Exercícios: Função trigonométrica

Determine o domínio e o contradomínio da função trigonométrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.

Calcule o período da função $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.

Determine os pontos de interseção com o eixo das abcissas (eixo X) da função $h(x) = 2\sin(x) - 1$ no intervalo $[0, 2\pi]$.

Estude a simetria (par, ímpar ou nenhuma) das seguintes funções trigonométricas:

• $f(x) = x^2 \sin(x)$

• $g(x) = \cos(x) + x^4$

Avalie a função $f(x) = \tan(x)$ nos seguintes valores exatos expressos em radianos:

• $x = \frac{3\pi}{4}$

• $x = \frac{5\pi}{3}$

Calcule o valor exato em radianos das seguintes expressões com funções trigonométricas inversas, sem utilizar a calculadora:

• $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

• $\arccos(0)$

• $\arctan(\sqrt{3})$

Dada a função $y = 5 - 3\sin(2x)$, identifica a sua amplitude e a sua translação vertical em relação à função seno básica.

Escreva a expressão analítica de uma função do tipo $f(x) = A\cos(Bx)$ sabendo que a sua amplitude é $5$ e o seu período é $4\pi$.

Ao estudar a função $f(x) = -3\cos(2x) + 1$, o Lucas afirma no seu caderno:

«Como o coeficiente principal é $-3$, a amplitude da oscilação é $-3$. Além disso, como o $x$ está multiplicado por $2$, a função completa os seus ciclos duas vezes mais devagar, pelo que o período é $T = 2 \cdot 2\pi = 4\pi$. Finalmente, o contradomínio vai de $-3 + 1$ a $3 + 1$, ou seja, $[-2, 4]$».

1. a) Identifica fundamentadamente os dois erros conceptuais cometidos pelo Lucas na sua explicação.
2. b) Explica por que razão o contradomínio que obteve está numericamente correto, apesar de ter justificado mal a amplitude.
3. c) Escreve os valores verdadeiros e justificados da amplitude e do período de $f(x)$.

Escreve a expressão analítica de uma função trigonométrica da forma $f(x) = A\cos(Bx) + D$ (com $A > 0$ e $B > 0$) que cumpra simultaneamente as três condições seguintes:

1. O seu contradomínio é o intervalo $[-1, 7]$.

2. O seu período fundamental é de $4$ unidades.

3. Em $x = 0$, a função atinge um dos seus máximos absolutos.

Justifica passo a passo como deduzes o valor de cada um dos parâmetros $A$, $B$ e $D$ a partir das propriedades geométricas dadas.

A altura $h$ (em metros) a que se encontra uma cabine de uma roda-gigante em relação ao solo em função do tempo $t$ (em minutos) é dada pelo gráfico ao lado.

A partir do gráfico, determine a expressão analítica da função na forma $h(t) = A\cos(Bt) + C$. Justifique o valor dos parâmetros $A$, $B$ e $C$.

A profundidade da água $d$ (em metros) na entrada de um porto varia com as marés e pode ser modelada através da função $d(t) = 12 + 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde a meia-noite ($t=0$).

• Qual é a profundidade máxima e mínima da água no porto?

• A que horas do dia a profundidade máxima é atingida pela primeira e segunda vez?

Determine a expressão analítica da função $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sabendo que:

• O seu valor máximo é $4$ e o seu valor mínimo é $-2$.

• O seu período é $\pi$.

• Passa pelo ponto $(0, 1)$ e é crescente nesse instante.

Determine o domínio da função $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ no intervalo $[0, 2\pi]$.

A tensão $V$ (em volts) de um circuito de corrente alternada em função do tempo $t$ (em segundos) é dada por $V(t) = 311\sin(100\pi t)$.

• Calcule a frequência da corrente (número de ciclos completos por segundo).

• Determine o primeiro instante $t > 0$ em que a tensão atinge o seu valor máximo de $311$ V.

Uma câmara de seguimento está situada a $50\text{ m}$ da base de lançamento de um foguetão. O foguetão sobe verticalmente.

• Expresse o ângulo de elevação $\theta$ da câmara como uma função trigonométrica inversa da altura $h$ do foguetão.

• Calcule o ângulo de elevação exato (em radianos e graus) quando o foguetão se encontra a uma altura de $50\sqrt{3}\text{ m}$.

