Ejercicios: Expresiones algebraicas

En el mundo de los videojuegos, es muy común traducir situaciones a lenguaje matemático. Si llamamos $x$ al número de gemas que tienes en un cofre, expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones:

• El triple de las gemas que tienes.

• El número de gemas que tendrás si encuentras 15 más.

• El número de gemas que te quedan después de gastar la mitad en una skin.

• El doble de tus gemas menos 5 que le debes a un amigo.

Observa la siguiente serie de figuras formadas con palillos de madera. Queremos saber cuántos palillos necesitaremos para construir una fila de $n$ cuadrados.

Si para 1 cuadrado usas 4 palillos, para 2 cuadrados usas 7 palillos y para 3 cuadrados usas 10 palillos:

1. a) ¿Cuántos palillos añadirías por cada nuevo cuadrado?

1. b) Escribe la fórmula o expresión algebraica que permite calcular el número total de palillos para $n$ cuadrados.

Identificar las partes de un monomio es fundamental para "hablar" álgebra. Completa mentalmente o en tu cuaderno la información para los siguientes monomios:

• $5x^3 \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grado: ___

• $-ab^2 \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grado: ___

• $\frac{1}{2}y \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grado: ___

• $-7 \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grado: ___

El valor numérico es el resultado de sustituir la letra por un número. Imaginá que el costo de organizar una fiesta de cumpleaños viene dado por la expresión $15n + 50$, donde $n$ es el número de invitados.

Calculá cuánto costará la fiesta si decidís invitar a:

• $n = 10$ amigos.

• $n = 20$ amigos.

• $n = 25$ amigos.

En las clases de Educación Física, el profesor nos pide rodear un campo rectangular de entrenamiento. No conocemos las medidas exactas, pero sabemos que el largo mide $L$ metros y el ancho mide $a$ metros.

• Escribe la expresión algebraica del perímetro del campo.

• Si el profesor nos dice que el largo es el doble que el ancho ($L = 2a$), vuelve a escribir la expresión del perímetro utilizando solo la letra $a$.

Para simplificar expresiones, solo podemos sumar o restar monomios semejantes (aquellos que tienen la misma parte literal). Reduce al máximo las siguientes expresiones:

• $3x + 5x - x$

• $2a + 7b - a + 3b$

• $4x^2 + 2x^2 - 5x$

• $m + m + m + n + n$

Lucía y su hermano Adrián están comparando el dinero que ahorraron para el próximo festival. Lucía tiene $x$ guaraníes. Expresá en lenguaje algebraico el dinero que tiene Adrián en cada uno de estos casos independientes:

• Adrián tiene 84.000 guaraníes más que Lucía.

• Adrián tiene el doble que Lucía.

• Adrián tiene 35.000 guaraníes menos que el triple de lo que tiene Lucía.

• Si juntan el dinero de los dos y la municipalidad les regala 140.000 guaraníes extra.

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores indicados. Ten mucho cuidado con los signos negativos y recuerda el orden de las operaciones:

• $2x + 7$ para $x = -3$

• $x^2 - 5$ para $x = 4$

• $3(a + b)$ para $a = 2, b = 5$

• $\frac{x}{2} + 10$ para $x = 8$

En una plataforma de videojuegos en línea, la suscripción mensual cuesta $84\,000$ guaraníes fijos, pero cada vez que comprás un "aspecto" o skin para tu personaje, te cobran $21\,000$ guaraníes adicionales.

• a) Escribí una expresión algebraica que permita calcular el costo total mensual si comprás $x$ número de skins.

• b) Si un mes decidís comprar $4$ skins, utilizá la expresión anterior para calcular cuánto pagarás en total.

• c) Traducí a lenguaje ordinario qué significaría la expresión $84\,000 + 21\,000(x + 1)$.

Observá el diseño de esta nueva zona de skate que la municipalidad quiere construir. Las dimensiones están expresadas en metros utilizando la variable $x$.

• a) Escribí una expresión algebraica simplificada que represente el perímetro total de la zona de skate.

• b) Calculá el perímetro si el valor de la incógnita es $x = 4$ metros.

En el estudio de los monomios, es fundamental identificar sus partes para poder operar con ellos. Completa la información del siguiente listado de monomios:

• Monomio A: $-5ax^3$

• Monomio B: $\frac{2}{3}y^2z$

• Monomio C: $-x^2y^2$

• Monomio D: $12$

Para cada uno, indica:

1. El coeficiente.

2. La parte literal.

3. El grado del monomio.

4. Escribe un monomio que sea semejante al Monomio A.

Un influencer está analizando el crecimiento de sus seguidores. Ha creado una fórmula para estimar los "puntos de impacto" ($I$) de sus publicaciones:

$I = 10a + 5b - 2c$

Donde:

• $a$ es el número de "me gusta" (en miles).

• $b$ es el número de veces que se comparte la publicación.

• $c$ es el número de comentarios negativos.

Calcula el valor numérico del impacto ($I$) para los siguientes datos:

• $a = 5$

• $b = 20$

• $c = 15$

Estamos construyendo una serie de figuras con azulejos cuadrados siguiendo un patrón determinado. Observa las tres primeras figuras de la serie:

• a) Si $n$ representa el número de la figura, escribe una expresión algebraica que indique cuántos azulejos cuadrados tendrá la figura $n$.

• b) ¿Cuántos azulejos tendrá la figura número $25$?

• c) ¿Qué número de figura tendrá exactamente $40$ azulejos?

