Exercícios: Combinatória

Um estudante do 2.º ano do Ensino Secundário (Bachillerato) quer configurar um código de acesso de $4$ dígitos distintos para o seu cacifo do ginásio. Decide utilizar apenas os dígitos ímpares $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ e não pode repetir nenhum algarismo.

1. a) Quantos códigos diferentes pode criar?

1. b) Se o aluno se esquece do código, mas se lembra de que o primeiro dígito era um $7$, quantos códigos distintos teria de experimentar no máximo?

Num campeonato de robótica, uma equipa deve selecionar $3$ representantes de um grupo de $8$ alunos para explicar o projeto perante o júri.

1. a) De quantas formas distintas se pode escolher o grupo de representantes se a ordem de seleção não importa?

1. b) Se entre os $8$ alunos houver $2$ que sejam especialistas em programação e for decidido que pelo menos um deles deve estar no grupo, quantas seleções diferentes são possíveis?

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória tais que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Calcula as seguintes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (probabilidade de que não ocorra nem $A$ nem $B$).

1. c) $P(A - B)$ (probabilidade de que ocorra $A$ mas não ocorra $B$).

O diagrama de Venn mostra os acontecimentos $A$ e $B$ dentro do espaço de resultados $E$, com a probabilidade da interseção.

Num estudo sobre a utilização de dispositivos móveis numa turma de $30$ alunos, obteve-se a seguinte tabela de contingência que classifica os estudantes pelo seu sistema operativo preferido e consoante realizem compras online habitualmente:

Se um aluno for escolhido ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de que use iOS.

1. b) A probabilidade de que realize compras online, sabendo que usa Android.

1. c) Os acontecimentos "Usar Android" e "Realizar compras online" são independentes? Justifique a sua resposta.

Um servidor de videojogos tem dois nós de ligação: o Nó 1, que atende $70\%$ dos utilizadores, e o Nó 2, que atende os restantes. Sabe-se que $5\%$ das ligações no Nó 1 sofrem lag, enquanto no Nó 2 este problema ocorre em $10\%$ das ligações.

1. a) Representa a situação mediante um diagrama de árvore de probabilidades.

1. b) Se um jogador entra ao acaso no servidor, qual é a probabilidade de a sua ligação sofrer lag?

Numa fábrica de componentes eletrónicos, a probabilidade de um microchip ser defeituoso é de $0,02$. Se os microchips forem embalados em caixas de $10$ unidades e a presença de defeitos num for independente dos demais:

1. a) Qual é a probabilidade de que numa caixa não haja nenhum microchip defeituoso?

1. b) Qual é a probabilidade de haver exatamente um microchip defeituoso na caixa? (Exprime o resultado usando números combinatórios).

Três operadoras de telecomunicações, $M_1$, $M_2$ e $M_3$, gerem $40\%$, $35\%$ e $25\%$ das chamadas de um centro de atendimento ao cliente, respetivamente. A percentagem de chamadas que caem de forma inesperada em cada operadora é de $2\%$, $3\%$ e $4\%$, respetivamente.

Escolhe-se uma chamada ao acaso e verifica-se que ela caiu. Calcule a probabilidade de que tenha sido gerida pela operadora $M_1$.

Utiliza as propriedades dos números combinatórios e o Binómio de Newton para resolver:

1. a) Desenvolve completamente a expressão $(x + 2)^4$.

1. b) Sem desenvolver todo o binómio, calcula o valor do coeficiente do termo que contém $x^3$ no desenvolvimento de $(x + 3)^5$.

A figura mostra as linhas do triângulo de Pascal até $n = 5$. Os seus números são os números combinatórios $\binom{n}{k}$: lembra-te de que o coeficiente de um termo do binómio, além desse número, inclui as potências do segundo termo.

Para escolher a delegação de estudantes que representará uma escola no Conselho Escolar municipal, devem-se selecionar $3$ alunos de um grupo de $24$ voluntários do 2.º ano de Bachillerato. O Marcos raciocina da seguinte forma no seu exame: «Para o primeiro lugar tenho 24 opções, para o segundo 23 e para o terceiro 22, pelo que o número total de delegações possíveis é $V_{24,3} = 24 \cdot 23 \cdot 22 = 12\,144$».\n\na) Identifica o erro concetual cometido pelo Marcos a partir das duas perguntas-chave da combinatória: a ordem importa neste caso? podem-se repetir elementos?\nb) Corrige o cálculo e encontra o número real de delegações possíveis, justificando por que operação deve ser substituída a fórmula do Marcos.\nc) Se os três lugares tivessem cargos diferenciados (um porta-voz, um secretário e um vogal), o cálculo original do Marcos seria correto? Justifica a tua resposta.

