Exercícios: Informação sobre a função

Dada a função racional $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, realiza um estudo prévio dos seus elementos básicos, determinando:

1. a) O domínio de definição da função.

1. b) Os pontos de interseção com os eixos coordenados.

1. c) A existência de simetrias (indica se é par, ímpar ou se não apresenta simetria).

Uma equipa de engenheiros está a monitorizar a temperatura de um componente eletrónico. A evolução da temperatura $T$ (em graus Celsius) em relação ao tempo $t$ (em minutos) é dada pela função:

$T(t) = \dfrac{40t + 100}{t + 2}$ com $t \geq 0$

Pede-se:

1. a) Calcular a temperatura inicial do componente ($t=0$).

1. b) Determinar a assíntota horizontal da função e interpretar o seu significado no contexto do problema (temperatura a longo prazo).

Estude a monotonia (intervalos de crescimento e decrescimento) e calcule os extremos relativos (máximos e mínimos) da seguinte função polinomial:

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Dada a função $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determine:

1. As equações das suas assíntotas verticais e horizontais.

2. A posição da curva em relação a essas assíntotas por meio do estudo dos limites laterais e no infinito.

Analise a curvatura da função $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Para isso:

1. Determine a segunda derivada $f''(x)$.

2. Determine os intervalos de concavidade ($\cup$) e convexidade ($\cap$).

3. Determine as abcissas dos pontos de inflexão.

Conhece-se a seguinte informação sobre uma função $f(x)$ contínua em todo o $\mathbb{R}$:

• Corta o eixo $X$ em $x = -2$ e $x = 2$.

• Tem um mínimo relativo em $(0, -4)$.

• É decrescente em $(-\infty, 0)$ e crescente em $(0, +\infty)$.

• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Desenha um esboço do gráfico que cumpra todas estas condições. Para te ajudar, aqui tens os eixos com os pontos que se conhecem; copia os eixos para o teu papel e traça a curva.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Determine o período da função trigonométrica $f(x) = \sin(2x)$. A seguir, indique fundamentadamente se a função apresenta algum tipo de simetria em relação à origem ou ao eixo das ordenadas.

Dada a função $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, realiza um estudo dos seus ramos infinitos:

1. a) Verifica se tem assíntotas verticais.

1. b) Verifica se tem assíntotas horizontais.

1. c) No caso de não ter assíntota horizontal, averigua se tem uma assíntota oblíqua e determina a sua equação.

Num exame do 2.º ano de Bacharelato, a Marta deve analisar a função racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 5x + 6}$ e escreve no seu desenvolvimento:

«1. Os zeros do denominador são $x = 2$ e $x = 3$. Portanto, o gráfico tem duas assíntotas verticais nas retas $x = 2$ e $x = 3$.

1. Como a função contém termos quadráticos ($x^2$) e independentes tanto no numerador como no denominador, a função é par e simétrica relativamente ao eixo $OY$».

1. a) Identifica os dois erros concetuais cometidos pela Marta e explica com rigor matemático por que razão o seu raciocínio é incorreto em cada caso.
2. b) Realiza a correção adequada: determina o domínio real de $f$, fatoriza a expressão para simplificá-la, calcula os limites laterais pertinentes para classificar o comportamento em $x = 2$ e $x = 3$ (distinguindo entre assíntota vertical e descontinuidade removível) e verifica formalmente a simetria avaliando $f(-x)$.

Considera a função $f(x) = \frac{4x - 1}{\sqrt{x^2 + 3}}$.

1. a) Estima fundamentadamente: Antes de aplicar técnicas de limites analíticos, raciocina sobre o comportamento da função quando a variável $x$ toma valores extremamente grandes em valor absoluto ($x \to +\infty$ e $x \to -\infty$). A partir dessa intuição qualitativa:

• Estima quantas assíntotas horizontais esperas encontrar e em que valores aproximados de $y$ se situarão.

