Exercícios: Aplicações ao cálculo de limites. Regra de l'Hôpital

Calcule o seguinte limite utilizando a Regra de L'Hôpital, verificando primeiro se se confirma a indeterminação necessária:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x + 2}{x^2 - 4}$$

No estudo da propagação de um sinal eletromagnético, surge a seguinte expressão para calcular a intensidade num ponto crítico. Determine o valor do limite quando o tempo $t$ tende para $0$:

$$\lim_{t \to 0} \frac{e^{3t} - 1}{\sin(2t)}$$

Determine o valor do seguinte limite de uma função logarítmica. Lembre-se de derivar corretamente o numerador e o denominador de forma independente:

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 + 2x - 3}$$

Calcule o limite da seguinte função racional no infinito. Embora pudesse resolvê-lo por comparação de graus, utilize a Regra de L'Hôpital para demonstrar o resultado:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 7}$$

Determine o valor do parâmetro $k$ para que o seguinte limite seja igual a $4$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 4$$

Sabe-se que a concentração de um reagente químico numa mistura segue a função $C(t)$. Calcule a concentração limite quando o tempo $t$ se aproxima de $0$ pela direita:

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos(t)}{t^2}$$

Dadas as funções $f(x) = e^x - x - 1$ e $g(x) = x^2$, calcule justificadamente o limite do quociente de ambas quando $x$ tende a $0$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Nota: É possível que seja necessário aplicar a Regra de L'Hôpital mais de uma vez.

Observe o gráfico seguinte que representa duas funções $f(x)$ (em branco) e $g(x)$ (em cinza escuro) que se anulam no ponto $x = a$. Sabendo que $f'(a) = 6$ e $g'(a) = 2$, calcule o valor do limite:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

O Mateo está a calcular o seguinte limite num exame de Matemática II:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2 + 2x}$$

Na sua folha escreve os seguintes passos:

1) «Ao substituir $x = 0$, obtemos $\frac{e^0 - 0 - 1}{0^2 + 0} = \frac{0}{0}$. Como é uma indeterminação, aplico a regra de l'Hôpital derivando o numerador e o denominador: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x + 2}$».

2) «Como no denominador ainda resta a variável $x$, volto a aplicar a regra de l'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$».

Identifica o erro conceptual que o Mateo cometeu no passo 2, explica detalhadamente por que razão não é lícito aplicar a regra nesse ponto e calcula o valor correto do limite justificando cada passo.

Considera o limite:

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{2x}$$

1. a) Antes de o calculares formalmente, estima o seu valor numérico: sabendo que $e^{0,03} \approx 1,03045$ e que $e^{-0,03} \approx 0,97045$, avalia o quociente em $x = 0,01$ e em $x = -0,01$. A partir destas aproximações, conjetura que número decimal exato representa $L$.
2. b) Verifica a tua conjetura resolvendo o limite através da regra de l'Hôpital, verificando de forma explícita que se cumprem as hipóteses necessárias para a sua aplicação.
3. c) Compara o valor teórico obtido com as tuas estimativas numéricas e explica por que razão a média dos valores avaliados à esquerda e à direita se aproxima tanto do limite exato.

No estudo da propagação de um sinal wifi num ambiente com interferências, modelou-se a perda de intensidade através da seguinte função da distância $x$ (em metros):

$$f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x} - 4x}{x - \sin(x)}$$

Calcula o limite desta função quando a distância $x$ tende para $0$, ou seja, $\lim_{x \to 0} f(x)$, para determinar o comportamento do sinal no ponto de emissão.

Calcule o valor do seguinte limite transformando previamente a indeterminação do tipo $\infty - \infty$ num quociente para poder aplicar a Regra de L'Hôpital:

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$$

Uma equipa de engenheiros de som está a analisar a resposta de um filtro de áudio. O ganho do filtro em função da frequência $x$ é dado pela expressão:

$$G(x) = \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 2}{x^2}$$

Sabendo que o limite do ganho quando a frequência tende para zero é igual a $-1$, isto é, $\lim_{x \to 0} G(x) = -1$, calcula fundamentadamente os valores dos parâmetros $a$ e $b$.

Determine o valor do seguinte limite que apresenta uma indeterminação do tipo $1^\infty$. Para o resolver, utilize as propriedades dos logaritmos e a Regra de L'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$$

Calcule o limite da seguinte função quando $x$ tende a $\frac{\pi}{2}$. Tenha em conta que deverá realizar uma transformação prévia para converter a indeterminação $0 \cdot \infty$ numa forma apta para L'Hôpital:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin(x) - 1 \right) \cdot \tan(x)$$

Numa rede social, o número de "shares" de um vídeo viral durante os primeiros segundos foi modelado mediante a função $S(t) = (1+2t)^{1/t}$, onde $t$ é o tempo em segundos.