Um serviço municipal de aluguer de bicicletas elétricas numa cidade portuguesa renova os seus cadeados inteligentes. Cada utilizador deve configurar um código PIN de $4$ dígitos com duas condições: o primeiro dígito não pode ser $0$ e não podem surgir dois dígitos consecutivos iguais (por exemplo, o código $4727$ é válido, mas o $4772$ não o é).\n\na) Antes de realizar qualquer cálculo matemático, estima de forma intuitiva se o número de códigos válidos estará mais próximo de $5\,000$, de $6\,500$ ou de $9\,000$. Justifica brevemente em que baseias a tua estimativa.\nb) Aplica o princípio fundamental da contagem para calcular com exatidão quantos códigos diferentes satisfazem ambas as condições.\nc) Verifica se o resultado exato obtido apoia a tua estimativa inicial e calcula que percentagem representa em relação ao total de combinações de quatro dígitos que não começam por zero (de $1\,000$ a $9\,999$).

Uma plataforma de streaming está a projetar uma nova interface personalizada. Para o perfil de utilizador, é possível escolher um avatar combinando os seguintes elementos: 4 formatos de rosto distintos, 5 tipos de penteado e 3 estilos de óculos. Além disso, o nome de utilizador deve ser uma sequência de 5 caracteres formada por 3 letras minúsculas (de um alfabeto de 26) seguidas de 2 dígitos.

1. a) Quantos avatares diferentes podem ser criados?
2. b) Quantos nomes de utilizador distintos podem ser gerados se não for permitido repetir letras nem dígitos?
3. c) Se um utilizador decidir escolher o seu avatar e o seu nome ao acaso (com as condições da alínea b), qual é a probabilidade de que o seu nome comece com a letra "z" e termine com o dígito "9"?

Numa competição de robótica, as equipas devem superar duas provas independentes. Sabe-se que a probabilidade de um robô superar a prova de velocidade é $P(V) = 0,75$ e a probabilidade de superar a prova de precisão é $P(P) = 0,60$. Calcule a probabilidade de uma equipa escolhida ao acaso:

1. a) Superar pelo menos uma das duas provas.
2. b) Superar a prova de velocidade, mas não a de precisão.
3. c) Sabendo que superou pelo menos uma prova, qual é a probabilidade de ter superado ambas?

Um sistema de cibersegurança utiliza dois filtros para detetar e-mails do tipo phishing. O Filtro A deteta $92\%$ desses e-mails, enquanto o Filtro B deteta $88\%$. Pela estrutura do sistema, um e-mail é analisado pelo Filtro B apenas se não tiver sido detetado pelo Filtro A. Se um e-mail não for detetado por nenhum dos dois, chega à caixa de entrada do utilizador. Estima-se que $3\%$ dos e-mails recebidos na empresa sejam tentativas de phishing.

1. a) Qual é a probabilidade de um e-mail de phishing chegar à caixa de entrada?
2. b) Se um e-mail chegou à caixa de entrada, qual é a probabilidade de ser realmente um e-mail de phishing?

Uma empresa de fabrico de componentes eletrónicos mediante impressão 3D observou que a probabilidade de uma peça apresentar algum defeito de acabamento é de $5\%$. Se for impresso um lote de 12 peças:

1. a) Qual é a probabilidade de exatamente 2 peças serem defeituosas?
2. b) Qual é a probabilidade de haver mais de uma peça defeituosa?
3. c) Calcule o valor médio e o desvio padrão do número de peças defeituosas no lote.

A autonomia de uma nova frota de patinetes elétricos para uso urbano segue uma distribuição normal de média $35$ km e desvio padrão $4$ km.

1. a) Calcule a probabilidade de um patinete escolhido ao acaso ter uma autonomia superior a $40$ km.
2. b) Qual a percentagem de patinetes que terá uma autonomia compreendida entre $30$ e $38$ km?
3. c) Se a empresa quiser garantir que $90\%$ dos seus patinetes superem uma determinada autonomia mínima $d$, qual deve ser o valor de $d$?

