Ejercicios: Las leyes del movimiento planetario

Johannes Kepler dedujo tres leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol a partir de las observaciones de Tycho Brahe.

1. a) Enunciá la primera ley de Kepler (ley de las órbitas).
2. b) Dibujá en tu cuaderno una órbita elíptica y señalá en ella los dos focos de la elipse, la posición del Sol, el perihelio (punto más cercano al Sol) y el afelio (punto más alejado).
3. c) Indicá qué es el semieje mayor $a$ de la órbita y escribí su expresión en función de las distancias del perihelio, $r_p$, y del afelio, $r_a$.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

1. a) Enunciá la segunda ley de Kepler (ley de las áreas).
2. b) Un planeta recorre su órbita elíptica pasando por el perihelio y por el afelio. Aplicá la ley de las áreas para razonar en cuál de esos dos puntos se mueve más rápido.
3. c) La velocidad areolar (área barrida por el radio vector por unidad de tiempo) es constante porque el momento angular del planeta se conserva. Explicá cualitativamente por qué un radio vector más corto en el perihelio implica una velocidad mayor.

1. a) Enunciá la tercera ley de Kepler (ley de los períodos) y escribí su expresión matemática, $\frac{T^2}{a^3} = C$, indicando el significado de $T$ y de $a$.
2. b) La constante vale $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, donde $M$ es la masa del cuerpo central. Razoná si $C$ es la misma para todos los planetas del sistema solar y si lo sería también para las lunas de Júpiter.

La Tierra pasa por el perihelio a una distancia del Sol $r_p = 1.471\times10^{11}\ \text{m}$ y por el afelio a $r_a = 1.521\times10^{11}\ \text{m}$. La figura muestra la órbita con ambas distancias (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sabiendo que $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$ (unidad astronómica: distancia media Tierra–Sol), expresa el resultado en unidades astronómicas y comenta lo que observas.

Para los cuerpos que orbitan el Sol, si el período $T$ se expresa en años y el semieje mayor $a$ en unidades astronómicas, la tercera ley de Kepler se reduce a $T^2 = a^3$. Mercurio orbita con un semieje mayor $a = 0.387\ \text{UA}$.

1. a) Calculá el período orbital de Mercurio, en años.
2. b) Expresalo en días terrestres ($1$ año $= 365.25$ días).

Un asteroide del cinturón principal tarda $T = 8$ años en completar su órbita alrededor del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol se cumple $T^2 = a^3$, con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Despejá el semieje mayor $a$ de la expresión anterior.
2. b) Calculá su valor, en $\text{UA}$.

Un alumno afirma: «como $\frac{T^2}{a^3} = C$ es una constante universal, su valor es el mismo para la Tierra alrededor del Sol que para la Luna alrededor de la Tierra».

1. a) Razoná por qué la afirmación es falsa, teniendo en cuenta que $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, siendo $M$ la masa del cuerpo central.
2. b) Indicá un conjunto de cuerpos para el que sí coincidiría la constante con la de las lunas de Júpiter.

Dibujá en tu cuaderno una órbita elíptica alargada con el Sol situado en uno de sus focos.

1. a) Marcá dos intervalos de tiempo iguales, uno centrado en el perihelio y otro en el afelio, y sombreá las áreas barridas por el radio vector en ambos tramos.
2. b) De acuerdo con la ley de las áreas, ¿qué relación existe entre las dos áreas sombreadas?
3. c) Razoná, a partir del dibujo, en qué tramo el planeta recorre un arco más largo en el mismo tiempo y qué implica eso sobre su velocidad.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Marte orbita el Sol con un semieje mayor $a = 1.524\ \text{UA}$. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calculá la duración del año marciano, en años terrestres.
2. b) Expresá el resultado en días ($1$ año $= 365.25$ días).

Venus completa su órbita alrededor del Sol en $T = 0.615$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calculá el semieje mayor de la órbita de Venus, en $\text{UA}$.
2. b) Expresalo en kilómetros, usando notación científica.

