Ejercicios: Contracción de la longitud, dilatación del tiempo y energía relativista

Un fenómeno dura $\Delta t_0 = 10\ \text{s}$ medido en su propio sistema de referencia. Para un observador que lo ve pasar a gran velocidad, el factor de Lorentz vale $\gamma = 2$. Sabiendo que la dilatación del tiempo es $\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$, ¿cuánto dura el fenómeno para ese observador?

La contracción de la longitud es $L = \frac{L_0}{\gamma}$. Una nave mide $L_0 = 100\ \text{m}$ en reposo y viaja con $\gamma = 2$. ¿Qué longitud mide un observador en la Tierra?

La energía asociada a una masa en reposo es $E = m \times c^2$, con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$. Calculá la energía correspondiente a $1\ \text{kg}$ de masa y expresala en notación científica.

Una varilla tiene una longitud propia de $2\ \text{m}$ y se mueve respecto al laboratorio con $\gamma = 1.25$. Usando $L = \frac{L_0}{\gamma}$, calculá su longitud medida desde el laboratorio.

Un muón tiene una vida media en reposo de $2.2\ \mu\text{s}$. Un haz de muones viaja por un anillo de almacenamiento con $\gamma = 10$. Aplicando $\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$, ¿cuál es la vida media de los muones medida desde el laboratorio?

Calculá la energía de la masa en reposo de un electrón, $m = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, usando $E = m \times c^2$ con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$. Expresá el resultado en notación científica con dos cifras significativas.

La contracción de la longitud solo afecta a la dimensión paralela al movimiento. Una nave de $50\ \text{m}$ de largo propio y $20\ \text{m}$ de alto viaja horizontalmente con $\gamma = 1.25$. La figura muestra sus dimensiones propias.

1. a) ¿Qué longitud mide desde la Tierra ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) ¿Qué altura mide desde la Tierra? Justificalo.

Un reloj viaja en una nave con $\gamma = 1.5$. Cuando para el viajero han pasado $6$ años, ¿cuántos años han transcurrido en la Tierra? Aplicá $\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$ e indicá cuál de los dos tiempos es el tiempo propio del viaje.

Un astronauta viaja en una nave con $\gamma = 1.25$. Desde la Tierra se mide que el viaje dura $8$ años.

1. a) Usando $\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$, ¿cuántos años envejece el astronauta?
2. b) Si partió con $30$ años, ¿qué edad tiene al regresar y qué edad tiene su hermano gemelo, que se quedó en la Tierra?

Un muón se crea en la alta atmósfera viajando a $v = 0.998c$ con $\gamma = 15$; su vida media propia es $2.2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calculá su vida media medida desde la Tierra ($\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$).
2. b) Calculá la distancia media que recorre según un observador terrestre.
3. c) Si el muón se hubiera creado a $30\ \text{km}$ de altura, ¿llegaría en promedio a la superficie? Justificalo con el resultado anterior.

Una nave de longitud propia $L_0 = 120\ \text{m}$ viaja con $\gamma = 1.5$.

1. a) ¿Qué longitud mide un observador terrestre ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Si el viaje dura $10$ años para la Tierra, ¿cuánto dura para la tripulación ($\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$)?
3. c) Razoná cuál de los dos observadores mide el tiempo propio del viaje y por qué.

Un kilovatio-hora, la unidad de energía de los recibos de energía eléctrica, equivale a $3.6 \times 10^{6}\ \text{J}$.

1. a) Usando $E = m \times c^2$ con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$, calculá a qué masa equivale $1\ \text{kW} \times \text{h}$ de energía.
2. b) Compará esa masa con la de un grano de arena ($10^{-5}\ \text{kg}$): ¿cuántas veces mayor es el grano de arena? Comentá el resultado.

El Sol radia una potencia de $3.9 \times 10^{26}\ \text{W}$ convirtiendo parte de su masa en energía.

1. a) Calculá la energía que emite cada segundo.
2. b) Usando $E = m \times c^2$ con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$, calculá la masa que el Sol convierte en energía cada segundo.
3. c) Expresá el resultado en toneladas ($1\ \text{t} = 10^{3}\ \text{kg}$).

Un pión tiene una vida propia de $2.6 \times 10^{-8}\ \text{s}$. En un acelerador lineal viaja a $v = 0.98c$ con $\gamma = 5$ (dato: $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) ¿Cuál es su vida media medida en el laboratorio ($\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$)?
2. b) ¿Qué distancia media recorre en el acelerador antes de desintegrarse?
3. c) Explicá por qué sin la dilatación del tiempo los piones apenas recorrerían unos $8\ \text{m}$ y qué consecuencia tendría eso para su detección.

El factor de Lorentz es $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, de donde $v = c \times \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$.

1. a) Calculá la velocidad de una nave que viaja con $\gamma = 2$, expresada como fracción de $c$.
2. b) Expresá esa velocidad en $\text{m/s}$ (dato: $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

Una bombilla de $100\ \text{W}$ permanece encendida durante $10$ años, es decir, $3.2 \times 10^{8}\ \text{s}$.

1. a) Calculá la energía eléctrica consumida.
2. b) Usando $E = m \times c^2$ con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$, calculá la masa equivalente a esa energía.
3. c) Comparé esa masa con la de una bacteria ($10^{-15}\ \text{kg}$): ¿cuántas veces mayor es?

