Exercícios: Propriedades da probabilidade

Numa plataforma de streaming, $65\ \%$ dos utilizadores jovens estão inscritos no Plano de Música ($M$) e $40\ \%$ estão inscritos no Plano de Vídeo ($V$). Sabe-se também que $25\ \%$ dos utilizadores usufruem de ambos os planos em simultâneo.

Calcule a probabilidade de um utilizador escolhido ao acaso estar inscrito em algum dos dois planos (música ou vídeo).

Observa o seguinte diagrama de Venn que representa os acontecimentos $A$ (alunos que praticam basquetebol) e $B$ (alunos que praticam natação) num centro desportivo:

Sabendo que os números representam a probabilidade de cada região, utiliza as propriedades da probabilidade para calcular:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A})$ (Probabilidade de não praticar basquetebol).

Um estudo sobre hábitos digitais revela que a probabilidade de um adolescente usar uma rede social de microblogging é $P(S) = 0,72$.

Calcule a probabilidade do acontecimento contrário, ou seja, a probabilidade de um adolescente escolhido ao acaso não utilizar essa rede social.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Determine se os acontecimentos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis justificando a sua resposta mediante o cálculo de $P(A \cap B)$.

Numa competição de e-sports, a probabilidade de que a equipa "Alfa" ganhe a primeira partida é $P(A) = 0,6$. A probabilidade de que ganhe a segunda é $P(B) = 0,5$. Se a probabilidade de que ganhe ambas é $P(A \cap B) = 0,3$, calcula:

1. a) A probabilidade de que ganhe a primeira partida mas não a segunda ($P(A \cap \bar{B})$).

1. b) Ilustra a situação através de um esquema de áreas como o seguinte, em que o quadrado completo representa probabilidade 1 e cada região tem uma área igual à sua probabilidade. Completa a probabilidade das outras três regiões.

Utilizando as Leis de De Morgan, calcule a probabilidade de não ocorrer nem o acontecimento $A$ nem o acontecimento $B$ (ou seja, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sabendo que a probabilidade da união é $P(A \cup B) = 0,84$.

Numa urna há bolas numeradas. Sejam os acontecimentos $A$ = "retirar um número par" e $B$ = "retirar um número ímpar menor que 5". Se sabemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ e que os acontecimentos são incompatíveis, calcule a probabilidade da união $P(A \cup B)$.

Dados dois acontecimentos $A$ e $B$ de uma experiência aleatória, são conhecidos os seguintes dados:

$P(\bar{A}) = 0,6$

$P(B) = 0,3$

$P(A \cap B) = 0,1$

Determine o valor da probabilidade da união, $P(A \cup B)$. Sugestão: calcule primeiro $P(A)$.

Num exame de Matemática do 12.º ano, propõem-se dois acontecimentos $A$ e $B$ de um mesmo espaço de resultados com probabilidades $P(A) = 0,7$ e $P(B) = 0,5$. O Marcos escreve no seu desenvolvimento: «Como $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,5 = 1,2$, e pelos axiomas de Kolmogorov nenhuma probabilidade pode ser superior a $1$, o enunciado contém um erro e estes dois acontecimentos não podem ocorrer num mesmo ensaio».\na) Identifica e explica fundamentadamente os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos (um relativo à fórmula utilizada e outro relativo à compatibilidade dos acontecimentos).\nb) Utilizando as propriedades deduzidas dos axiomas, calcula o valor mínimo que $P(A \cap B)$ deve tomar para que a situação seja matematicamente coerente e determina em que intervalo pode variar $P(A \cup B)$.

Na eleição de representantes estudantis de uma escola, seja $A$ o acontecimento «a pessoa eleita frequenta a área de Ciências» com $P(A) = 0,65$, e seja $B$ o acontecimento «a pessoa eleita participa no clube de debate» com $P(B) = 0,45$.\na) Estima, antes de efetuares qualquer cálculo algébrico, se é possível que ambas as características sejam incompatíveis ($A \cap B = \emptyset$). Justifica a tua intuição a partir da soma das suas probabilidades relativamente ao espaço de resultados total.\nb) Verifica a tua estimativa calculando formalmente as cotas de Fréchet para a interseção; isto é, o intervalo $[p_{\min}, p_{\max}]$ no qual $P(A \cap B)$ deve necessariamente encontrar-se.\nc) Avalia criticamente se uma estimativa prévia que propusesse $P(A \cap B) = 0,50$ seria admissível ou se contradiz a propriedade de monotonia da probabilidade ($A \cap B \subseteq B$).