Foi realizado um inquérito a 250 estudantes de um centro tecnológico sobre a utilização de sistemas operativos. Os resultados são apresentados na seguinte tabela de contingência:

Se um estudante for escolhido ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de ser um aluno do Ensino Superior e usar principalmente Linux.
2. b) Sabendo que o aluno usa principalmente Windows, qual é a probabilidade de ser do Ensino Profissional?
3. c) Os acontecimentos "ser aluno do Ensino Superior" e "usar principalmente Linux" são independentes? Justifique a resposta.

Sabe-se que $15\%$ dos utilizadores que visitam uma página da web de venda de componentes de informática acabam por realizar uma compra. Se, num determinado dia, o site receber 400 visitas independentes:

1. a) Indique qual a distribuição de probabilidade que a variável "número de compras realizadas" segue e justifique se pode ser aproximada por uma distribuição normal.
2. b) Utilizando a aproximação adequada, calcule a probabilidade de serem realizadas entre 50 e 70 compras (ambas inclusive).

Um laboratório dispõe de 8 sensores de temperatura de precisão e 6 sensores de humidade. Para uma experiência de controlo ambiental, devem ser selecionados ao acaso 4 sensores.

1. a) De quantas formas distintas se pode realizar a seleção dos 4 sensores se a ordem não importa?
2. b) Qual é a probabilidade de que sejam selecionados exatamente 2 sensores de temperatura e 2 de humidade?
3. c) Qual é a probabilidade de que todos os sensores selecionados sejam do mesmo tipo?

A federação de xadrez de uma região organiza uma fase prévia eliminatória na qual todos os participantes inscritos devem jogar exatamente uma partida contra cada um dos restantes adversários («todos contra todos»). A sala contratada e o calendário disponível apenas permitem disputar um máximo de $100$ partidas no total.\n\na) Formula uma inequação em função do número de jogadores, $n$, que modele o total de partidas do torneio. Justifica que estrutura combinatória representa o referido número de partidas.\nb) Resolve a inequação para determinar o número máximo de participantes que se podem inscrever sem ultrapassar o limite de partidas e calcula quantas partidas se jogariam exatamente com esse número máximo.\nc) Se finalmente se inscreverem $8$ participantes e a organização decidir entregar um troféu de ouro, um de prata e um de bronze aos três primeiros classificados (sem empates), quantas atribuições possíveis de pódio existem?

Para corrigir os exames nacionais de Matemática A num polo universitário, deve formar-se um júri avaliador de $6$ classificadores. O corpo docente disponível é composto por $10$ professores: $6$ provêm de escolas secundárias públicas e $4$ de escolas privadas com contrato de associação. O regulamento da comissão organizadora exige que o júri conte com pelo menos $2$ professores de escolas públicas e pelo menos $2$ de escolas com contrato de associação.\n\na) Modela a situação identificando todos os casos válidos de composição do júri de acordo com o número de professores de cada proveniência.\nb) Calcula quantos júris distintos se podem constituir cumprindo o regulamento estabelecido.\nc) Se o júri de $6$ pessoas fosse escolhido completamente ao acaso entre os $10$ professores (sem exigir nenhuma quota de representatividade), qual seria a probabilidade de o júri cumprir o regulamento legal? Interpreta se a restrição exclui muitas ou poucas das possíveis combinações.

Uma equipa de cibersegurança está a analisar a vulnerabilidade de um sistema de acesso que utiliza palavras-passe de $8$ caracteres. Os caracteres permitidos são as $26$ letras do alfabeto (sem diferenciar maiúsculas de minúsculas) e os dígitos de $0$ a $9$. Uma palavra-passe é considerada "robusta" se cumprir as seguintes condições:

1. Contém exatamente $2$ números distintos e $6$ letras.

2. As letras não podem repetir-se.

3. Os dois números devem estar em posições consecutivas.

Calcule:

1. a) O número total de palavras-passe robustas que podem ser geradas.
2. b) Se um software de força bruta gerar uma palavra-passe aleatória seguindo apenas a estrutura de $8$ caracteres (letras ou números), qual é a probabilidade de acertar numa palavra-passe robusta específica à primeira tentativa?

No desenvolvimento de um novo binómio, um estudante de engenharia precisa de determinar certos coeficientes. Considera-se o desenvolvimento do binómio $Q(x) = \left( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{k}{x} \right)^{12}$, onde $k$ é um número real positivo.