Próxima Centauri, la estrella más cercana al Sol, está a $4.2$ años luz medidos desde la Tierra. Una nave viaja hacia allí con $\gamma = 2$, lo que corresponde a $v = 0.866c$ (se obtiene de $v = c \times \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$). Recuerda que un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. El esquema resume el viaje.

1. a) ¿Cuánto dura el viaje para los observadores terrestres?
2. b) ¿Cuánto dura para la tripulación ($\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$)?
3. c) ¿Qué distancia Tierra-estrella mide la tripulación ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
4. d) Comprueba la coherencia de los resultados: la tripulación debe recorrer la distancia contraída del apartado c) a la velocidad $0.866c$ en el tiempo del apartado b). Verifícalo numéricamente.

El Sol tiene una masa de $2 \times 10^{30}\ \text{kg}$ y radia una potencia de $3.9 \times 10^{26}\ \text{W}$ convirtiendo masa en energía ($E = m \times c^2$; $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calculá la masa que el Sol pierde cada segundo.
2. b) Calculá la masa perdida en $10^{10}$ años ($3.2 \times 10^{17}\ \text{s}$), del orden de su vida total.
3. c) ¿Qué fracción de la masa solar representa? Expresala en tanto por ciento.
4. d) Concluí si la radiación cambia apreciablemente la masa del Sol a lo largo de su vida y comentá por qué su gravedad apenas se ve afectada.

En el Sol, cada reacción de la cadena protón-protón convierte cuatro protones en un núcleo de helio con un defecto de masa de $\Delta m = 4.7 \times 10^{-29}\ \text{kg}$ ($c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calculá la energía liberada en cada reacción ($E = \Delta m \times c^2$).
2. b) El Sol radia $3.9 \times 10^{26}\ \text{W}$: calculá cuántas de estas reacciones ocurren cada segundo.
3. c) Si cada reacción consume cuatro protones de $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$ cada uno, calculá la masa de hidrógeno que el Sol fusiona cada segundo.
4. d) Comparé la masa fusionada del apartado c) con la masa convertida en energía del apartado a) y b): ¿qué porcentaje de la masa se transforma en energía?

Una nave de longitud propia $100\ \text{m}$ atraviesa una estación espacial con $\gamma = 7.09$. La estación dispone de un hangar de $15\ \text{m}$. El esquema representa la situación.

1. a) ¿Qué longitud mide el personal de la estación para la nave ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)? ¿Cabe la nave entera dentro del hangar, aunque sea durante un instante, según ellos?
2. b) Para el piloto es la estación la que se mueve: ¿qué longitud mide el piloto para el hangar? ¿Cabe la nave según él?
3. c) La contradicción aparente se disuelve porque «la nave está entera dentro a la vez» no significa lo mismo para ambos observadores. Nombra y explica el concepto relativista que resuelve la paradoja.

Un kilogramo de gasolina libera al quemarse $4.6 \times 10^{7}\ \text{J}$ ($c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calculá la energía correspondiente a la masa en reposo de $1\ \text{kg}$ según $E = m \times c^2$.
2. b) ¿A cuántos kilogramos de gasolina equivaldría esa energía?
3. c) ¿Qué fracción de su masa en reposo convierte la gasolina en energía al arder?
4. d) A la vista del resultado, explicá por qué la equivalencia masa-energía pasa desapercibida en las reacciones químicas y qué tipo de procesos sí convierten una fracción apreciable de masa en energía.

Un muón se crea a $15\ \text{km}$ de altura, viaja a $v = 0.9995c$ con $\gamma = 31.6$ y su vida media propia es $2.2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$). La figura compara los dos puntos de vista.

1. a) Calcula su vida media vista desde la Tierra ($\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$).
2. b) Calcula la distancia media que recorre según la Tierra y concluye si puede llegar a la superficie.
3. c) Desde el punto de vista del muón, su vida es de $2.2\ \mu\text{s}$ pero la atmósfera se contrae: calcula el espesor de atmósfera que atraviesa ($L = \frac{L_0}{\gamma}$) y la distancia que recorre en su vida propia, y comprueba que llega a la misma conclusión que en b).
4. d) Explica por qué ambos observadores están de acuerdo en el resultado final (el muón llega al suelo) aunque lo expliquen de forma distinta.

Una agencia espacial estudia que una nave de $50\ \text{m}$ de longitud propia mida solo $10\ \text{m}$ desde la Tierra.

1. a) ¿Qué factor $\gamma$ hace falta para ello ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Calculá la velocidad correspondiente con $v = c \times \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$ y expresala como fracción de $c$.
3. c) Con ese factor $\gamma$, ¿cuántos años transcurrirían en la Tierra por cada año que envejece la tripulación ($\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$)?
4. d) Valorá, a la vista de los resultados, qué tendría el viaje interestelar a esas velocidades de ventaja y de problema para la exploración humana.

En una tomografía por emisión de positrones (PET), un positrón emitido por un trazador radiactivo se aniquila con un electrón del tejido y toda su masa se convierte en energía, emitida en dos fotones gamma. La masa de cada partícula es $9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$ (dato: $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$). El esquema representa el proceso.

1. a) Calculá la masa total que se aniquila en el evento.
2. b) Calculá la energía liberada ($E = m \times c^2$).
3. c) ¿Qué energía lleva cada fotón, si los dos se reparten la energía por igual?
4. d) Explicá por qué la aniquilación materia-antimateria es el proceso de conversión de masa en energía más eficiente posible y compará con la fusión solar, que convierte menos del $1\ \%$ de la masa.