Num estudo sobre o consumo de conteúdo digital numa turma do 12.º ano, sabe-se que a probabilidade de um aluno usar habitualmente o TikTok (acontecimento $A$) é $0,65$, a probabilidade de usar o Instagram (acontecimento $B$) é $0,70$ e a probabilidade de não usar nenhuma das duas redes sociais é $0,15$.

Utilizando as propriedades da probabilidade, calcule:

1. a) A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, utilizar ambas as redes sociais.
2. b) A probabilidade de utilizar apenas uma das duas.
3. c) Os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes? Justifique a sua resposta.

Duas equipas de e-sports, "Titanes" e "Fénix", participam num torneio. A probabilidade de os Titanes ganharem o seu jogo é $P(T) = 0,8$ e a de os Fénix ganharem o seu é $P(F) = 0,7$. Supondo que os resultados de ambas as equipas são independentes, calcule, recorrendo à álgebra de acontecimentos, as seguintes probabilidades:

1. a) Que ambas as equipas ganhem os seus respetivos jogos.
2. b) Que pelo menos uma das duas ganhe.
3. c) Que apenas a equipa dos Titanes ganhe.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que conhecemos $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e a probabilidade da união dos seus complementares é $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0,8$.

1. a) Calcule $P(A \cap B)$.
2. b) Determine $P(A \cup B)$.
3. c) Determine se os acontecimentos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis.
4. d) Calcule $P(A / \bar{B})$.

Num centro desportivo, $60\%$ dos inscritos pratica treino de força (acontecimento $F$) e $45\%$ pratica ioga (acontecimento $Y$). Sabe-se além disso que $20\%$ dos que praticam força também estão inscritos em ioga.

Constrói uma tabela de contingência ou um diagrama de Venn para responder às seguintes questões:

1. a) Probabilidade de um sócio escolhido ao acaso não praticar nem força nem ioga.

1. b) Se sabemos que um sócio pratica ioga, qual é a probabilidade de não praticar força?

1. c) Os acontecimentos "praticar força" e "praticar ioga" são independentes?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que a probabilidade de ocorrer $B$ se ocorreu $A$ é $P(B/A) = 0,25$. Se sabemos que $P(A \cap B) = 0,15$ e que $P(B) = 0,45$:

1. a) Calcule $P(A)$.
2. b) Calcule $P(A \cup B)$.
3. c) Calcule a probabilidade de não ocorrer $A$ dado que não ocorreu $B$, ou seja, $P(\bar{A} / \bar{B})$.

Um sistema de segurança inteligente tem dois sensores independentes, $S_1$ e $S_2$. A probabilidade de o sensor $S_1$ detetar uma intrusão é $0,92$ e a probabilidade de o sensor $S_2$ a detetar é $0,85$. Caso ocorra uma intrusão, calcule:

1. a) A probabilidade de ser detetada por ambos os sensores simultaneamente.
2. b) A probabilidade de a intrusão ser detetada (ou seja, de pelo menos um sensor funcionar).
3. c) A probabilidade de o sensor $S_1$ falhar, mas o $S_2$ funcionar corretamente.

Dados dois acontecimentos $A$ e $B$, sabe-se que $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,6$ e $P(A \cup B) = 0,72$.

1. a) Calcule $P(A \cap B)$.
2. b) Os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes? Justifique a resposta comparando $P(A \cap B)$ com o produto das respetivas probabilidades individuais.
3. c) Calcule $P(\bar{A} / B)$.

Uma plataforma de streaming classifica os seus utilizadores em "Premium" ($P$) ou "Padrão" ($S$). Estima-se que $40\%$ são Premium. Além disso, $70\%$ dos utilizadores Premium veem séries de ficção científica ($C$), enquanto apenas $30\%$ dos utilizadores Padrão as veem. Escolhido um utilizador ao acaso:

1. a) Calcule a probabilidade de ver séries de ficção científica.
2. b) Se o utilizador escolhido está a ver uma série de ficção científica, qual é a probabilidade de ser um utilizador Premium?
3. c) Os acontecimentos "Ser utilizador Premium" e "Ver séries de ficção científica" são independentes? Justifique matematicamente recorrendo a propriedades da probabilidade condicionada.