• Prevê se o gráfico interseta o eixo horizontal das abcissas ($OX$) e em que ponto o deveria fazer.

1. b) Verifica formalmente: Calcula os limites $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, prestando atenção ao sinal introduzido pela raiz quadrada ao colocar em evidência o fator comum ($√{x^2} = |x|$), e deduz as equações exatas das assíntotas horizontais. Encontra o ponto de interseção com o eixo $OX$ e avalia se as tuas estimativas iniciais estavam corretas ou se omitiste alguma mudança de sinal.

Realize um estudo completo da monotonia e dos extremos relativos da função racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determine com precisão os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como as coordenadas dos seus máximos e mínimos, se houver.

Considera a função polinomial $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Determina os intervalos de concavidade e convexidade, bem como as coordenadas exatas dos seus pontos de inflexão. Utiliza o símbolo $\cup$ para denotar os intervalos onde a função é convexa (curvatura para cima) e $\cap$ para os intervalos onde é côncava (curvatura para baixo).

Determine todas as assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas) da função $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$. Caso exista uma assíntota oblíqua, calcule a sua equação da forma $y = mx + n$ e estude a posição da curva em relação a essa assíntota quando $x \to \infty$.

Desenha o esboço do gráfico de uma função contínua $f(x)$ que satisfaça simultaneamente as seguintes condições obtidas do seu estudo analítico:

• Domínio: $\mathbb{R} - \{0\}$

• Interseções com os eixos: $(2, 0)$ e $(-2, 0)$.

• Assíntota vertical em $x = 0$, com $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ e $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.

• Assíntotas horizontais: $y = -1$ quando $x \to +\infty$ e $y = 1$ quando $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ em todo o seu domínio.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Uma equipa de engenheiros monitoriza o nível de carga de uma nova bateria de lítio através da função $B(t) = \frac{100t}{t^2 + 9} + 10$, onde $B$ é a percentagem de carga e $t$ é o tempo em horas ($t \ge 0$).

1. a) Em que instante atinge a bateria o seu nível máximo de carga? Justifica que se trata de um máximo.

1. b) Para que valor tende a carga da bateria se for deixada ligada indefinidamente? Justifica a resposta através do cálculo de limites.

Dado o gráfico da função derivada $f'(x)$ apresentado a seguir (uma reta que passa pelos pontos $(-2, 0)$ e $(0, 4)$), indique fundamentadamente:

1. a) Os intervalos de monotonia da função original $f(x)$, isto é, onde é crescente e onde é decrescente.
2. b) A abcissa dos extremos relativos de $f(x)$ e o seu tipo (máximo ou mínimo).
3. c) O sentido da concavidade do gráfico de $f(x)$ e os respetivos intervalos.

Considere a função $f(x) = \ln(x^2 + k)$, onde $k$ é um parâmetro real.

1. a) Determine o valor de $k$ para que a função tenha um ponto de inflexão em $x = 1$.
2. b) Para esse valor de $k$, estude o domínio da função e verifique se apresenta algum tipo de simetria (par ou ímpar).

Dada a função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Calcule o valor de $a$ para que a função seja diferenciável em $x = 0$.
2. b) Para o valor de $a$ obtido, estude se o gráfico da função tem alguma assíntota horizontal quando $x \to +\infty$.

Concebe a expressão analítica de uma função racional irredutível $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (onde $P(x)$ e $Q(x)$ são polinómios com coeficientes reais) que satisfaça simultaneamente as seguintes cinco condições:

1. O seu gráfico é simétrico relativamente ao eixo das ordenadas ($OY$).

2. O seu domínio de definição é $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, apresentando assíntotas verticais em ambas as abcissas.

3. Tem uma assíntota horizontal de equação $y = 3$.

4. Interseta o eixo vertical das ordenadas no ponto $(0, -1)$.

5. Não interseta em nenhum ponto o eixo das abcissas ($OX$).

Justifica passo a passo como escolhes o grau, as raízes e os coeficientes de $P(x)$ e de $Q(x)$ para satisfazer cada uma das condições dadas. Por último, verifica formalmente que a função obtida apresenta um extremo relativo em $(0, -1)$ através do estudo do sinal da sua primeira derivada $f'(x)$.