Para que valor tende o número de partilhas no instante inicial? Calcule para isso:

$$\lim_{t \to 0} (1+2t)^{\frac{1}{t}}$$

Deseja-se estudar a convergência de um algoritmo de inteligência artificial. A taxa de erro em função do número de iterações $x$ define-se como:

$$E(x) = \frac{\ln(x^4 + 1)}{x}$$

Demonstre, utilizando a Regra de L'Hôpital, que quando o número de iterações tende para infinito ($x \to \infty$), a taxa de erro tende para $0$. O que isto nos diz sobre a eficiência do algoritmo a longo prazo?

Dada a função dependente do parâmetro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{e^x - kx - 1}{x^2}$$

Calcule o valor de $k$ para que o limite $\lim_{x \to 0} f(x)$ seja um número real finito e determine esse valor. Explique porque é necessário que a expressão do numerador se anule em $x=0$ para poder aplicar a regra.

Num modelo matemático de difração de luz através de uma fenda microscópica, aparece o seguinte limite:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2} $$

Aplique a regra de L'Hôpital sucessivamente para determinar o seu valor exato.

Deseja-se calcular o seguinte limite no infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3}}$$

1. a) Verifica que apresenta uma indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$ e tenta resolvê-lo aplicando diretamente a regra de l'Hôpital derivando o numerador e o denominador. O que acontece ao derivar sucessivamente? Explica por que razão este método não permite resolver o limite.
2. b) Propõe e desenvolve um método algébrico alternativo que permita calcular o limite de forma imediata e rigorosa.
3. c) A partir dos resultados anteriores, estabelece um critério geral para decidir quando convém priorizar a simplificação algébrica face ao uso mecânico da regra de l'Hôpital perante quocientes com radicais no infinito.

No mercado elétrico espanhol (OMIE), durante um episódio de forte irrupção de energia eólica, o preço marginal de equilíbrio $P(t)$ (em euros/MWh) em função do tempo $t$ decorrido desde o início da injeção eólica (em horas, para $t > 0$) é modelado pela expressão:

$$P(t) = 45 + \frac{30 \cdot (\sin(2t) - 2t)}{t^3}$$

1. a) Analisa a que indeterminação conduz o cálculo do preço instantâneo no momento de acoplamento inicial, isto é, ao calcular $\lim_{t \to 0^+} P(t)$.
2. b) Aplica de forma justificada a regra de l'Hôpital tantas vezes quantas forem necessárias para calcular o referido limite, verificando as condições exigidas em cada uma das derivadas intermédias.
3. c) Interpreta o resultado obtido no contexto do sistema elétrico: o preço colapsa para zero, tende para infinito ou estabiliza num valor limiar positivo no início do episódio? Determina o referido preço limite em euros/MWh.

No projeto de uma nova montanha-russa, a curvatura de um troço inicial é determinada pela existência do limite de uma função de transição. Para que o projeto seja viável, requer-se que o seguinte limite seja um número real finito:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 3 + x}{x^2}$$

Calcule fundamentadamente os valores dos parâmetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que esse limite exista e seja finito. Uma vez obtidos, calcule o valor desse limite.

Num laboratório de biotecnologia, o crescimento de uma população de bactérias num ambiente controlado segue uma lei cuja taxa de acumulação acumulada é expressa por meio de um integral. Pretende-se estudar o comportamento da densidade populacional no instante inicial através do cálculo do seguinte limite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \ln(1 + t^2) \, dt}{x^3}$$

Utiliza a Regra de L'Hôpital e o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar o valor deste limite.

Determine, se existirem, os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte função seja contínua em todo o seu domínio:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(ax^2)}{x^2} & \text{si } x < 0 \\ b + 2 & \text{si } x = 0 \\ \dfrac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Para resolver o limite pela direita, será necessário aplicar a Regra de l'Hôpital de forma reiterada. Justifique cada passo do processo.

Calcule o valor do seguinte limite, que apresenta uma indeterminação do tipo $1^\infty$. Certifique-se de transformar a expressão adequadamente antes de aplicar a Regra de L'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$$

Um engenheiro de telecomunicações analisa a perda de potência de um sinal numa fibra ótica. A potência relativa $P$ em relação à distância $d$ é modelada por uma função que requer resolver a seguinte indeterminação quando o sinal se aproxima de um nó crítico ($d \to 1$):

$$\lim_{d \to 1} \left( \frac{d}{\ln(d)} - \frac{1}{d-1} \right)$$

Calcule o valor do limite indicando o tipo de indeterminação inicial e as transformações algébricas realizadas para aplicar l'Hôpital.

Considera-se a função $g(x) = x^2 \cdot e^{-1/x^2}$ para $x \neq 0$.