A partir de dados adaptados do Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre equipamento e utilização de tecnologias em jovens espanhóis de 16 a 24 anos, sabe-se que a probabilidade de um jovem utilizar diariamente uma plataforma de vídeo a pedido (acontecimento $V$) é $0,80$, e a de ouvir podcasts habitualmente (acontecimento $P$) é $0,45$. Além disso, a probabilidade de não realizar nenhuma destas duas atividades é de apenas $0,05$.\na) Modela a condição «não realiza nenhuma das duas atividades» através de operações de conjuntos e, aplicando as leis de De Morgan e a propriedade do acontecimento contrário, calcula a probabilidade da união $P(V \cup P)$.\nb) Determina a probabilidade de um jovem escolhido ao acaso realizar ambas as atividades, $P(V \cap P)$.\nc) Uma agência de publicidade afirma que pelo menos $20\,\%$ dos jovens ouve podcasts habitualmente mas não consome vídeo a pedido diariamente ($P \cap \overline{V}$). Utilizando a decomposição de acontecimentos em partes incompatíveis ($P = (P \cap V) \cup (P \cap \overline{V})$), demonstra de forma fundamentada se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Considera dois acontecimentos $A$ e $B$ de um espaço de resultados cujas probabilidades dependem de um parâmetro real $k$, de modo que $P(A) = 2k$ e $P(B) = 3k - 0,1$. Sabe-se que a probabilidade de ocorrer exatamente um dos dois acontecimentos é igual a $0,5$.\na) Exprime o acontecimento «ocorre exatamente um dos dois acontecimentos» através de operações de conjuntos e demonstra que a sua probabilidade equivale a $P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A \cap B)$.\nb) Supondo em primeiro lugar que $A$ e $B$ são acontecimentos incompatíveis, determina o valor de $k$ e verifica rigorosamente que as probabilidades resultantes para $A$ e $B$ cumprem os axiomas de Kolmogorov ($0 \leq P(S) \leq 1$ e $P(A \cup B) \leq 1$).\nc) Se agora se admitir que $A$ e $B$ podem ser compatíveis e se fixar $k = 0,20$, determina o valor que $P(A \cap B)$ deve necessariamente ter para manter a condição inicial e justifica se este valor respeita as cotas teóricas permitidas para a interseção.

Sejam $A$, $B$ e $C$ três acontecimentos de um mesmo espaço de resultados tais que formam um sistema completo de acontecimentos. Conhecem-se as seguintes relações entre as suas probabilidades:

• A probabilidade de $A$ é o dobro da de $B$.

• A probabilidade da reunião de $B$ e $C$ é o triplo da probabilidade de $B$.

Demonstra fundamentadamente, utilizando os axiomas de Kolmogorov e as propriedades da probabilidade, se é possível que $P(C) = 0,4$. Em caso negativo, determina o valor exato das probabilidades de cada acontecimento.

Num sistema de segurança redundante para uma infraestrutura de servidores, instalam-se três nós de controlo ($N_1, N_2, N_3$). Sabe-se que o sistema falha se pelo menos dois dos nós caírem simultaneamente. As probabilidades de falha de cada nó são $P(N_1) = 0,05$, $P(N_2) = 0,08$ e $P(N_3) = 0,10$.

Como partilham a mesma rede elétrica, as falhas não são independentes. Sabe-se que:

• A probabilidade de que falhem o primeiro e o segundo nó é $P(N_1 \cap N_2) = 0,02$.

• A probabilidade de que falhem o segundo e o terceiro é $P(N_2 \cap N_3) = 0,03$.

• A probabilidade de que falhem o primeiro e o terceiro é $P(N_1 \cap N_3) = 0,01$.

• A probabilidade de que falhem os três ao mesmo tempo é $P(N_1 \cap N_2 \cap N_3) = 0,005$.

1. a) Desenha um diagrama de Venn com os três acontecimentos $N_1$, $N_2$ e $N_3$ dentro do espaço de resultados e calcula a probabilidade de cada uma das oito regiões (incluindo a exterior aos três círculos).

1. b) Calcula a probabilidade de que o sistema global não falhe, isto é, de que falhe no máximo um nó. Apoia-te no diagrama da alínea anterior para fundamentar a tua resposta.

