Exercícios: Função inversa

Determine a expressão analítica da função inversa da função afim $f(x) = 3x - 5$.

Determine a função inversa da função racional $g(x) = \frac{4}{x+2}$.

Calcule a função inversa de $h(x) = \sqrt{2x - 1}$, indicando o domínio da nova função obtida.

Dado o gráfico da função exponencial $f(x) = 2^x$, desenhe no seu caderno os eixos coordenados, a reta bissetriz do primeiro quadrante ($y = x$) e esboce o gráfico da sua função inversa $f^{-1}(x)$. Identifique as coordenadas de pelo menos três pontos por onde $f^{-1}(x)$ passa.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Verifique, utilizando a composição de funções, se $f(x) = \frac{x+1}{2}$ e $g(x) = 2x - 1$ são funções inversas. Deves verificar se $(f \circ g)(x) = x$ e se $(g \circ f)(x) = x$.

Determine a função inversa da função exponencial $f(x) = 2^{x-3}$.

Determine a função inversa da função logarítmica $g(x) = \log_3(x) + 1$.

Sabendo que $f(x) = x^3 + 2x + 1$, calcule o valor numérico de $f^{-1}(4)$ sem a necessidade de determinar a expressão algébrica completa da função inversa.

O Marcos tem de determinar a função inversa de $f(x) = \frac{3x - 5}{2}$. No seu exame escreve a seguinte resolução:

«Como a inversa se designa por $f^{-1}(x)$, aplico a propriedade das potências de expoente negativo, invertendo a fração:

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pelo Marcos, distinguindo com clareza entre o recíproco ou inverso multiplicativo de um número e a função inversa relativamente à composição.
2. b) Corrige o exercício, realizando o procedimento adequado passo a passo para determinar a verdadeira expressão de $f^{-1}(x)$.
3. c) Comprova que o teu resultado está correto, verificando que $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Numa estação meteorológica do IPMA situada ao nível do mar regista-se uma temperatura de $24\text{ }^\circ\text{C}$. Na região montanhosa adjacente, a temperatura desce linearmente à razão de $0,65\text{ }^\circ\text{C}$ por cada $100\text{ m}$ de altitude ($h$, expressa em centenas de metros), de acordo com o modelo $T(h) = 24 - 0,65h$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo analítico, estima se para encontrar uma temperatura de $11\text{ }^\circ\text{C}$ será necessário subir a mais ou a menos de $1500\text{ m}$ de altitude ($h = 15$) e justifica brevemente o teu raciocínio qualitativo.
2. b) Isola a variável $h$ na equação para obter a função inversa $h(T)$, interpreta que grandeza calcula essa função e determina com ela a altitude exata (em metros) à qual a temperatura é de $11\text{ }^\circ\text{C}$.
3. c) Compara o valor obtido com a tua estimativa prévia e avalia se o resultado é coerente com o comportamento físico do modelo.

O custo de produção mensal em euros de $x$ unidades de um componente eletrónico é dado pela função $C(x) = \frac{120x + 500}{x + 2}$. Determine a função inversa $C^{-1}(x)$ e interprete o que essa nova função representa no contexto do problema.

A relação que permite converter uma temperatura dada em graus Celsius ($C$) para graus Fahrenheit ($F$) é $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Determine a função inversa $C(F)$ e use-a para calcular a quantos graus Celsius correspondem $68$ graus Fahrenheit.

Dada a função racional $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$, determine a sua função inversa $f^{-1}(x)$. Em seguida, calcule o domínio de $f(x)$ e o domínio de $f^{-1}(x)$, e explique a relação que existe entre esses domínios e os contradomínios de ambas as funções.

O número de utilizadores de uma nova aplicação de mensagens cresce segundo o modelo $U(t) = 150 \cdot e^{0,2t}$, onde $t$ é medido em semanas e $U(t)$ em milhares de utilizadores. Determine a função inversa $t(U)$ e use-a para calcular quanto tempo exato deve decorrer para que a aplicação alcance $3000$ milhares de utilizadores (três milhões).

