Ejercicios: La ecuación de ondas y su relación con el MAS

En un laboratorio se genera en una cuerda tensa una onda transversal cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0,05 \cdot \sen(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$. La figura muestra el perfil de la cuerda en un instante.

1. a) Indicá los valores de la amplitud $A$, del número de onda $k$ y de la frecuencia angular $\omega$.
2. b) Razoná, a partir del signo que acompaña al término en $t$ dentro de la fase, en qué sentido del eje $x$ se propaga la onda.

Un diapasón vibra y genera en el aire una onda armónica de frecuencia angular $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$.

1. a) Calculá su período $T$, recordando que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$.
2. b) Calculá su frecuencia $f$, en $\text{Hz}$.

En una cubeta de ondas del laboratorio se generan ondas en la superficie del agua con un número de onda $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$. La figura muestra el perfil de la superficie en un instante.

1. a) Calculá la longitud de onda $\lambda$, recordando que $\lambda = \frac{2 \cdot \pi}{k}$.
2. b) Explicá con tus palabras qué representa físicamente la longitud de onda observando el perfil de la superficie.

El oído humano percibe sonidos entre $20\ \text{Hz}$ y $20\ \text{kHz}$, y el sonido viaja por el aire a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Calculá la longitud de onda del sonido más grave que podemos oír usando $v = \lambda \cdot f$.
2. b) Calculá la longitud de onda del sonido más agudo que podemos oír, expresando antes $20\ \text{kHz}$ en hercios.
3. c) Razoná, a la vista de los resultados, cómo varía la longitud de onda cuando aumenta la frecuencia si la velocidad no cambia.

La ecuación $y(x, t) = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$ describe una perturbación doblemente periódica: en el tiempo y en el espacio. Los dos gráficos de la figura representan esa doble periodicidad.

1. a) Si elegimos un punto fijo del medio (fijamos $x$), ¿con qué período oscila? Expresalo en función de $\omega$.
2. b) Si observamos el perfil de la perturbación en un instante fijo (fijamos $t$), ¿cada qué distancia se repite? Expresalo en función de $k$.
3. c) Explicá, a partir de lo anterior, por qué se dice que el movimiento ondulatorio combina una oscilación en el tiempo con una periodicidad en el espacio.

Por un resorte espiral tenso se propaga una onda longitudinal cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0,04 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calculá su frecuencia $f$ y su período $T$.
2. b) Calculá su longitud de onda $\lambda$.
3. c) Calculá su velocidad de propagación usando $v = \frac{\omega}{k}$.

Cuando una onda armónica atraviesa un medio, cada punto del medio oscila con un movimiento armónico simple (MAS).

1. a) Indicá qué magnitudes del MAS de cada punto coinciden con las de la onda: pensá en la amplitud y en la frecuencia.
2. b) Indicá qué magnitud distingue la oscilación de un punto cercano al foco de la de un punto más alejado.
3. c) Explicá la diferencia entre la velocidad de oscilación de un punto del medio y la velocidad de propagación de la onda.

Una onda transversal viaja por una cuerda según la ecuación, en unidades del Sistema Internacional, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sen(5 \cdot x + 20 \cdot t)$.

1. a) Determiná en qué sentido del eje $x$ se propaga la onda y justificalo a partir del signo de la fase.
2. b) Calculá su velocidad de propagación a partir de $k$ y $\omega$.
3. c) Reescribí la ecuación cambiando lo imprescindible para que la onda viajara en el sentido positivo del eje.

Una boya oceanográfica registra el paso de un tren de olas de amplitud $1,5\ \text{m}$ y período $T = 4\ \text{s}$; la distancia entre dos crestas consecutivas es de $25\ \text{m}$. La figura representa el perfil de las olas.

1. a) Calculá la frecuencia angular $\omega$ y el número de onda $k$.
2. b) Calculá la velocidad de propagación de las olas usando $v = \lambda \cdot f$.
3. c) Escribí la ecuación de ondas suponiendo fase inicial nula y propagación en el sentido positivo del eje $x$.