1. a) Determine o valor de $k$ sabendo que o termo independente de $x$ no desenvolvimento de $Q(x)$ é igual a $7920$.
2. b) Uma vez encontrado $k$, calcule o coeficiente do termo que contém $x^9$.

Uma plataforma de streaming utiliza um algoritmo de recomendação para prever se um utilizador vai gostar de uma nova série. O algoritmo por vezes falha: $10\%$ das séries que um utilizador adoraria não são recomendadas ($FN$: falso negativo), e $20\%$ das séries que um utilizador detestaria são recomendadas erroneamente ($FP$: falso positivo).

Se $60\%$ de todas as séries do catálogo forem do agrado potencial de um utilizador específico, calcula:

1. a) A probabilidade de o algoritmo recomendar uma série escolhida ao acaso.
2. b) Se o algoritmo acabou de recomendar uma série a este utilizador, qual é a probabilidade de ser realmente uma série de que ele goste?

Uma empresa de entregas utiliza drones para entregar pacotes numa cidade. A probabilidade de um drone sofrer uma avaria técnica durante um voo de entrega é de $0,02$. A empresa realiza $250$ entregas diárias de forma independente.

1. a) Justifique se é possível aproximar a variável "número de avarias diárias" por uma distribuição normal. Em caso afirmativo, indique os seus parâmetros.
2. b) Utilizando a aproximação adequada, calcule a probabilidade de que num determinado dia ocorram exatamente $5$ avarias.
3. c) Calcule a probabilidade de que ocorram entre $3$ e $8$ avarias (ambos inclusive).

Num laboratório de genética, estuda-se a resistência de uma planta a uma praga. Sabe-se que a probabilidade de uma planta ser resistente é $p$. Escolhem-se $8$ plantas ao acaso e observa-se que a probabilidade de que exatamente $2$ sejam resistentes é a mesma que a probabilidade de que exatamente $3$ sejam resistentes.

1. a) Calcule o valor da probabilidade $p$.
2. b) Com o valor de $p$ encontrado, calcule a probabilidade de que pelo menos uma planta seja resistente.
3. c) Determine o valor médio e o desvio padrão do número de plantas resistentes numa amostra de $100$ plantas.

O peso das embalagens de café produzidas por uma fábrica segue uma distribuição normal $N(\mu, \sigma)$. Observou-se que $15,87\%$ das embalagens pesam mais de $510$ gramas e que $2,28\%$ das embalagens pesam menos de $480$ gramas.

1. a) Calcule a média $\mu$ e o desvio padrão $\sigma$ da distribuição. (Lembre-se de que para uma $Z \sim N(0,1)$, $P(Z < 1) \approx 0,8413$ e $P(Z < 2) \approx 0,9772$).
2. b) Se o peso líquido indicado no rótulo for de $500$ gramas, qual a percentagem das embalagens que está abaixo do peso legal?

Um concurso público consiste em $80$ tópicos. O candidato estuda $55$ tópicos ao acaso. O júri sorteia $3$ tópicos e o candidato deve escolher um para desenvolver.

1. a) Qual é a probabilidade de o candidato não saber nenhum dos três tópicos sorteados?
2. b) Qual é a probabilidade de saber exatamente dois dos tópicos?
3. c) Se o candidato foi aprovado no exame (o que implica que sabia pelo menos um dos tópicos), qual é a probabilidade de que soubesse os três tópicos sorteados?

Uma fábrica de componentes eletrónicos tem três linhas de produção: $L_1$, $L_2$ e $L_3$. A linha $L_1$ produz o dobro da $L_2$, e a $L_3$ produz o mesmo que a $L_1$ e a $L_2$ juntas. A percentagem de componentes defeituosos é de $1\%$ em $L_1$, de $3\%$ em $L_2$ e de $2\%$ em $L_3$.

1. a) Calcule a probabilidade de um componente escolhido ao acaso da produção total ser defeituoso.
2. b) Se selecionarmos um componente e ele for defeituoso, qual é a probabilidade de ser proveniente da linha $L_3$?
3. c) Se forem analisados $10$ componentes da linha $L_1$ de forma independente, qual é a probabilidade de pelo menos um deles ser defeituoso?