Demonstra formalmente a seguinte generalização das Leis de De Morgan para três acontecimentos, utilizando exclusivamente as propriedades das operações com conjuntos e os axiomas da probabilidade:

Posteriormente, utiliza este resultado para resolver o seguinte problema: numa empresa de desenvolvimento de software, $60\%$ dos funcionários domina Python, $40\%$ Java e $30\%$ C++. Sabe-se que $20\%$ domina Python e Java, $15\%$ Java e C++, e $10\%$ Python e C++. Se apenas $5\%$ domina as três linguagens, calcula a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso não conhecer nenhuma destas três linguagens de programação.

Um engenheiro aeronáutico analisa a fiabilidade de um componente crítico. Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que $P(A) = \frac{1}{3}$ e $P(B) = p$.

1. Se $A$ e $B$ forem independentes, expresse a probabilidade de ocorrer exatamente um dos dois acontecimentos em função de $p$.

2. Se $A$ e $B$ forem incompatíveis, qual é o valor máximo que $p$ pode assumir?

3. Determine o valor de $p$ para que a probabilidade de não ocorrer nem $A$ nem $B$ seja igual a $\frac{1}{4}$, supondo que $A$ e $B$ sejam independentes.

Numa rede de sensores IoT, dois sensores $S_1$ e $S_2$ detetam anomalias térmicas de forma independente. A probabilidade de o sensor $S_1$ detetar uma anomalia é $P(S_1) = x$ e a do sensor $S_2$ é $P(S_2) = y$.

Define-se um novo acontecimento $Z$ como o facto de a anomalia ser detetada por pelo menos um dos dois sensores. Se sabemos que $P(Z) = 0,8$ e que a probabilidade de ambos os sensores falharem simultaneamente é o quádruplo da probabilidade de ambos acertarem, monte um sistema de equações e calcule os valores de $x$ e $y$ (supondo $x < y$).

Considere dois acontecimentos $A$ e $B$ de uma experiência aleatória. Sabe-se que $P(A) = 0,6$ e $P(B) = 0,7$.

Com base nos axiomas de Kolmogorov, demonstre que:

1. O valor mínimo possível para $P(A \cap B)$ é $0,3$.

2. O valor máximo possível para $P(A \cap B)$ é $0,6$.

3. Se for adicionado um terceiro acontecimento $C$ tal que $P(C) = 0,8$, qual é o valor mínimo da probabilidade de ocorrerem os três acontecimentos ao mesmo tempo, $P(A \cap B \cap C)$? Justifique a sua resposta utilizando a desigualdade de Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.

Num laboratório de biotecnologia, estuda-se a reação de uma proteína perante dois reagentes, $\alpha$ e $\beta$. A probabilidade de reação perante $\alpha$ é $P(\alpha) = 0,4$. A probabilidade de não reagir perante nenhum é $P(\alpha^c \cap \beta^c) = 0,3$.

Se designarmos por $R$ o acontecimento "a proteína reage perante exatamente um dos dois reagentes", e sabendo que $P(R) = 0,5$, determine:

1. a) A probabilidade de reação perante o reagente $\beta$.
2. b) Os acontecimentos reagir perante $\alpha$ e reagir perante $\beta$ são independentes? Justifique a sua resposta com cálculos.
3. c) São compatíveis?

Seja um espaço de resultados $E$ e dois acontecimentos $A, B \subset E$ com probabilidades não nulas. Define-se a "diferença simétrica" entre os acontecimentos como $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

Se sabemos que $P(A \Delta B) = 0,6$ e que $P(A \cup B) = 0,8$:

1. Calcule $P(A \cap B)$.

2. Se além disso se verifica que $P(A | B) = 0,4$, determine os valores individuais de $P(A)$ e $P(B)$.

3. Utilizando os valores obtidos, verifique se a identidade $P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$ é satisfeita.

Demonstre, utilizando exclusivamente os axiomas de Kolmogorov e as propriedades das operações com acontecimentos (como $A \cup B = A \cup (B \cap \overline{A})$ sendo estes últimos incompatíveis), a fórmula geral para a probabilidade da união de três acontecimentos quaisquer $A$, $B$ e $C$:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória cujas probabilidades dependem de um parâmetro $x$: $P(A) = \frac{x}{2}$, $P(B) = \frac{x}{3}$ e $P(A \cap B) = \frac{x}{6}$.

Sabendo que os acontecimentos $A$ e $B$ não são exaustivos (ou seja, $P(A \cup B) < 1$), determine o intervalo de valores possíveis para o parâmetro $x$. Para $x = 1,2$, calcule $P(\overline{A} \cup \overline{B})$.

