Exercícios: Função racional

Calcule o domínio de definição da função racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.

Encontre as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos cartesianos da função $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.

Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais da função $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.

Estude o sinal da função racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente os intervalos da reta real onde a função assume valores positivos e onde assume valores negativos.

Encontra o valor de $x$ para o qual a função $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ assume exatamente o valor $f(x) = 5$.

Dada a função $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explique quais as transformações geométricas elementares (deslocamentos horizontais e verticais) que foram aplicadas ao gráfico da hipérbole básica $y = \frac{1}{x}$ para a obter.

Verifique analiticamente se a função $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ é par, ímpar ou não apresenta simetria em relação aos eixos coordenados.

Determine o domínio da função $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.

A Elena afirma na aula o seguinte: «Para a função racional $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$, como os valores que anulam o denominador são $x = 3$ e $x = -2$, o gráfico tem obrigatoriamente duas assíntotas verticais: as retas $x = 3$ e $x = -2$». a) Identifica o erro concetual que a Elena comete e explica detalhadamente por que anular o denominador não basta por si só para assegurar uma assíntota vertical. b) Corrige a sua análise determinando o que ocorre verdadeiramente em $x = 3$ e em $x = -2$ (distinguindo entre assíntota vertical e descontinuidade removível com ponto aberto). c) Escreve as equações de todas as assíntotas (verticais e horizontais) que a função realmente possui.

Uma função de proporcionalidade inversa transladada tem a forma canónica $f(x) = \frac{k}{x - h} + v$, com $k \neq 0$. a) Encontra os valores dos parâmetros $h$, $v$ e $k$ para que a função tenha como assíntotas as retas $x = -2$ e $y = 3$, e o seu gráfico intersete o eixo das ordenadas no ponto $(0, 1)$. b) A partir da expressão obtida, indica as coordenadas do seu centro de simetria e calcula o ponto exato de interseção com o eixo das abcissas ($y = 0$). c) Justifica fundamentadamente o sinal que a função toma nos três intervalos delimitados pela sua assíntota vertical e pela sua raiz, mediante uma tabela de sinais.

O custo médio de produção (em euros) de $x$ unidades de um componente eletrónico é dado pela função $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcule o custo médio de fabricar 100 unidades e determine o valor para o qual tende o custo médio se a produção se tornar infinitamente grande, interpretando o resultado no contexto do problema.

Encontra a equação da assíntota oblíqua da função racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.

Um reservatório contém inicialmente 500 litros de água pura. Começa-se a bombear uma solução salina com uma concentração de 40 g/L a uma taxa de 10 L/min. A concentração de sal no tanque após $t$ minutos é dada pela função $C(t) = \frac{400t}{500+10t}$. Em que instante a concentração será exatamente de 25 g/L? Qual é a equação da assíntota horizontal desta função e qual é o seu significado físico?

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenha uma assíntota vertical em $x = 2$ e uma assíntota horizontal em $y = \frac{5}{3}$.

Dois operários trabalham juntos para pintar um muro. O operário mais jovem demoraria $x$ horas a fazê-lo a trabalhar sozinho, enquanto o operário mais velho demoraria $x+3$ horas. O tempo total $T(x)$ que demoram se trabalharem em simultâneo é dado pela função $T(x) = \frac{x(x+3)}{2x+3}$. Se, a trabalhar juntos, conseguem terminar o trabalho em exatamente 2 horas, quanto tempo teria demorado o operário jovem a pintar o muro sozinho?

Determine o domínio, os pontos de interseção com os eixos coordenados e as equações de todas as assíntotas da função racional $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.

Calcule a expressão analítica da função inversa (ou recíproca) de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ e especifique qual é o domínio desta nova função $f^{-1}(x)$.

Dada a função $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determine o seu domínio, as suas assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas) e estude a posição da curva em relação à sua assíntota oblíqua quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Considera a função racional $f(x) = \frac{6x - 5}{2x + 4}$. a) Estima sem calcular: Para valores de $x$ extraordinariamente grandes em valor absoluto (como $x = 1\,000\,000$ ou $x = -1\,000\,000$), de que valor inteiro se aproximará $f(x)$? Fundamenta a tua previsão analisando o peso relativo dos termos do numerador e do denominador. b) Estima o sinal lateral: Sem fazeres divisões complexas, deduz unicamente o sinal do numerador e do denominador para um valor ligeiramente maior do que $-2$ (por exemplo, $x = -1,99$) e para um ligeiramente menor (por exemplo, $x = -2,01$). Para $+\infty$ ou para $-\infty$, para onde tenderá a função de cada lado? c) Verifica formalmente: Calcula de forma rigorosa a assíntota horizontal e a assíntota vertical através dos limites correspondentes: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -2^+} f(x)$ e $\lim_{x \to -2^-} f(x)$. Avalia se as tuas estimativas intuitivas prévias estavam corretas.

Um comboio de mercadorias realiza o trajeto de ida e volta entre Lisboa e o porto de Sines (distância por sentido: $300\text{ km}$). Na viagem de ida circula a uma velocidade média constante $v$ (em $\text{km/h}$). Na viagem de regresso, devido a restrições de carga da infraestrutura ferroviária, vê-se obrigado a reduzir a sua velocidade média em $20\text{ km/h}$ relativamente à de ida. a) Formula e simplifica numa única fração algébrica a função $T(v)$ que expressa o tempo total gasto na viagem completa (ida e volta) em função de $v$. b) Determina o domínio matematicamente admissível de $T(v)$ e compara-o com o domínio que tem sentido físico real neste trajeto. c) Modela a velocidade média global da viagem completa, definida como $V_m(v) = \frac{600}{T(v)}$, obtendo uma função racional simplificada. d) Analisa e interpreta no contexto real da viagem o comportamento assintótico: o que acontece com o tempo total se $v \to +\infty$ e o que acontece se a velocidade de ida se aproximar de $20\text{ km/h}$?