Un equipo de astrónomos descubre un objeto cuyo período orbital es $T = 27$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calculá el semieje mayor de su órbita, en $\text{UA}$.
2. b) Compará con la órbita de Neptuno ($a \approx 30\ \text{UA}$): ¿orbita el objeto más cerca o más lejos del Sol que Neptuno?

Kepler comprobó su tercera ley con los datos de varios planetas. La Tierra tiene $a = 1\ \text{UA}$ y $T = 1$ año; Júpiter tiene $a = 5.20\ \text{UA}$ y $T = 11.86$ años.

1. a) Calculá el cociente $\frac{T^2}{a^3}$ para la Tierra, en $\text{años}^2/\text{UA}^3$.
2. b) Calculá el mismo cociente para Júpiter y comprobá que coincide con el anterior (salvo redondeos).
3. c) Explicá por qué ese cociente solo es idéntico para cuerpos que orbitan el mismo cuerpo central.

La excentricidad de una elipse es $e = \frac{c}{a}$, donde $a$ es el semieje mayor y $c$ la distancia del centro de la elipse a uno de los focos. Para la Tierra: $r_p = 1.471\times10^{11}\ \text{m}$ (perihelio) y $r_a = 1.521\times10^{11}\ \text{m}$ (afelio). Observa la geometría de la órbita en la figura (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calcula la distancia focal, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, y la excentricidad $e$ de la órbita terrestre.
3. c) Un valor $e = 0$ corresponde a una circunferencia y un valor próximo a $1$, a una elipse muy alargada. Comenta la forma de la órbita terrestre según el valor obtenido.

Por la conservación del momento angular, en el perihelio y en el afelio se cumple $r_p\times v_p = r_a\times v_a$. La Tierra pasa por el perihelio ($r_p = 1.471\times10^{11}\ \text{m}$) con una velocidad de $30.3\ \text{km/s}$, y el afelio está a $r_a = 1.521\times10^{11}\ \text{m}$. El esquema muestra la órbita y las velocidades en ambos puntos (sin escala):

1. a) Despejá la velocidad en el afelio, $v_a$, de la expresión anterior.
2. b) Calculá su valor, en $\text{km/s}$.
3. c) El perihelio ocurre a inicios de enero y el afelio a inicios de julio. Indicá en cuál de esos meses la Tierra se desplaza más rápido por su órbita y relacionalo con la segunda ley de Kepler.

Ceres, el mayor cuerpo del cinturón de asteroides, tiene un período orbital de $T = 4.60$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calculá el semieje mayor de la órbita de Ceres, en $\text{UA}$.
2. b) Expresá su distancia media al Sol en metros, usando notación científica.

Un cometa tiene un semieje mayor doble que el de otro cometa del mismo sistema.

1. a) Demostrá, a partir de $T^2 = a^3$, que si $a' = 2\times a$ entonces $T' = \sqrt{8}\times T \approx 2.83\times T$.
2. b) Un asteroide orbita el Sol con $a = 2\ \text{UA}$. Calculá su período, en años.
3. c) Razoná, sin hacer nuevos cálculos, si un planeta situado a la mitad de distancia del Sol que la Tierra tendría un año más largo o más corto que el terrestre.

Para una órbita circular de radio $r$, la tercera ley de Kepler puede deducirse de la ley de la gravitación universal. El esquema muestra un planeta en órbita circular con la fuerza que actúa sobre él:

1. a) Igualá la fuerza gravitatoria, $F = \frac{G\times M\times m}{r^2}$, con la fuerza centrípeta del movimiento circular, $F_c = \frac{m\times v^2}{r}$, y obtené la velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\times M}{r}}$.
2. b) Sustituí $v = \frac{2\times\pi\times r}{T}$ en el resultado anterior y deducí que $T^2 = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}\times r^3$.
3. c) Identificá en la expresión obtenida la constante de la tercera ley de Kepler y explicá de qué magnitudes depende.