Por una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0,02 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot x - 200 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calculá la elongación del punto situado en $x = 0,5\ \text{m}$ en el instante $t = 0,01\ \text{s}$.
2. b) Indicá cuál es la elongación máxima que puede alcanzar ese punto y razoná si depende del punto elegido.
3. c) Calculá el período con el que oscila ese punto.

Para estudiar la fase de una onda sonora de $f = 85\ \text{Hz}$ que viaja por el aire a $340\ \text{m/s}$ se colocan dos micrófonos alineados con el altavoz que la emite, como se muestra en la figura.

1. a) Calculá la longitud de onda del sonido.
2. b) Calculá la diferencia de fase entre las oscilaciones de dos puntos separados $1\ \text{m}$, usando $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Los micrófonos se colocan finalmente separados $2\ \text{m}$: calculá el nuevo desfase y razoná si en ese caso los puntos oscilan en fase o en oposición de fase.

En una prospección geológica se genera una onda sísmica armónica de amplitud $0,01\ \text{m}$ y frecuencia $f = 10\ \text{Hz}$ que se propaga por el terreno a $6000\ \text{m/s}$ en el sentido positivo del eje $x$.

1. a) Calculá su longitud de onda y su número de onda.
2. b) Calculá su frecuencia angular.
3. c) Escribí su ecuación de ondas sabiendo que la fase inicial es $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$.

Un punto del centro de una cuerda de violín oscila con amplitud $A = 5\cdot10^{-4}\ \text{m}$ cuando la cuerda emite un la de $f = 440\ \text{Hz}$.

1. a) Calculá la frecuencia angular de la oscilación.
2. b) Sabiendo que la velocidad máxima de oscilación de un MAS es $v_{max} = A \cdot \omega$, calculá la velocidad máxima de ese punto.
3. c) La onda viaja por esa cuerda a $250\ \text{m/s}$: compará ese valor con el del apartado anterior y razoná por qué ambas velocidades son tan distintas aunque se midan en la misma cuerda.

Un generador de ultrasonidos de laboratorio emite ondas de $f = 40\ \text{kHz}$ que se propagan por el aire a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Expresá la frecuencia en hercios y calculá la longitud de onda, en metros y en milímetros.
2. b) Calculá el período y expresalo en segundos y en microsegundos ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
3. c) Razoná, sabiendo que el oído humano percibe como mucho unos $20\ \text{kHz}$, por qué nadie oye el tono que emite el generador.

La fotografía instantánea de una cuerda muestra un perfil senoidal cuyas crestas se elevan $5\ \text{cm}$ sobre la posición de equilibrio y distan entre sí $80\ \text{cm}$; la perturbación avanza por la cuerda a $2\ \text{m/s}$. La figura muestra esa fotografía instantánea.

1. a) Determiná la amplitud y la longitud de onda a partir de la descripción de la fotografía, expresándolas en metros.
2. b) Calculá la frecuencia, el periodo, la frecuencia angular y el número de onda.
3. c) Escribí la ecuación de ondas con fase inicial nula y propagación en el sentido positivo del eje $x$, con todas las magnitudes en unidades del Sistema Internacional.

Una onda transversal de amplitud $0,04\ \text{m}$ y periodo $T = 0,5\ \text{s}$ se propaga por una cuerda a $8\ \text{m/s}$ en el sentido negativo del eje $x$.

1. a) Calculá su frecuencia angular.
2. b) Calculá su longitud de onda y su número de onda.
3. c) Escribí su ecuación de ondas con fase inicial nula, cuidando el signo de la fase para que represente el sentido de propagación indicado.

Por una cuerda de laboratorio viaja una onda armónica de $f = 50\ \text{Hz}$ a $200\ \text{m/s}$. En la figura se representa el perfil de la onda con tres puntos P, Q y R señalados.

