Ejercicios: Características de las funciones

Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.

Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.

Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.

Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.

Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.

Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.

A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.

Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.

Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.

Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.

Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.

Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en metros que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina en qué instante alcanza la altura máxima y cuál es el valor de dicha altura.

Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, la función que describe el área es $A(x) = x(100-2x)$. Determina el dominio de la función en el contexto del problema y calcula las dimensiones que maximizan el área.

Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$

Halla sus puntos de corte con los ejes y estudia su signo en todo su dominio.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.

Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.

Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas en $x = 1$.

El costo medio mensual (en guaraníes) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{2\,100\,000x + 8\,400\,000}{x}$, donde $x$ es el número de unidades producidas ($x > 0$). Determiná el dominio en el contexto del problema, estudiá su signo y demostrá analíticamente en qué intervalos el costo medio es creciente o decreciente.

Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.

Una noria tiene un radio de $10\text{ m}$, su centro se sitúa a $15\text{ m}$ del suelo y gira a velocidad constante tardando $4\text{ min}$ en dar una vuelta completa. Una cabina se encuentra en su punto más bajo en el instante $t = 0\text{ min}$. Sabiendo que la altura $h(t)$ en metros de la cabina en función del tiempo $t$ en minutos se modela con una función trigonométrica, determina su periodo, las alturas máxima y mínima que alcanza la cabina, y los instantes de tiempo en los que se alcanzan durante el primer ciclo completo.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas en los puntos $x = 4$ y $x = -4$.

Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.

A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e intervalos de signo positivo y negativo.