La tercera ley de Kepler permite «pesar» el Sol. Datos: distancia media Tierra–Sol $a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$, periodo orbital terrestre $T = 365.25$ días y $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$. La figura representa la órbita terrestre con los datos conocidos:

1. a) Expresa el periodo orbital en segundos.
2. b) Despeja la masa del Sol de la expresión $T^2 = \frac{4\times\pi^2\times a^3}{G\times M_S}$.
3. c) Calcula $M_S$ y compara el resultado con el valor aceptado, $1.99\times10^{30}\ \text{kg}$.

El cometa Halley tiene un periodo de $T = 76$ años y pasa por el perihelio a $r_p = 0.586\ \text{UA}$ del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas. La figura muestra su órbita alargada (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor de su órbita, en $\text{UA}$.
2. b) Teniendo en cuenta que $a = \frac{r_p + r_a}{2}$, calcula la distancia del afelio, $r_a$.
3. c) Aplicando la conservación del momento angular, $r_p\times v_p = r_a\times v_a$, calcula el cociente $\frac{v_p}{v_a}$ y explica por qué el Halley solo es observable desde la Tierra durante unos meses de cada $76$ años.

La sonda Juno ha estudiado el sistema de Júpiter. Su luna Ío orbita el planeta con un semieje mayor $a = 4.22\times10^{8}\ \text{m}$ y un período $T = 1.77$ días. Dato: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Expresá el período de Ío en segundos.
2. b) Despejá la masa de Júpiter de la tercera ley de Kepler, $T^2 = \frac{4\times\pi^2\times a^3}{G\times M_J}$.
3. c) Calculá $M_J$ y compará la con el valor aceptado, $1.90\times10^{27}\ \text{kg}$.

La constante de la tercera ley de Kepler es $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, con $M$ la masa del cuerpo central. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa del Sol $M_S = 1.99\times10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y semieje mayor de la órbita de la Luna $a = 3.84\times10^{8}\ \text{m}$.

1. a) Calculá, en unidades del Sistema Internacional, la constante $C$ para el sistema solar y para el sistema Tierra–Luna.
2. b) Razoná a qué se debe la enorme diferencia entre ambos valores.
3. c) Utilizá la constante del sistema Tierra–Luna para predecir el período orbital de la Luna y expresalo en días.

Mercurio tiene la órbita planetaria más excéntrica del sistema solar: $a = 0.387\ \text{UA}$ y $e = 0.206$. Las distancias al Sol en el perihelio y en el afelio son $r_p = a\times(1 - e)$ y $r_a = a\times(1 + e)$.

1. a) Calculá $r_p$ y $r_a$, en $\text{UA}$.
2. b) Aplicando la conservación del momento angular, $r_p\times v_p = r_a\times v_a$, calculá el cociente $\frac{v_p}{v_a}$.
3. c) Para la Tierra ese cociente vale $1.034$. Compará ambos resultados y explicá qué papel juega la excentricidad en la variación de la velocidad orbital.

Para viajar de la Tierra a Marte con el menor consumo de combustible se utiliza una órbita de transferencia de Hohmann: una elipse con el perihelio en la órbita terrestre ($1\ \text{UA}$) y el afelio en la órbita marciana ($1.524\ \text{UA}$). Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas. El esquema muestra la órbita de transferencia:

1. a) Calcula el semieje mayor de la elipse de transferencia.
2. b) Calcula el periodo completo de esa elipse, en años.
3. c) El viaje de ida dura medio periodo. Calcula su duración en días ($1$ año $= 365.25$ días) y razona por qué las misiones a Marte solo pueden lanzarse en determinadas ventanas que se repiten cada $26$ meses.

Se descubre un exoplaneta que orbita una estrella de masa $M_E = 4\times M_S$ (cuatro veces la masa del Sol) con un semieje mayor $a = 1\ \text{UA}$, igual que la Tierra.

1. a) Partiendo de $T^2 = \frac{4\times\pi^2\times a^3}{G\times M}$, demostrá que $\frac{T^2}{T_{Tierra}^2} = \frac{a^3}{a_{Tierra}^3}\times\frac{M_S}{M_E}$.
2. b) Calculá el período del exoplaneta, en años terrestres.
3. c) Explicá por qué en este caso no se puede aplicar directamente la relación simplificada $T^2 = a^3$ válida para el sistema solar.