Determine os valores dos parâmetros $a$, $b$ e $c$ da função racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sabendo que tem uma assíntota oblíqua de equação $y = 2x+1$ e que o seu gráfico passa no ponto de coordenadas $(4, 15)$.

Analise detalhadamente a função racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determine o seu domínio, simplifique a expressão algébrica indicando para quais valores a simplificação é válida, encontre as equações das suas assíntotas e explique qual fenómeno gráfico ocorre exatamente no ponto de abcissa $x = 2$.

Discuta, em função do parâmetro real $k$, a existência de assíntotas verticais para a função $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determine o intervalo de valores de $k$ para os quais a função não possui nenhuma assíntota vertical.

A partir do gráfico seguinte de uma função racional, determine o seu domínio, as equações das suas assíntotas (verticais e horizontais) e os pontos de interseção com os eixos. Em seguida, proponha uma expressão algébrica do tipo $f(x) = \frac{ax^2}{x^2+b}$ que se ajuste perfeitamente a todas essas características visuais.

A concentração $C(t)$ de um fármaco na corrente sanguínea $t$ horas após a sua administração intramuscular é dada pela expressão $C(t) = \frac{30t}{t^2+9}$ (medida em mg/L). Sem utilizar ferramentas de derivação, demonstre de forma puramente algébrica que a concentração máxima nunca pode superar $5$ mg/L e determine em que instante exato $t$ essa concentração máxima é atingida. (Sugestão: Escreva a igualdade $C = \frac{30t}{t^2+9}$ como uma equação do segundo grau na variável $t$ e analise a condição que o seu discriminante deve cumprir para que o tempo seja um número real).

Seja a função racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demonstre analiticamente que a função composta $(f \circ f)(x) = x$ para todo o valor de $x$ pertencente ao seu domínio. Que conclusão geométrica sobre o gráfico de $f(x)$ podes extrair deste resultado em relação à bissetriz $y = x$?

Determine os valores do parâmetro real $m$ para os quais a reta de equação $y = mx$ interseta a curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ em exatamente um único ponto. Interprete geometricamente o que essas retas específicas representam para a curva.

A população de uma espécie de peixe num lago protegido segue um modelo de crescimento dado pela função $P(t) = \frac{2000t^2+500}{t^2+1}$, onde $t \ge 0$ é medido em anos desde o início do estudo. Determine a população inicial, a população a muito longo prazo (limite quando $t \to +\infty$) e demonstre algebricamente que a população está sempre a crescer à medida que o tempo passa. (Sugestão: Tente expressar a fração na forma $A - \frac{B}{t^2+1}$ realizando a divisão polinomial).

Pretende-se calcular a assíntota oblíqua $y = mx + n$ da função racional $f(x) = \frac{2x^3 - x^2 + 4}{x^2 + 2}$ e determinar se a curva fica acima ou abaixo da referida assíntota em $+\infty$ e em $-\infty$. Propõem-se dois procedimentos: Método A (Limites analíticos), calculando $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$, e avaliando depois a diferença $f(x) - (mx + n)$ em valores numéricos concretos (como $x = 100$ e $x = -100$); e Método B (Divisão euclidiana), efetuando a divisão de polinómios para expressar $f(x) = (mx + n) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ e deduzindo a assíntota e a posição relativa analiticamente a partir do resto. a) Aplica ambos os métodos para encontrar a equação da reta assíntota oblíqua. b) Utilizando o método B, demonstra com rigor algébrico (sem tentativas numéricas) a posição da curva relativamente à assíntota quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$. c) Compara criticamente ambos os métodos: explica porque é que o método B é mais direto e conclusivo para funções racionais, e fundamenta em que situações ou com que tipo de funções não polinomiais o método B se torna inaplicável e é imprescindível recorrer ao método A.

Desenha a expressão analítica de uma função racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ que satisfaça simultaneamente as seguintes condições: 1. O seu domínio é $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$. 2. Em $x = 2$ apresenta uma assíntota vertical, mas em $x = -1$ tem uma descontinuidade eliminável (existe $\lim_{x \to -1} f(x)$ e é finito; ou seja, um ponto aberto). 3. A sua única assíntota horizontal é a reta $y = 3$. 4. O gráfico da função interseta a sua própria assíntota horizontal no ponto de abcissa $x = 4$. 5. Passa pelo ponto de interseção com o eixo das ordenadas $(0, 6)$. a) Demonstra fundamentadamente por que não é possível que, após simplificar o fator comum responsável pela descontinuidade eliminável, o denominador restante seja de grau 1, deduzindo qual é o grau mínimo imprescindível que $P(x)$ e $Q(x)$ devem ter para permitir que a curva intersete a sua assíntota horizontal sem adicionar mais assíntotas verticais ao domínio. b) Obtém os polinómios $P(x)$ e $Q(x)$ que cumprem todas as condições e verifica formalmente cada uma delas.