Ejercicios: Matriz traspuesta e inversa

Un analista de datos de una aplicación de música organiza las reproducciones semanales de tres artistas (Artista 1, Artista 2 y Artista 3) en dos regiones distintas (Norte y Sur) mediante la matriz $A$. Cada fila corresponde a un artista y cada columna a una región, en el orden indicado. Los elementos $a_{ij}$ representan miles de reproducciones.

$$A = \begin{pmatrix} 45 & 12 \\ 30 & 58 \\ 10 & 25 \end{pmatrix}$$

Se pide:

1. a) Indica la dimensión de la matriz $A$ y el valor de los elementos $a_{12}$ y $a_{31}$.

1. b) Escribe la matriz traspuesta $A^t$ e interpreta qué representan ahora sus filas y columnas.

En el diseño de un nivel para un videojuego, las coordenadas de los obstáculos deben ser simétricas respecto a un eje central. Para que una matriz de diseño $M$ sea simétrica, debe cumplirse que $M = M^t$.

Dada la matriz:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & x-2 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$$

Calcula el valor de $x$ para que la matriz $M$ sea simétrica.

Dadas las matrices $A$ y $B$, resuelve la ecuación matricial para despejar la matriz $X$:

$$X - A = B^t$$

Siendo:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$$

Comprueba si la matriz $B$ es la inversa de la matriz $A$ utilizando la definición de matriz inversa ($A \cdot B = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2).

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Calcula el producto $A \cdot B$ multiplicando cada fila de $A$ por cada columna de $B$, escribe el desarrollo de cada elemento y compara el resultado con $I$ para concluir.

Un grupo de cuatro amigos (A, B, C y D) están conectados en una red social interna. La relación "A sigue a B" se representa con un 1 en la matriz de adyacencia $G$. Si el grafo es dirigido, la matriz no tiene por qué ser simétrica.

Construye la matriz de adyacencia $G$ a partir del siguiente grafo:

• A sigue a B y a C.

• B sigue a A.

• C sigue a D.

• D sigue a C y a B.

(Nota: los elementos de la diagonal principal son 0 porque nadie se sigue a sí mismo).

Dadas las matrices $A$ y $B$, comprueba mediante el cálculo explícito la propiedad de la traspuesta de la suma: $(A + B)^t = A^t + B^t$.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$$

Calcula la matriz inversa de $M$ utilizando el método que prefieras (planteando un sistema de ecuaciones o mediante el método de Gauss-Jordan).

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Si eliges el método de Gauss-Jordan, el esquema es el que muestra la figura: partes de la matriz ampliada $[\,M \mid I\,]$ y, mediante transformaciones elementales por filas, debes llegar a $[\,I \mid M^{-1}\,]$.

Dada la matriz cuadrada $A$ de orden 2, calcula el resultado de la siguiente operación combinada:

$$3 \cdot A^t - I_2$$

Siendo $I_2$ la matriz identidad de orden 2 y:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Dada la matriz dependiente del parámetro real $k$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Determina para qué valores de $k$ la matriz $A$ no admite matriz inversa.
2. b) Para $k = 2$, calcula la matriz inversa $A^{-1}$ utilizando el método de Gauss-Jordan.
3. c) ¿Existe algún valor de $k$ para el cual la matriz sea simétrica? Justifica tu respuesta calculando $A^t$.

Una empresa de mensajería utiliza una matriz de transmisión $T$ para organizar los envíos entre tres nodos logísticos ($N_1, N_2, N_3$). La matriz viene dada por:

$T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Para realizar una auditoría inversa, necesitan hallar la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial:

$T \cdot X - T^t = I$

Donde $T^t$ es la traspuesta de $T$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3. Calcula razonadamente la matriz $X$ despejándola previamente en la ecuación.

En el diseño de un filtro para una aplicación de edición fotográfica, se utiliza una matriz de transformación $M$ definida por:

$M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}$

Se sabe que dicha matriz debe ser involutiva, es decir, su propia inversa coincide con ella misma ($M = M^{-1}$), lo cual equivale a decir que $M^2 = I$.

1. a) Calcula $M^2$ en función de $a$ y $b$.
2. b) Determina los valores de $a$ y $b$ para que se cumpla la condición de matriz involutiva, sabiendo que $a$ debe ser un número negativo.
3. c) Para los valores hallados, comprueba que $M \cdot M^t$ es una matriz simétrica.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula $(A \cdot B)^t$ y $B^t \cdot A^t$. Comprueba si se verifica la propiedad de la traspuesta de un producto.
2. b) Halla las matrices inversas $A^{-1}$ y $B^{-1}$.
3. c) Resuelve la ecuación matricial $A \cdot X \cdot B = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

Un sistema de encriptación de mensajes cortos utiliza una matriz clave $K$ de orden 2 para transformar vectores de datos. Para que el receptor pueda descifrar el mensaje, la matriz $K$ debe ser invertible. La matriz es:

$K = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\operatorname{sen} \alpha \\ \operatorname{sen} \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$

1. a) Demuestra que, para cualquier valor de $\alpha$, se cumple que $K^t = K^{-1}$. (A este tipo de matrices se las denomina ortogonales).

1. b) Si un mensaje llega como el vector $E = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y sabemos que $\alpha = 90^\circ$, calcula el vector original $V$ resolviendo $K \cdot V = E$. En la figura tienes representado el vector recibido $E$.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

1. a) Determina la matriz $C = A + B^t$.
2. b) Calcula la matriz inversa $C^{-1}$.
3. c) Encuentra una matriz $X$ tal que $C \cdot X = A \cdot B$.

