valor nominal inicial?

Se ha medido la velocidad de una conexión de fibra óptica obteniendo un valor de $540,5$ Mbps. El técnico indica que el error relativo de la medición es inferior al $0,05\%$.

1. a) ¿Entre qué valores puede oscilar la velocidad real de la conexión?
2. b) Si redondeamos el resultado a las decenas de Mbps, ¿cuál sería la nueva cota del error relativo máximo que estaríamos asumiendo?

Dada la función $f(x) = \frac{1}{x-1}$, queremos calcular su valor para $x = \sqrt{2}$.

1. a) Aproxima el resultado utilizando para $\sqrt{2}$ su redondeo a las milésimas.
2. b) Calcula el valor "real" (con todos los decimales posibles de la calculadora).
3. c) Determina el error absoluto y el error relativo cometidos.
4. d) Explica razonadamente por qué en este tipo de funciones, una pequeña variación en la aproximación de $x$ puede generar un error relativo mucho mayor en el resultado de $f(x)$ cuando $x$ está cerca de $1$.