A função quadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ não tem função inversa em todo o $\mathbb{R}$ porque não é injetiva. Restrinja o seu domínio ao intervalo $[3, +\infty)$ e calcule a expressão analítica da sua função inversa nesse intervalo.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a função $f(x) = \frac{3x + 2}{x + k}$ seja a sua própria inversa, ou seja, para que se verifique a condição $f(f(x)) = x$ para qualquer valor do seu domínio.

A depreciação anual de um equipamento industrial é modelada pela função $V(t) = 12000 \cdot (0,8)^t$, onde $V$ é o valor atual em euros e $t$ o tempo decorrido em anos desde a sua compra. Determine a função inversa $t(V)$ e indique quantos anos se passaram exatamente se o equipamento está hoje avaliado em $6144$ euros.

É apresentado o gráfico da função $f(x) = x^2 - 2$ restrita ao domínio $x \ge 0$. Desenhe no seu caderno a reta $y = x$ e o gráfico da função inversa $f^{-1}(x)$. Determine analiticamente o ponto exato de interseção entre ambas as curvas.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O consumo de combustível de um automóvel que circula por uma autoestrada portuguesa a velocidade constante é modelado pela função $C(v) = 4,2 + 0,0003 \cdot (v - 80)^2$, onde $v$ é a velocidade do veículo em $\text{km/h}$, restrita ao intervalo regulamentar $[80, 120]$, e $C(v)$ é o consumo em litros a cada $100\text{ km}$ ($\text{L}/100\text{ km}$).

1. a) Justifica matematicamente, analisando a monotonia de $C(v)$ no intervalo $[80, 120]$, por que razão a função é injetiva nesse domínio e por que razão isto garante a existência da sua função inversa.
2. b) Obtém a expressão analítica da função inversa $v(C)$ e indica fundamentadamente o seu domínio de definição e a sua interpretação no contexto da condução.
3. c) Se o computador de bordo indicar que o consumo médio num troço plano foi de $4,68\text{ L}/100\text{ km}$, utiliza a função $v(C)$ para determinar a velocidade exata a que o veículo circulava.

Pretende-se determinar o valor dos coeficientes de uma função homográfica da forma $f(x) = \frac{ax + 4}{2x - 3}$ (com $x \neq 1,5$) para que satisfaça simultaneamente duas condições: o seu gráfico deve passar pelo ponto $(1, -7)$ e deve ser idêntica à sua própria função inversa, ou seja, $f(x) = f^{-1}(x)$ em todo o seu domínio.

1. a) Formula e resolve a equação que permite calcular o parâmetro real $a$ a partir do ponto pelo qual passa o gráfico.
2. b) Com o valor de $a$ determinado, calcula a expressão algébrica de $f^{-1}(x)$ isolando a variável independente e verifica se efetivamente se cumpre a igualdade $f(x) = f^{-1}(x)$.
3. c) Raciocina geometricamente que simetria relativamente à reta $y = x$ deve possuir o gráfico de qualquer função que coincida com a sua própria inversa.

O nível de intensidade sonora em decibéis (dB) percecionado pelo ouvido humano é calculado por meio da função $\beta(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, onde $I$ é a intensidade acústica em $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ é a intensidade do limiar de audição. Encontra a função inversa $I(\beta)$ que determina a intensidade em função dos decibéis. Se o limiar da dor humana se situa em $120 \text{ dB}$, qual é a intensidade acústica correspondente?

Dadas as funções $f(x) = \frac{x}{x-2}$ e $g(x) = \sqrt{x+1}$, obtenha passo a passo a expressão analítica da função inversa da composição, ou seja, $(f \circ g)^{-1}(x)$, e determine o domínio dessa nova função.

Calcule a função inversa da seguinte função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Verifique analiticamente que o domínio de $f^{-1}$ coincide exatamente com o contradomínio de $f$.

