Ejercicios: Asíntotas y ramas infinitas en funciones racionales

Calcula los siguientes límites analizando el término de mayor grado de cada polinomio:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 10)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 3x - 1)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} (4 - x^4)$

Dada la siguiente gráfica de la función $f(x)$, determina el valor de los límites en el infinito e indica la ecuación de su asíntota horizontal:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Calcula el límite en el infinito de las siguientes funciones racionales comparando los grados del numerador y del denominador:

1. a) $f(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^3 + 2x}$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{4x^2 - 3x}$

1. c) $h(x) = \frac{5x^3 + 2}{x^2 - 7}$

Halla la ecuación de la asíntota horizontal de las siguientes funciones. Si no tiene, indícalo razonadamente:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$

1. b) $g(x) = \frac{4}{x^2 - 1}$

1. c) $h(x) = \frac{x^2 + 5}{2x - 3}$

Calcula los siguientes límites de funciones con raíces:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+2}{\sqrt{x^3 + 1}}$

Asocia cada una de las siguientes funciones con su comportamiento en $+\infty$:

1. $f(x) = \frac{10}{x-2}$

2. $g(x) = \frac{5x^2}{x^2 + 1}$

3. $h(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$

Comportamientos:

1. a) Tiende a $+\infty$ (Rama parabólica).
2. b) Tiene una asíntota horizontal en $y = 0$.
3. c) Tiene una asíntota horizontal en $y = 5$.

Para la función $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, completa la siguiente tabla de valores para investigar su comportamiento cuando $x$ se acerca a $0$.

A partir de la tabla, deduce el valor de los límites laterales $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. ¿Existe el límite global en $x=0$?

Dada la función $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 4}$:

1. a) Indica cuál es su dominio de definición.
2. b) Calcula los límites laterales en el punto donde la función no está definida: $\lim_{x \to 4^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 4^+} f(x)$.
3. c) ¿Qué tipo de rama infinita presenta la función en $x = 4$?

Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, identifica las ecuaciones de sus asíntotas (verticales y horizontales) y describe el comportamiento de la función mediante límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:

1. Determina su dominio de definición.

2. Calcula los límites laterales en los puntos donde la función no está definida.

3. Especifica cuáles de esos puntos corresponden a una asíntota vertical y cuáles a una discontinuidad evitable (punto desplazado).

Determina el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $g(x) = \frac{ax + 5}{bx - 4}$ tenga una asíntota vertical en la recta $x = 2$ y una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Una vez hallados, comprueba si la función es creciente o decreciente en su dominio.

Estudia el comportamiento en el infinito de la función $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ calculando:

1. La existencia de una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$.

2. La posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ (indica si la función va por encima o por debajo de la recta).

El número de usuarios de una red social educativa, medido en miles, sigue la evolución temporal $t$ (en meses) según la función:

1. Calcula el número de usuarios iniciales (en $t=0$).

2. Determina a cuánto tenderá el número de usuarios a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).

3. ¿Existe algún valor de $t$ para el cual la función no sea continua? Razona si dicho valor tiene sentido en el contexto del problema.

Calcula los siguientes límites y determina, a partir de ellos, las asíntotas horizontales de cada función:

1. $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$

2. $\lim_{x \to -\infty} \frac{3^x + 2}{3^x - 1}$

Considera la función $f(x) = \frac{k}{x^2 - 9}$.

1. Si sabemos que la función pasa por el punto $(0, -1)$, halla el valor de $k$.

2. Con el valor de $k$ obtenido, realiza un estudio completo de las asíntotas de la función y sitúa las ramas infinitas de la misma respecto a sus asíntotas verticales.

Estudia las ramas infinitas de la función $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$. Al no tener asíntotas horizontales ni verticales, determina la ecuación de su asíntota oblicua y representa esquemáticamente su comportamiento en el infinito mediante el siguiente gráfico de referencia:

Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 1}{2x - 4}$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que la función tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es $y = 2x + 5$. Una vez hallados los parámetros, estudia si la gráfica de la función se encuentra por encima o por debajo de dicha asíntota cuando $x \to +\infty$.

Un analista de marketing digital estudia la evolución de los seguidores de una nueva cuenta de redes sociales. El número de seguidores (en miles) sigue la función $S(t) = \frac{120t^2 + 500}{3t^2 + 4t + 10}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde el lanzamiento.

1. a) Determina si existe un límite de crecimiento para el número de seguidores a largo plazo. En caso afirmativo, indica la ecuación de la asíntota horizontal.

1. b) Representa gráficamente el comportamiento de la función en el infinito mediante un esquema de sus ramas asintóticas.

Calcula todas las asíntotas de la siguiente función definida a trozos y estudia el comportamiento de sus ramas infinitas:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x+1} & \text{si } x < 0 \\ \frac{x-1}{x^2-9} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Indica específicamente los límites laterales en los puntos donde existan asíntotas verticales.

Considera la familia de funciones $f(x) = \frac{x^2 - k}{x^2 + k^2 - 2}$. Halla los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la función:

1. No tiene asíntotas verticales.

2. Tiene exactamente una asíntota vertical.

3. Tiene dos asíntotas verticales.

Para todos los casos, indica cuál es la asíntota horizontal de la función.

Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$, estudia su comportamiento cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

¿Presenta la misma asíntota horizontal en ambos sentidos? Justifica tu respuesta calculando ambos límites detalladamente y dibujando un esquema de las ramas resultantes.

Sea la función $f(x) = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}$.

1. a) Redefine la función como una función a trozos eliminando el valor absoluto.

1. b) Calcula los límites laterales en $x = 1$. ¿Existe una asíntota vertical en ese punto o se trata de una discontinuidad evitable?

1. c) Estudia la existencia de asíntotas horizontales calculando $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Explica la diferencia entre ambos resultados.

Diseña una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ que cumpla simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Tiene una asíntota vertical en $x = -4$.

2. Tiene una discontinuidad evitable en $x = 1$.

3. Tiene una asíntota horizontal en $y = 5$.

4. Pasa por el origen de coordenadas $(0,0)$.

Proporciona la expresión analítica final de la función de forma simplificada.

Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 1}{x^2 + x}$. Una vez obtenida:

1. a) Calcula el punto donde la gráfica de la función corta a dicha asíntota oblicua.
2. b) Determina, mediante el estudio del límite de la diferencia $[f(x) - (mx+n)]$, si la función se acerca a la asíntota por encima o por debajo cuando $x \to +\infty$.