A partir de dados hidrológicos inspirados nos relatórios do Ministério do Ambiente e da Ação Climática, a percentagem de capacidade de água armazenada $V(t)$ numa bacia do sul do país ao longo do tempo $t$ (em meses, com $t \ge 0$, onde $t = 0$ representa o início de um plano especial de gestão após uma seca) é modelada através da função:

1. a) Interpreta o significado físico do valor inicial $V(0)$ no contexto do problema e justifica se faz sentido procurar pontos de interseção com o eixo das abcissas para $t \ge 0$.
2. b) Estuda a existência de assíntotas horizontais quando $t \to +\infty$. Interpreta o seu significado em termos de gestão ambiental a longo prazo e explica por que razão, de acordo com este modelo, o volume de água armazenada nunca chegará a atingir os $60\,\%$.
3. c) Analisa a monotonia de $V(t)$ calculando o sinal da sua primeira derivada para $t > 0$. De seguida, obtém a segunda derivada $V''(t)$ e determina em que mês exato o ritmo de enchimento das albufeiras atinge a sua velocidade máxima (ponto de inflexão da curva).

Considera-se a função $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Determina os valores dos parâmetros reais $a$, $b$ e $c$ sabendo que se verificam simultaneamente as seguintes condições:

1. A reta $x = 2$ é uma assíntota vertical do gráfico da função.

2. A função apresenta um extremo relativo no ponto de abcissa $x = 3$.

3. A reta tangente ao gráfico no ponto de interseção com o eixo $OY$ é paralela à reta $y = -2x + 5$.

Uma vez encontrados os parâmetros, estuda a existência de uma assíntota oblíqua e determina a posição relativa da curva relativamente a ela.

O gráfico seguinte corresponde à função derivada $f'(x)$ de uma função contínua $f(x)$ definida em todo o $\mathbb{R}$. A partir da informação visual fornecida:

1. Indique os intervalos de crescimento e decrescimento da função original $f(x)$.

2. Determine as abcissas dos extremos relativos de $f(x)$, classificando-os em máximos ou mínimos.

3. Estude a concavidade de $f(x)$ e localize os seus pontos de inflexão.

4. Sabendo que $f(0) = 1$, faça um esboço do gráfico da função original $f(x)$ justificando a forma obtida.

Dada a função $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}$, realize um estudo exaustivo para a sua representação gráfica analisando:

1. Domínio e pontos de interseção com os eixos coordenados.

2. Comportamento no infinito (limites e assíntotas).

3. Intervalos de monotonia e extremos relativos (abcissas e ordenadas).

4. Pontos de inflexão e sentido das concavidades.

5. Utilize toda a informação anterior para desenhar o gráfico da função, destacando especialmente o comportamento assintótico horizontal.

Uma equipa de engenheiros está a projetar o perfil de uma rampa de salto para uma competição de skate. O perfil lateral segue a curva da função $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ no intervalo $[0, 3]$.

1. Encontra o ponto da rampa que se encontra à menor altura em relação ao solo.

2. Determina os pontos da rampa onde o declive é máximo e mínimo. Que interpretação física têm estes pontos no contexto do skate?

3. Estuda se a função tem algum ponto de inflexão no referido intervalo e explica como muda a sensação do skater ao passar por ele.

Seja a função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ \ln(x^2 + 1) + ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

1. Calcule os valores de $a$ e $b$ para que a função seja derivável em $x = 0$, sabendo que no primeiro ramo o parâmetro $k$ toma o valor $1$.

2. Para os valores encontrados, estude se a função tem alguma assíntota oblíqua quando $x \to -\infty$. Em caso afirmativo, determine-a.