Sabendo que a função racional $f(x) = \frac{ax + b}{cx - 1}$ é a sua própria função inversa (ou seja, $f^{-1}(x) = f(x)$) e que o seu gráfico passa pelos pontos $(2, 5)$ e $(0, -3)$, estabelece um sistema de equações e determina os valores numéricos dos parâmetros $a$, $b$ e $c$.

A concentração $C(t)$ de um reagente numa reação química de segunda ordem evolui segundo a lei $C(t) = \frac{C_0}{1 + k \cdot C_0 \cdot t}$, onde $C_0$ é a concentração inicial e $k$ é a constante de velocidade. Isole o tempo $t$ para determinar a função inversa $t(C)$. Utilize-a para demonstrar que o tempo de meia-vida (o tempo necessário para que a concentração se reduza a metade, $C = \frac{C_0}{2}$) é inversamente proporcional à concentração inicial $C_0$.

Seja a função irracional $f(x) = \sqrt{x+6}$. Calcule a sua função inversa $f^{-1}(x)$ indicando claramente o seu domínio. Determine analiticamente os pontos de interseção entre os gráficos de $f(x)$ e $f^{-1}(x)$, sabendo que, por simetria, esses pontos devem encontrar-se sobre a reta $y = x$.

A propagação de um vírus informático numa rede fechada é modelada pela função logística $N(t) = \frac{5000}{1 + 49e^{-0,5t}}$, onde $N(t)$ é o número de computadores infetados e $t$ representa os dias decorridos desde a deteção inicial. Determine a função inversa $t(N)$. Qual é o significado do domínio desta função inversa no contexto do limite de propagação do vírus?

Demonstra algebricamente que se $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^3 - 1}$, então a sua função inversa é dada pela expressão $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$. De seguida, justifica mediante a resolução de uma equação se o gráfico de $f(x)$ interseta o gráfico da sua função inversa.

Dada a função $f(x) = \sqrt{2x + 15}$, definida para $x \in [-7,5, +\infty)$, pretendem-se determinar os pontos de interseção entre o seu gráfico e o da sua função inversa $f^{-1}$. Dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• Método 1 (Isolamento direto): Calcular a expressão de $f^{-1}(x)$, formular a equação $f(x) = f^{-1}(x)$ e resolvê-la elevando ao quadrado.

• Método 2 (Simetria): Utilizar a propriedade de que, se uma função estritamente crescente se interseta com a sua inversa, os pontos de interseção devem situar-se necessariamente sobre a reta bissetriz $y = x$, resolvendo diretamente a equação $f(x) = x$.

1. a) Compara ambos os métodos e justifica por que razão o Método 1 se torna notavelmente mais complexo e ineficiente (analisa o grau do polinómio a que dá origem e o risco de raízes estranhas face ao Método 2).
2. b) Aplica o Método 2 para resolver a equação, comprova fundamentadamente a validade das soluções obtidas no domínio de ambas as funções e indica as coordenadas exatas $(x, y)$ do ponto ou pontos de interseção.
3. c) Comprova que o ponto determinado pertence efetivamente ao gráfico de $f^{-1}$.

Considera a função real definida por ramos:

onde $b$ é um parâmetro real.

1. a) Determina o vértice da parábola correspondente ao segundo ramo e calcula o seu contradomínio para $x > 2$. Apoiando-te no critério da reta horizontal, deduz fundamentadamente que condição deve cumprir o valor máximo do primeiro ramo para que $f$ seja injetiva em todo o $\mathbb{R}$, e escreve a desigualdade que o parâmetro $b$ deve satisfazer.
2. b) No caso limite em que a função se torna contínua ($b = -1$), justifica por que razão $f$ é bijetiva de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ e deduz a expressão analítica da sua função inversa $f^{-1}(x)$, indicando de forma precisa o domínio de cada um dos seus ramos.
3. c) Sem necessidade de calcular previamente $f(x)$, utiliza as propriedades da composição e a função obtida na alínea anterior para resolver a equação $(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(7)$.