1. a) Calculá su longitud de onda.
2. b) Calculá la distancia mínima entre dos puntos de la cuerda que oscilan en fase y justificá el resultado.
3. c) Calculá la distancia mínima entre dos puntos que oscilan en oposición de fase.
4. d) Determiná el desfase entre dos puntos separados $3\ \text{m}$ y describí cómo oscila uno respecto del otro.

Por una cuerda tensa se propaga en el sentido positivo del eje $x$ una onda transversal de amplitud $0,05\ \text{m}$, frecuencia angular $\omega = 20 \cdot \pi\ \text{rad/s}$ y velocidad $10\ \text{m/s}$. En el instante $t = 0$ el punto del origen alcanza su elongación máxima positiva.

1. a) Calculá el número de onda $k$.
2. b) Determiná la fase inicial $\varphi_0$ imponiendo la condición $y(0, 0) = A$.
3. c) Escribí la ecuación de ondas completa.
4. d) Calculá la elongación del punto $x = 1\ \text{m}$ en el instante $t = 0,05\ \text{s}$ y razoná el signo del resultado.

En un canal de olas de laboratorio se propaga en el sentido positivo del eje $x$ una onda de amplitud $0,1\ \text{m}$ y velocidad $4\ \text{m/s}$. En el instante $t = 0$ el perfil de la superficie, con las crestas separadas $2\ \text{m}$, viene dado por $y(x, 0) = 0,1 \cdot \sen(\pi \cdot x)$.

1. a) Determiná $k$ y $\omega$ y escribí la ecuación de ondas completa.
2. b) Expresá la elongación del punto $x = 0,5\ \text{m}$ en función del tiempo y razoná si justo después de $t = 0$ ese punto sube o baja.
3. c) Comprobá la elongación inicial del punto $x = 1\ \text{m}$ y deducí en qué sentido empieza a moverse.

En una exploración de ecografía se emplean ultrasonidos de $f = 3,5\ \text{MHz}$ que se propagan por el tejido blando a $1540\ \text{m/s}$.

1. a) Calculá la longitud de onda en metros y expresala en milímetros.
2. b) El eco reflejado en una estructura interna se recibe $8\cdot10^{-5}\ \text{s}$ después de la emisión: teniendo en cuenta que el pulso recorre dos veces esa distancia, calculá la profundidad de la estructura.
3. c) Razoná por qué para apreciar detalles de pocos milímetros interesa trabajar con frecuencias de megahercios en lugar de sonidos audibles.

Una onda armónica de $f = 2\ \text{Hz}$ y amplitud $0,05\ \text{m}$ viaja en el sentido positivo del eje $x$ por una cuerda ligera a $6\ \text{m/s}$ y pasa a una segunda cuerda más densa, unida a la primera, donde su velocidad es de $3\ \text{m/s}$. En el cambio de medio la frecuencia se conserva. Observá el esquema de las dos cuerdas unidas:

1. a) Calculá la longitud de onda en cada cuerda.
2. b) Escribí la ecuación de ondas en cada una de las cuerdas, con fase inicial nula.
3. c) Indicá qué magnitudes se conservan y cuáles cambian al pasar de una cuerda a la otra.
4. d) Razoná, pensando en cómo oscila el punto de unión entre ambas cuerdas, por qué la frecuencia no puede cambiar en ese punto.

En una cuerda tensa se observa que dos puntos separados $1\ \text{m}$ oscilan siempre en fase.

1. a) Justificá que la longitud de onda solo puede tomar los valores $\lambda = \frac{1}{n}\ \text{m}$, con $n = 1, 2, 3, \dots$
2. b) Si se sabe además que $\lambda > 0,4\ \text{m}$, determiná todos los valores posibles de $\lambda$.
3. c) La velocidad de propagación en la cuerda es de $100\ \text{m/s}$: calculá la frecuencia correspondiente a cada valor posible.
4. d) Proponé una medida adicional que permitiera decidir cuál de los valores es el real y justificá tu propuesta.