Se considera la matriz cuadrada $M$ de orden 3:

$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Calcula $M^2$ y $M^3$. ¿Es $M$ una matriz invertible? Razona la respuesta basándote en el cálculo de su rango o su determinante.
2. b) Calcula la matriz $A = I + M + M^2$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.
3. c) Comprueba mediante el producto de matrices que la inversa de la matriz $B = I - M$ es precisamente la matriz $A$ calculada en el apartado anterior.

Una aerolínea de bajo costo opera rutas entre cuatro aeropuertos ($A, B, C, D$). La matriz de adyacencia $M$ representa las conexiones directas (un $1$ en la posición $ij$ significa que hay vuelo directo del aeropuerto $i$ al aeropuerto $j$):

$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Calculá la matriz traspuesta $M^t$ e interpretá qué información aporta respecto a la dirección de las rutas.
2. b) Determiná si la matriz $S = M + M^t$ es simétrica. ¿Qué representa el valor de los elementos de la diagonal principal de $S$?
3. c) Si se define una matriz de "asimetría de rutas" como $K = M - M^t$, demostrá que $K$ es una matriz antisimétrica comprobando que $K^t = -K$.

Dada la matriz $A$ que depende de un parámetro real $k$:

$A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 \\ 1 & 1 & k-1 \end{pmatrix}$

Se pide:

1. Determinar para qué valores de $k$ la matriz $A$ no admite matriz inversa.

2. Para el caso $k = 1$, resolver la ecuación matricial $A \cdot X \cdot A^t = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Utiliza las propiedades de la matriz traspuesta e inversa para simplificar el proceso antes de operar.

En un sistema de mensajería instantánea, la seguridad de los mensajes se basa en el cifrado matricial. Supongamos que un mensaje se representa por una matriz $M$ y se cifra utilizando una matriz clave $K$ mediante la operación $C = K \cdot M$. Para descifrarlo, el receptor debe calcular $M = K^{-1} \cdot C$.

Se conoce la matriz clave $K$:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

1. Demuestra que la matriz clave $K$ es regular calculando su inversa mediante el método de Gauss-Jordan.

2. Si se recibe el mensaje cifrado $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$, determina el mensaje original $M$.

Dada la matriz cuadrada $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$:

1. Calcula $A^2$ y $A^3$.

2. Basándote en los resultados anteriores, conjetura una fórmula para $A^n$ y demuéstrala por el método de inducción matemática.

3. Utiliza el resultado anterior para calcular la matriz inversa $(A^n)^{-1}$ expresándola en función de $n$.

Una red social analiza la influencia entre 4 "influencers" ($V_1, V_2, V_3, V_4$). La relación de influencia directa se representa mediante la matriz de adyacencia $G$, donde $g_{ij} = 1$ si el influencer $i$ influye directamente en el $j$, y $0$ en caso contrario.

$$G = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

1. a) Dibuja el grafo dirigido correspondiente a esta matriz.

1. b) Se dice que una matriz es ortogonal si $G \cdot G^t = I$. Comprueba si $G$ es ortogonal. En caso negativo, explica razonadamente qué significaría geométricamente que una matriz de adyacencia fuera ortogonal.

1. c) Calcula $(G^t + I)^{-1}$ si existe.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera las matrices $A$ y $B$ de orden 3 tales que $|A| \neq 0$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Sin calcular los elementos de $A$, resuelve la siguiente ecuación matricial para la matriz $X$:

$$(A \cdot X \cdot B)^t = B^{-1}$$

Expresa $X$ en función de $A$, $B$ y sus traspuestas e inversas. Una vez obtenida la expresión algebraica, calcula los elementos de $X$ sabiendo que $A = I$ (matriz identidad).

Sea $M$ una matriz cuadrada de orden $n$ que cumple la propiedad de ser involutiva, es decir, $M^2 = I$.

1. Demuestra que para cualquier matriz involutiva se cumple que $M = M^{-1}$.

2. Si tenemos la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ -3 & -a \end{pmatrix}$, calcula los valores de $a$ para que $A$ sea involutiva.

3. Para los valores de $a$ hallados, resuelve la ecuación $(A^t + I) \cdot X = A$.

Toda matriz cuadrada $M$ puede descomponerse de forma única como la suma de una matriz simétrica $S$ (donde $S = S^t$) y una matriz antisimétrica $N$ (donde $N = -N^t$), mediante las fórmulas:

$S = \frac{1}{2}(M + M^t)$ y $N = \frac{1}{2}(M - M^t)$

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$:

1. Halla su descomposición en $S$ y $N$.

2. Calcula la inversa de la parte simétrica $S^{-1}$.

3. Justifica si es posible que la parte antisimétrica $N$ de una matriz de orden 3 sea invertible.

En el estudio de gráficos por computadora, las transformaciones se realizan mediante matrices. Una matriz de rotación en el plano $\mathbb{R}^2$ viene dada por:

$$R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$$

1. Demostrá analíticamente que la matriz traspuesta de $R(\alpha)$ coincide con su matriz inversa, es decir, $R(\alpha)^t = R(\alpha)^{-1}$.

2. Sea $A = R(45^\circ)$. Calculá la matriz $X$ que satisface la ecuación:

$$A^t \cdot X - I = A^{-1}$$

donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.