Na cerimónia de graduação do 12.º ano (2.º de Bachillerato), são atribuídas $8$ menções de honra. No palco foram colocadas $8$ cadeiras alinhadas e numeradas de $1$ a $8$. Entre os $8$ alunos galardoados encontram-se a Clara e o Sergio, que tiveram um desentendimento recente e a organização pretende sentá-los de modo a que não fiquem em cadeiras contíguas. Dois membros da comissão organizadora discutem como calcular o número de disposições válidas:\n- Método A (método dos intervalos ou direto): Sentam-se primeiro os outros $6$ alunos por ordem e depois escolhem-se dois dos $7$ intervalos possíveis (extremidades ou entre colegas) para posicionar a Clara e o Sergio.\n- Método B (método do complementar): Calcula-se o total de formas de sentar os $8$ alunos sem qualquer restrição e subtraem-se os casos desfavoráveis, nos quais a Clara e o Sergio se sentam juntos formando um único bloco.\n\na) Desenvolve detalhadamente o raciocínio combinatório e o resultado numérico aplicando o Método A.\nb) Desenvolve detalhadamente o raciocínio combinatório e o resultado numérico aplicando o Método B.\nc) Verifica que ambos os caminhos conduzem à mesma solução e justifica de forma fundamentada qual dos dois métodos seria claramente preferível e menos propenso a erros se a restrição exigisse que três alunos determinados (Clara, Sergio e Pablo) não pudessem sentar-se em posições contíguas nenhuns entre si.

O sistema ordinário de matrícula de veículos em Espanha atribui a cada veículo uma matrícula formada por um bloco de $4$ dígitos (desde o $0000$ até ao $9999$) seguido de um bloco de $3$ letras consoantes escolhidas entre $20$ letras possíveis (excluem-se as vogais A, E, I, O, U, e as letras Ñ e Q para evitar confusões e combinações de mau gosto).\n\na) Calcula o número total de matrículas teóricas que este sistema permite emitir e expressa o resultado utilizando potências de base dez.\nb) Um aficionado da combinatória procura «matrículas simétricas»: aquelas cujo bloco numérico de $4$ dígitos é uma capicua (por exemplo, $4884$ ou $0330$) e cujo bloco de $3$ letras é um palíndromo (a primeira e a terceira letra coincidem, como em $TRT$). Determina quantas matrículas simétricas existem e calcula a probabilidade de um veículo matriculado ao acaso apresentar esta propriedade.\nc) A Dirección General de Tráfico investiga um algoritmo de leitura de matrículas e deteta falhas nas matrículas que designa por «heterogéneas mistas»: aquelas que têm os seus $4$ dígitos estritamente distintos entre si e, simultaneamente, no bloco de letras contêm exatamente duas letras iguais e uma diferente (em qualquer ordem, como em $LBL$ ou $DDH$). Modela e calcula quantas matrículas «heterogéneas mistas» existem no parque automóvel potencial espanhol.

Desafio do tema. Auditoria do mercado de trabalho jovem com dados do INE.

A tua missão é assessorar um comité de emprego a analisar a relação entre o nível de escolaridade e o desemprego jovem através de dados reais.

1. Recolha de dados: Acede ao portal do INE (Inquérito ao Emprego mais recente) e extrai as frequências de jovens (16-29 anos) da tua região segundo o nível de escolaridade (básico, secundário, superior) e a situação perante o trabalho (empregado, desempregado).

2. Estruturação e contagem: Numa folha de cálculo, constrói a tabela de contingência e o respetivo diagrama de árvore com frequências relativas. Aplica combinatória para calcular de quantas formas distintas poderias escolher uma amostra de $5$ jovens em que pelo menos $3$ tenham estudos superiores.

3. Modelação bayesiana: Calcula a probabilidade total de desemprego $P(D)$ e aplica o teorema de Bayes para encontrar a probabilidade a posteriori $P(\text{Superiores} \mid D)$. Compara o resultado com a probabilidade a priori $P(\text{Superiores})$ e determina se ambos os acontecimentos são independentes.

4. Relatório de conclusões: Redige um relatório fundamentado (uma página) com gráficos explicativos, justificando, com base nos teus cálculos, se um nível de escolaridade mais elevado está associado a um menor risco de desemprego e explicando por que razão esta associação, por si só, não prova causalidade.

Será valorizado:

• Rigor no uso de propriedades da probabilidade, probabilidade total e teorema de Bayes.

• Correção na aplicação de técnicas de contagem e estruturação em folha de cálculo.

• Qualidade do relatório e coerência na interpretação crítica dos dados do INE.