3. A função apresenta algum extremo relativo no intervalo $(0, +\infty)$? Justifique a sua resposta.

Pretende-se inscrever um retângulo de área máxima na região do primeiro quadrante limitada pelo eixo $OX$, pelo eixo $OY$ e pelo gráfico da função $f(x) = 4e^{-0,5x}$.

1. Exprima a área do retângulo em função da abscissa $x$ de um dos seus vértices situados sobre o eixo $OX$.

2. Calcule as dimensões do referido retângulo para que a sua área seja máxima.

3. Faça um desenho da situação utilizando o seguinte esquema visual.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estude a continuidade e a derivabilidade da função $f(x) = x \cdot |x - 2|$. A partir deste estudo:

1. Expresse a função como uma função definida por ramos.

2. Determine os intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento).

3. Determine os extremos relativos e absolutos no intervalo $[0, 4]$.

4. Estude o sentido das concavidades e os pontos de inflexão. Tenha especial cuidado com o ponto onde a função muda de definição.

Considere a função $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$.

1. Analise as suas simetrias e o domínio.

2. Determine todas as suas assíntotas e a posição do gráfico em relação a elas.

3. Determine os pontos do gráfico onde a reta tangente é horizontal.

4. Demonstre que o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo em todo o seu domínio, exceto no intervalo $(-1, 1)$, onde tem a concavidade voltada para cima.

5. Esboce o gráfico da função integrando todos os elementos anteriores.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Para estudar as assíntotas e a posição relativa da curva relativamente a elas na função racional $f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 - 5x + 6}{x^2 - 1}$, dois alunos do 2.º ano de Bacharelato propõem métodos distintos:

• Método 1 (Limites padrão): Calcular diretamente os zeros do denominador ($x = \pm 1$) para propor assíntotas verticais, determinar a assíntota oblíqua $y = mx + n$ através dos limites $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$, e estudar a posição da curva relativamente à assíntota avaliando a diferença $f(x) - (mx + n)$ em valores numéricos grandes como $x = 1000$ e $x = -1000$.

• Método 2 (Simplificação prévia e decomposição polinomial): Fatorizar numerador e denominador para simplificar fatores comuns antes do cálculo assintótico, e realizar a divisão euclidiana de polinómios para expressar a função na forma $f(x) = mx + n + \frac{R(x)}{D(x)}$.

1. a) Compara criticamente ambos os métodos: que falso pressuposto comete quem aplica o Método 1 em $x = 1$? Por que razão avaliar em valores pontuais ($x = \pm 1000$) não constitui uma demonstração rigorosa da posição da curva?
2. b) Justifica fundamentadamente qual dos dois métodos é mais seguro, geral e eficiente para este tipo de funções.
3. c) Seguindo o método mais conveniente, determina justificadamente a única assíntota vertical, a equação da assíntota oblíqua, a posição relativa exata da curva em $\pm\infty$ através do sinal algébrico do resto e as coordenadas do ponto onde existe uma descontinuidade eliminável.

Considera-se uma função $f$ contínua em $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ cuja função derivada é:

1. a) Estuda detalhadamente o sinal de $f'(x)$ e deduz os intervalos de monotonia de $f$, bem como as abcissas de todos os seus extremos relativos. Justifica fundamentadamente por que motivo em $x = 1$ a função não apresenta um extremo relativo, apesar de se verificar $f'(1) = 0$.
2. b) Sabendo que a curvatura de $f$ depende do crescimento da própria função derivada, calcula a segunda derivada $f''(x)$ simplificando a expressão ao máximo. Determina os intervalos de concavidade ($f'' < 0$) e convexidade ($f'' > 0$) de $f$, determina as abcissas dos seus pontos de inflexão e classifica com precisão a natureza do ponto singular situado em $x = 1$.
3. c) Sabendo ainda que $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$ e que $f(1) = 4$, demonstra de forma rigorosa que o gráfico de $f$ não pode intersetar a reta $y = 4$ em nenhum ponto do intervalo $(1, +\infty)$.