Reduce las siguientes expresiones algebraicas agrupando los términos que sean semejantes. Recuerda aplicar correctamente la regla de los signos:

• a) $5x^2 - 3x + 2x^2 + x - 8$

• b) $3ab + 5a - 2ab + 7b - 4a$

• c) $-(2x + 5) + 3(x - 1)$

• d) $4y^2 - (2y^2 - 5y) + 3y$

Traducí estas situaciones reales al lenguaje algebraico utilizando una sola variable (la $x$):

• a) El precio de una entrada de cine ($x$) aumentado en un $10\%$ por gastos de gestión.

• b) La edad de Lucía, sabiendo que es tres años menor que el doble de la edad de su hermano menor ($x$).

• c) La suma de tres números enteros consecutivos.

• d) Los ahorros que me quedan si tenía $x$ guaraníes y me gasté la cuarta parte en un libro y luego $70\,000$ guaraníes en un regalo.

Realiza las siguientes operaciones con monomios y simplifica el resultado siempre que sea posible. Si el resultado es un número, indícalo:

• a) $(3x^2) \cdot (4x^3)$

• b) $(-15a^4b^2) : (3a^2b)$

• c) $2 \cdot (5xy) \cdot (-x^2)$

• d) $\frac{10x^3y}{2x^3y}$

En una reserva natural, se está estudiando el crecimiento de una especie de helecho que se expande siguiendo un patrón geométrico. En la primera semana (semana $n=1$), el helecho tiene una hoja central. En la segunda semana, le crecen tres hojas nuevas alrededor. En la tercera, crecen otras cinco.

Observa el patrón de las etapas y realiza las siguientes tareas:

• Encuentra una expresión algebraica que determine el número total de hojas del helecho en la semana $n$.

• Si un helecho tiene 121 hojas, ¿en qué semana se encuentra?

• Calcula el valor numérico para la semana $n = 15$.

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes. El costo total de un envío en guaraníes depende de tres factores: un costo fijo de mantenimiento ($F$), el peso del paquete en kg ($p$) y la distancia recorrida en km ($d$).

La fórmula que aplican es: $C = 1,5F + \frac{p \cdot d}{10} - 0,5p$.

• Si el costo fijo es de $F = 4$ guaraníes, simplificá la expresión reduciendo los monomios que sean semejantes.

• Calculá el valor numérico (costo del envío) para un paquete de $2$ kg que debe viajar $35$ km.

• ¿Qué factor influye más en el precio final si aumentamos una unidad: el peso o la distancia? Razoná tu respuesta basándote en la estructura de la expresión.

El plano de un nuevo centro recreativo para adolescentes tiene una forma irregular compuesta por un rectángulo central y dos áreas triangulares idénticas en los laterales. Las dimensiones están dadas en función de una variable $x$ que representa el ancho básico de las salas.

• Escribe la expresión algebraica simplificada del perímetro total de la figura.

• Escribe la expresión algebraica simplificada del área total del centro recreativo.

• Si para cumplir la normativa de seguridad el área total debe ser de al menos $150 \, m^2$, comprueba si el diseño es válido cuando $x = 5 \, m$.

En un videojuego de rol, el daño que inflige un hechizo de fuego se calcula con la expresión: $D = \frac{3(x + 2y)^2 - 6xy}{2}$, donde $x$ es el nivel de magia del personaje e $y$ es la potencia del báculo.

• Calcula el daño si el personaje tiene nivel de magia $x = 4$ y potencia de báculo $y = 1$.

• Un programador afirma que si el personaje no tiene báculo ($y = 0$), el daño se simplifica a una expresión proporcional al cuadrado del nivel de magia. Demuestra si esto es cierto realizando la sustitución y simplificando.

• Si doblamos el nivel de magia ($2x$) y mantenemos el báculo en $y = 0$, ¿cuántas veces aumenta el daño total?

Considera los siguientes tres monomios: $A = 12x^2y$, $B = -4x^2y$ y $C = 5xy^2$.

Realiza las siguientes operaciones combinadas y simplifica el resultado al máximo:

• $A + B - \frac{1}{2}A$

• $(A \cdot C) : (2xy)$

• Explica razonadamente por qué no puedes sumar el monomio $A$ con el monomio $C$. ¿Qué condición debería cambiar en su parte literal para que fuera posible?

Un grupo de amigos quiere alquilar una cancha de pádel durante varias horas ($h$). El precio del alquiler es de $84\,000$ guaraníes por hora. Además, necesitan alquilar paletas para todos. El alquiler de cada paleta cuesta $21\,000$ guaraníes por toda la sesión. Si el grupo está formado por $n$ personas:

• Escribí la expresión algebraica del costo total del alquiler ($C$) en función del número de horas ($h$) y el número de personas ($n$).

• Si deciden pagar el costo total en partes iguales, escribí la expresión de lo que debe pagar cada persona.

• Simplificá la expresión anterior. ¿Depende la parte correspondiente a las paletas del número de personas que vayan? Justificá tu respuesta.

Marta está diseñando una estantería modular. Cada módulo cuadrado requiere $4$ tablas largas y $4$ conectores en las esquinas. Sin embargo, al unir módulos uno al lado del otro, comparten una tabla vertical y los dos conectores de sus extremos.

• Escribí una expresión algebraica que nos dé el número de tablas necesarias para montar una fila de $x$ módulos.

• Si cada tabla cuesta $a$ guaraníes y cada conector cuesta $b$ guaraníes, escribí la expresión del costo total de una fila de $x$ módulos.

• Simplificá la expresión del costo total si sabemos que el conector cuesta la cuarta parte que una tabla ($b = a/4$).