A posição de um peso suspenso por uma mola que oscila verticalmente é modelada através da função $y(t) = -5\cos(4\pi t)$, onde $y$ é o deslocamento em cm em relação à posição de equilíbrio ($y=0$) e $t$ é o tempo em segundos.

• Qual é a amplitude e o período do movimento?

• Em que instante $t > 0$ o peso passa pela primeira vez pela posição de equilíbrio?

Dada a função $f(x) = 2\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + \pi$:

• Determine o seu domínio.

• Determine o seu contradomínio.

Num dia de primavera em Évora, a temperatura exterior $T$ (em $^{\circ}\text{C}$) ao longo de um dia completo aproxima-se razoavelmente através do modelo:

onde $t$ é o tempo em horas decorridas desde a meia-noite ($t = 0$).

1. a) Sem fazeres cálculos analíticos com a fórmula, estima intuitivamente a que hora do dia esperarias a temperatura mínima e a máxima, e que valor de temperatura esperarias ter por volta das $12:00$ do meio-dia e por volta das $18:00$.
2. b) Agora calcula através da expressão analítica os valores exatos da temperatura máxima, da mínima e a temperatura às $12:00$ ($t = 12$) e às $18:00$ ($t = 18$).
3. c) Compara as tuas estimativas prévias com os resultados obtidos do modelo: as tuas expectativas coincidem com o gráfico de um cosseno refletido e transladado? Justifica a coerência do resultado físico com a expressão matemática.

Para calcular todas as assíntotas verticais da função $f(x) = \tan\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ no intervalo fechado $[0, \pi]$, dois alunos propõem duas estratégias diferentes:

• Método A (analítico): Formular a condição de não definição da tangente igualando o argumento aos valores proibidos gerais, $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ com $k \in \mathbb{Z}$, isolar $x$ e selecionar os valores inteiros de $k$ que dão soluções dentro do intervalo $[0, \pi]$.

• Método B (geométrico por transformações): Tomar as assíntotas padrão da tangente básica $x = -\frac{\pi}{2}$ e $x = \frac{\pi}{2}$, aplicar sobre elas primeiro o desfasamento horizontal (translação para a direita) e depois a compressão de escala horizontal (fator $1/2$), e a partir daí somar o novo período.

1. a) Aplica ambos os métodos detalhando os passos intermédios e verifica que ambos conduzem às mesmas retas assíntotas em $[0, \pi]$.
2. b) Compara ambos os caminhos: qual consideras mais fiável e menos propenso a omitir soluções se o intervalo requerido fosse muito mais amplo, por exemplo $[0, 10\pi]$? Justifica a tua escolha.

Numa cidade, o número de horas de luz solar ao longo do ano pode ser aproximado por uma função do tipo $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, onde $t$ é o dia do ano ($t=1$ é 1 de janeiro).

Sabendo que o dia com mais horas de luz é 21 de junho ($t=172$) com $15$ horas, e o dia com menos horas de luz é 21 de dezembro ($t=355$) com $9$ horas:

• Determine os valores dos parâmetros $A$, $C$ e $D$.

• Estime o número de horas de luz em 21 de março ($t=80$).

Dadas as funções $f(x) = \sin(2x)$ e $g(x) = \sin(x)$, calcula analiticamente as coordenadas exatas de todos os pontos de interseção entre ambas as curvas no intervalo $[0, 2\pi]$. (Pista: utiliza a identidade do seno do ângulo duplo).

Determine os valores dos parâmetros $a$, $b$ e $c$ (com $a > 0$ e $b > 0$) da função $f(x) = a\sin(bx) + c$ sabendo que:

• O valor máximo da função é $10$.

• O valor mínimo da função é $2$.

• O período da função é $\frac{\pi}{2}$.

Determine o domínio da função $f(x) = \sqrt{\cos(x)} + \ln(\sin(x))$ restrito ao intervalo $[0, 2\pi]$.

Resolve analiticamente a equação trigonométrica inversa: $\arcsin(x) = \arccos(x)$.

As vendas mensais $S$ (em milhares de unidades) de um produto sazonal são modeladas pela função $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, onde $t$ é o tempo em meses ($t=0$ corresponde a janeiro).

• Calcule as vendas em janeiro ($t=0$) e em julho ($t=6$).

• Demonstre analiticamente se as vendas em julho são maiores ou menores do que em janeiro e calcule a diferença exata.

Expressa a função $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ na forma $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. A partir dessa nova expressão, indica a amplitude e o desfasamento da função.

