Ejercicios: Operaciones con matrices; multiplicación; potencia

Dadas las dimensiones de las siguientes matrices:

• $A$ es una matriz de orden $2 \times 3$

• $B$ es una matriz de orden $3 \times 4$

• $C$ es una matriz de orden $4 \times 2$

Indica razonadamente cuáles de los siguientes productos se pueden realizar y, en caso afirmativo, especifica la dimensión de la matriz resultante:

1. a) $A \cdot B$
2. b) $B \cdot A$
3. c) $(A \cdot B) \cdot C$

Calcula el producto de las matrices $A$ y $B$ en el orden $A \cdot B$, siendo:

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

Una plataforma de streaming analiza el consumo de dos usuarios durante el fin de semana. La matriz $C$ representa las horas de series y películas consumidas el sábado (fila 1) y el domingo (fila 2):

$C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

Si el costo por hora de mantenimiento de los servidores para series es de $3\,500$ guaraníes y para películas de $5\,600$ guaraníes, representados por la matriz columna $P = \begin{pmatrix} 3\,500 \\ 5\,600 \end{pmatrix}$, calculá el producto $C \cdot P$ e interpretá el significado de los elementos de la matriz resultante.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ -3 & 7 \end{pmatrix}$, comprueba que se cumple la propiedad del elemento neutro realizando las operaciones:

1. a) $M \cdot I_2$
2. b) $I_2 \cdot M$

Donde $I_2$ es la matriz identidad de orden 2.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula las potencias $A^2$ y $A^3$.

1. b) A la vista del resultado, ¿podrías deducir cuál sería la expresión de $A^n$ para cualquier número natural $n$?

Determina el valor del número real $x$ para que se verifique la siguiente igualdad matricial:

$\begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$

Una tienda online de accesorios informáticos registra el pedido de un cliente: 3 mouses inalámbricos a $\text{₲}\ 84\,000$ cada uno, 5 cables USB-C a $\text{₲}\ 42\,000$ cada uno y 2 soportes para notebook a $\text{₲}\ 175\,000$ cada uno.

Representá las cantidades como una matriz fila $Q = (3 \quad 5 \quad 2)$ y los precios unitarios como una matriz columna $P$. Calculá el producto $Q \cdot P$ para obtener el monto total del pedido.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, demuestra que el producto de matrices no es conmutativo calculando:

1. a) $A \cdot B$
2. b) $B \cdot A$

Compara ambos resultados.

En una competición de deportes electrónicos (eSports), la matriz $A$ recoge la puntuación de dos equipos (filas) en tres juegos diferentes (columnas). La matriz $B$ indica, para cada juego (filas), los puntos de bonificación de dos tipos (columnas): la primera columna son los puntos por victoria y la segunda, los puntos por consistencia.

Dadas las matrices:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

1. a) Calcula el producto $C = A \cdot B$.

1. b) Interpreta qué representa el elemento $c_{11}$ de $C$ teniendo en cuenta que las filas de $A$ son los equipos, las columnas de $A$ y las filas de $B$ son los juegos, y las columnas de $B$ son los tipos de bonificación (puntos por victoria y puntos por consistencia).

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que las siguientes matrices $M$ y $N$ conmuten, es decir, que se cumpla la igualdad $M \cdot N = N \cdot M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $N = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & b \end{pmatrix}$

La red de cercanías de una ciudad conecta tres estaciones ($A$, $B$ y $C$). La matriz de adyacencia $G$ representa los enlaces directos entre las estaciones (donde $g_{ij} = 1$ si hay enlace directo de la estación $i$ a la $j$):

$G = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Calcula $G^2$ y $G^3$. Explica, basándote en el significado del producto de matrices de adyacencia, cuántas formas diferentes hay de viajar desde la estación $A$ hasta la estación $B$ realizando exactamente dos transbordos (es decir, en 3 trayectos).

Dada la matriz cuadrada $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula $A^2$, $A^3$ y $A^4$.
2. b) Basándote en los resultados anteriores, conjetura una fórmula general para $A^n$ donde $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Demuestra la fórmula obtenida utilizando el método de inducción matemática.

Sea la matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula $M^2$. ¿Cómo se denomina a este tipo de matrices?
2. b) Utiliza el resultado anterior para hallar, de forma razonada y sin realizar multiplicaciones largas, el valor de la potencia $M^{2025}$.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula $(A+B)^2$.
2. b) Calcula $A^2 + 2AB + B^2$.
3. c) Compara ambos resultados y justifica por qué, en el álgebra de matrices, la identidad notable del binomio al cuadrado no se cumple de forma general. ¿Qué condición debería cumplirse para que fuera cierta?