Num satélite espacial existem três sensores $S_1$, $S_2$ e $S_3$. A partir de testes de stress, conhecem-se as seguintes probabilidades de falha:

• A probabilidade de falhar exclusivamente $S_1$ é $0,10$.

• A probabilidade de falhar exclusivamente $S_2$ é $0,08$.

• A probabilidade de falharem $S_1$ e $S_2$ simultaneamente, mas não $S_3$, é $0,05$.

• A probabilidade de falhar $S_3$ é $0,30$.

• A probabilidade de falharem os três ao mesmo tempo é $0,02$.

Sabendo que os acontecimentos "falha de $S_1$" e "falha de $S_3$" são incompatíveis se $S_2$ não falhar, calcule a probabilidade de falhar pelo menos um dos três sensores.

Dois jogadores, Ana e Brás, lançam alternadamente uma moeda equilibrada. Ganha o primeiro que obtiver "Cara". A Ana lança primeiro. Defina o espaço de resultados infinito desta experiência e, utilizando a soma de uma progressão geométrica, calcule a probabilidade de o Brás ganhar o jogo (ou seja, de a primeira "Cara" sair num lançamento par).

No controlo de qualidade de componentes aeronáuticos analisam-se três defeitos potenciais: térmico ($T$), estrutural ($E$) e de montagem ($M$). Conhecem-se os seguintes registos de probabilidade:\n$P(T) = 0,12$, $P(E) = 0,08$, $P(M) = 0,06$;\n$P(T \cap E) = 0,03$, $P(T \cap M) = 0,02$, $P(E \cap M) = 0,01$;\ne a probabilidade de ocorrerem os três defeitos simultaneamente é $P(T \cap E \cap M) = 0,004$.\nPretende-se calcular a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso estar completamente isenta de falhas, ou seja, $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\na) Compara duas estratégias para resolver o problema:\n- Método 1: Calcular primeiro $P(T \cup E \cup M)$ através do princípio da inclusão-exclusão para três acontecimentos e aplicar de seguida a propriedade do acontecimento contrário combinada com as leis de De Morgan.\n- Método 2: Particionar o espaço de resultados nas oito regiões disjuntas de um diagrama de Venn, calculando uma a uma as probabilidades das sete regiões com defeito para depois as subtrair de $1$.\nJustifica qual dos dois métodos é mais eficiente e menos vulnerável a erros algébricos num teste de avaliação.\nb) Aplica a estratégia escolhida justificando cada igualdade com a sua correspondente propriedade axiomática para encontrar o valor exato de $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\nc) Fundamenta como mudaria a probabilidade de obter uma peça isenta de falhas se os três defeitos fossem incompatíveis dois a dois e explica por que razão nesse caso não seria necessário conhecer nenhuma interseção.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) monitoriza três fenómenos adversos numa região de montanha durante o inverno: aviso de queda de neve ($N$), aviso de rajadas de vento com intensidade de furacão ($V$) e aviso de geada severa ($H$). Os registos meteorológicos estabelecem que:\n- $P(N) = 0,40$, $P(V) = 0,35$ e $P(H) = 0,50$.\n- A densa cobertura de nuvens que acompanha a queda de neve impede por razões físicas que ocorra geada por radiação noturna, pelo que os acontecimentos $N$ e $H$ são mutuamente exclusivos ($N \cap H = \emptyset$).\n- A probabilidade de aviso conjunto por neve e vento é $P(N \cap V) = 0,15$.\na) Formula a probabilidade de ser ativado pelo menos um aviso, $P(N \cup V \cup H)$, através da regra geral de inclusão-exclusão para três acontecimentos, e simplifica-a deduzindo fundamentadamente o valor de $P(N \cap V \cap H)$.\nb) Se se constatar que $P(V \cap H) = 0,10$, calcula de forma justificada a probabilidade de a região passar um dia de inverno completamente livre de avisos meteorológicos e interpreta o significado do resultado obtido.\nc) Supõe agora que se desconhece o valor concreto de $P(V \cap H)$. Demonstra, aplicando com rigor os axiomas de Kolmogorov ($P(E) = 1$ e aditividade para acontecimentos disjuntos em subconjuntos de $V$), que o valor de $P(V \cap H)$ só pode oscilar no intervalo $[0,10;\ 0,20]$ para que o modelo seja matematicamente coerente.