Inscreve-se um retângulo num semicírculo de raio $R = 10\text{ cm}$, de modo que a sua base repouse sobre o diâmetro do semicírculo, como mostra a figura.

Seja $\theta$ o ângulo que o raio traçado até um vértice superior do retângulo forma com o diâmetro.

• Exprime a área do retângulo em função do ângulo $\theta$. (Dica: usa a fórmula do seno do ângulo duplo).

• Para que valor de $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ é a área do retângulo máxima e qual é esse valor máximo?

No porto de Leixões, o fenómeno das marés produz uma oscilação periódica do nível da água. Num determinado dia de marés vivas, registam-se os seguintes dados oficiais de preia-mar e baixa-mar:

• Uma baixa-mar (nível mínimo da água) ocorre às 03:00 h com uma cota de $0,8\text{ m}$.

• A preia-mar seguinte (nível máximo da água) ocorre às 09:12 h ($t = 9,2\text{ h}$), atingindo os $4,6\text{ m}$.

• O ciclo de maré é semidiurno e tem um período completo de $12,4\text{ horas}$.

1. a) Constrói fundamentadamente uma função da forma $h(t) = A\cos(B(t - C)) + D$ (com $A > 0$) que modele a altura da água em metros em função do tempo $t$ (em horas decorridas desde a meia-noite, $t=0$). Justifica a dedução analítica dos quatro parâmetros $A$, $B$, $C$ e $D$.
2. b) Um navio mercante necessita de um calado mínimo de água de $3,65\text{ m}$ para poder entrar na barra do porto sem encalhar. Formula a inequação trigonométrica correspondente e determina algebricamente a janela horária da manhã (entre as 03:00 e as 15:00) na qual o acesso ao porto é seguro para este navio.

Num teste de avaliação, pede-se para simplificar a função composta $g(x) = \arccos(\cos x)$ e calcular o seu valor exato para $x = \frac{7\pi}{4}$. A Marta escreve no seu exame:

«Dado que o arco-cosseno é a função inversa do cosseno, ambas as funções cancelam-se diretamente, pelo que $\arccos(\cos x) = x$ para qualquer número real $x$. Consequentemente, $\arccos\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) = \frac{7\pi}{4}$».

1. a) Explica de forma rigorosa por que razão o raciocínio geral da Marta é falso. Na tua explicação deves fazer referência explícita à falta de injetividade da função cosseno em $\mathbb{R}$ e a como está formalmente definido o contradomínio da função arco-cosseno.
2. b) Determina o valor numérico exato de $\arccos\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)$, justificando o resultado através do círculo trigonométrico ou das propriedades de simetria das razões trigonométricas.
3. c) Deduz uma fórmula simplificada para $g(x) = \arccos(\cos x)$ que seja válida especificamente quando $x$ pertence ao intervalo $[\pi, 2\pi]$.

Desafio do tema. «O pulso energético diário». Vais investigar a relação entre clima e consumo na tua região para propor medidas de eficiência no teu meio envolvente.

1. Recolha de dados: Acede aos sites da REN (Redes Energéticas Nacionais) e do IPMA. Regista numa folha de cálculo os dados horários ($24$ horas de um mesmo dia) de procura elétrica e temperatura do teu distrito.

2. Modelização no GeoGebra:

3. Modela a oscilação térmica mediante uma função trigonométrica $f(t) = A\cos(B(t-C)) + D$.

4. Ajusta a curva de procura através de um polinómio $P(t)$ e calcula a sua função derivada $P'(t)$ para localizar as horas de crescimento mais rápido do consumo.

5. Modela o rendimento da climatização segundo a temperatura exterior formulando uma função racional e outra com raízes.

6. Representa a resposta de saturação da rede face a um pico térmico aplicando modelos exponencial e logarítmico.

7. Proposta fundamentada: Elabora um relatório executivo breve (máximo $2$ páginas) com os gráficos sobrepostos, justificando que tipo de função descreve melhor cada fenómeno e apresentando diretrizes de poupança baseadas nas assíntotas e extremos detetados.

Será valorizado:

• Rigor ao importar dados reais e calibrar os parâmetros das funções no GeoGebra.

• Utilização correta da derivada polinomial e das características essenciais de cada função (periodicidade, assíntotas, curvatura).

• Capacidade crítica para selecionar o modelo ótimo e justificar matematicamente as propostas.