Halla la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación polinómica matricial:

$X = A^2 - 5A + 2I$

Siendo $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 2.

Si $A$ es una matriz cuadrada de orden 3 tal que verifica la relación $A^2 - A + I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula:

1. a) Expresa $A^3$ como una combinación lineal de $A$ e $I$.
2. b) Expresa $A^4$ en función de $A$ e $I$.
3. c) Si $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, comprueba si se cumple la condición inicial.

Dada la matriz cuadrada de orden 3:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcula las potencias $A^2$, $A^3$ y $A^4$. A partir de los resultados obtenidos, conjetura una fórmula general para la expresión de $A^n$ en función de $n \in \mathbb{N}$ y demuéstrala mediante el método de inducción matemática.

En el desarrollo de un nuevo motor para drones, un equipo de ingenieros utiliza una matriz de transferencia $M$ que relaciona las vibraciones en tres puntos estructurales. La matriz viene dada por:

$$M = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

donde $a$ y $b$ son parámetros reales no nulos.

1. a) Demuestra que la matriz $M$ es nilpotente y determina su índice de nilpotencia (el menor exponente $k$ tal que $M^k = O$).
2. b) Utiliza el resultado anterior para calcular de forma simplificada la matriz $S = I + M + M^2 + M^3 + \dots + M^{100}$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3.

Una red social analiza la difusión de un contenido "viral" entre cuatro grupos de usuarios ($G_1, G_2, G_3, G_4$). La probabilidad de que un usuario del grupo $i$ comparta el contenido con el grupo $j$ en una hora viene dada por la matriz de adyacencia ponderada $A$:

Si la matriz de transición es $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula $A^2$, $A^3$ y $A^4$. Interpreta qué significa el elemento $a_{11}$ de la matriz $A^4$ en el contexto de la difusión de información.
2. b) Determina la matriz $B = A + A^2 + A^3 + A^4$. ¿Qué representa esta matriz respecto a las conexiones entre los grupos?

Sea $M$ una matriz cuadrada de orden 2 que verifica la ecuación polinómica $M^2 - 5M + 6I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula.

1. a) Si $M = \begin{pmatrix} 4 & x \\ 2 & y \end{pmatrix}$, encuentra los valores de $x$ e $y$ para que se cumpla la ecuación.
2. b) Utilizando únicamente la relación $M^2 = 5M - 6I$, expresa la matriz $M^4$ como una combinación lineal de $M$ e $I$ (es decir, halla los escalares $\alpha$ y $\beta$ tales que $M^4 = \alpha M + \beta I$).

Considera el conjunto de matrices de la forma $A(x) = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{pmatrix}$, que representan giros de ángulo $x$ en el plano.

1. a) Demuestra razonadamente que el producto de dos matrices de este tipo cumple la propiedad $A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$.
2. b) Basándote en el apartado anterior, halla la expresión de $[A(x)]^n$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Determina los valores de $x \in [0, 2\pi)$ para los cuales $[A(x)]^3 = I$.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula los productos $AB$ y $BA$. ¿Son las matrices $A$ y $B$ conmutables?
2. b) Calcula $(AB)^2$ y $A^2B^2$. Justifica por qué los resultados son distintos a partir de las propiedades del producto de matrices.
3. c) Halla la traza de la matriz $C = B^{30}$.

Un centro logístico de Amazon utiliza una matriz $P$ para organizar el flujo de paquetes entre tres muelles de carga. La matriz de flujo es $P = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/4 & 0 & 3/4 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}$.

Se dice que una matriz es estocástica si la suma de los elementos de cada una de sus filas es igual a 1.

1. a) Comprueba que $P$ es una matriz estocástica.
2. b) Demuestra que el producto de dos matrices estocásticas de orden 3 es también una matriz estocástica.
3. c) Calcula $P^2$ y verifica si mantiene esta propiedad.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 1 & k \end{pmatrix}$ con $k \in \mathbb{R}$.

1. a) Calcula $A^2$, $A^3$ y $A^4$.

1. b) Determina la expresión general de $A^n$.

1. c) En un sistema de computación cuántica, se requiere que una matriz de operación cumpla que la suma de todos sus elementos sea igual a 81 después de 3 iteraciones (es decir, en $A^3$). Si $k > 0$, determina el valor del parámetro $k$ para que esto ocurra.