1. Estude se é possível atribuir um valor a $g(0)$ para que a função seja contínua em $x = 0$.

2. Utilizando a definição de derivada por meio de um limite e aplicando a Regra de l'Hôpital, demonstre se a função é derivável em $x = 0$.

Nota: Tenha especial cuidado com a mudança de variável necessária para resolver o limite no infinito, se for preciso.

Calcule o valor do limite da seguinte função quando $x$ tende a zero pela direita ($x \to 0^+$). Identifique o tipo de indeterminação e utilize a relação entre potências e exponenciais ($u^v = e^{v \cdot \ln(u)}$):

$$\lim_{x \to 0^+} (\tan(x))^x$$

Dada a função $f(x) = \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$, sabe-se que apresenta uma descontinuidade removível em $x = 1$.

1. Calcule o valor da constante $k$.

2. Para esse valor de $k$, calcule o valor que a função deveria assumir em $f(1)$ para que fosse contínua nesse ponto, resolvendo o limite:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$$

1. Existe alguma assíntota oblíqua para esta função? Justifique a sua resposta utilizando limites.

Sabe-se que a concentração de um reagente químico num processo catalítico limite segue uma dinâmica tal que:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax) - bx}{x^3} = -\frac{4}{3} $$

Aplique a regra de L'Hôpital de forma reiterada para determinar os valores numéricos exatos dos parâmetros reais $a$ e $b$.

O fator de depreciação de um ativo financeiro a longo prazo é modelado avaliando o seguinte limite:

$$ L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3x}{x^2 - x} \right)^x $$

Transforme esta indeterminação do tipo $1^\infty$ utilizando logaritmos e aplique a regra de L'Hôpital para calcular o valor exato do fator de depreciação $L$.

Uma equipa de engenharia projeta o perfil de travagem suave de um comboio de alta velocidade na rede ferroviária portuguesa. Esse comportamento exige determinar uma família de funções que satisfaça a condição de curvatura:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot x + b \cdot x^2 + c \cdot x^3 + d \cdot \sin(x) - \sin(2x)}{x^3} = 4$$

onde $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ são parâmetros de projeto.

1. a) Demonstra, aplicando reiteradamente a regra de l'Hôpital e justificando a anulação dos numeradores em cada passo, as equações lineares que os parâmetros devem satisfazer para que o limite exista e seja exatamente igual a $4$.
2. b) Justifica se existe uma única função com estas propriedades ou se a solução apresenta graus de liberdade. Determina a solução geral do sistema de parâmetros e escreve a expressão analítica concreta de duas funções distintas que cumpram a condição exigida.
3. c) Se for imposta a restrição física adicional de que a ordenada na origem da resposta própria se anule ($a = 0$), calcula os valores numéricos únicos de $b$, $c$ e $d$.

Considera-se a função $f(x) = (a + b \cdot \cos x)^{1/x^2}$, definida numa vizinhança furada da origem ($x \ne 0$), com $a, b \in \mathbb{R}$.

1. a) Demonstra fundamentadamente que, para que o limite $L = \lim_{x \to 0} f(x)$ seja um número real estritamente positivo e finito diferente de $1$, é condição necessária que $a + b = 1$. Justifica detalhadamente o que aconteceria com esse limite se $a + b > 1$ ou se $0 < a + b < 1$.
2. b) Assumindo que $a + b = 1$, transforma a indeterminação de tipo $1^\infty$ através de logaritmos naturais e aplica a regra de l'Hôpital para deduzir uma expressão do valor do limite em função exclusiva do parâmetro $a$.
3. c) Determina os valores exatos de $a$ e $b$ para que o limite seja exatamente $\frac{1}{\sqrt{e}}$. Em seguida, investiga se é possível encontrar valores de $a$ e $b$ para que o limite seja $e^2$, verificando se nesse caso a função base $a + b \cdot \cos x$ permanece estritamente positiva numa vizinhança de $x = 0$.

Desafio do tema. Como evolui a procura elétrica no nosso país e que risco existe de sobrecarga na rede? Torna-te analista energético por um dia.

1. Dados e ajuste: Entra no portal da REN (Redes Energéticas Nacionais), descarrega os dados horários de procura em Portugal continental de um dia ($24\text{ h}$) e importa-os para o GeoGebra ou folha de cálculo para ajustar uma função polinomial derivável $D(t)$.

2. Derivação e variação: Calcula a taxa de variação média no intervalo de maior consumo matinal. Aplica as regras usuais de derivação para obter analiticamente a função derivada $D'(t)$, identificando a taxa instantânea e os instantes de consumo extremo ($D'(t) = 0$).

3. L'Hôpital e probabilidade: Avalia a sensibilidade limite do sistema perante variações quadráticas do tempo resolvendo $\lim_{t \to t_0} \frac{D(t) - D(t_0)}{t^2 - t_0^2}$ (com $t_0 \neq 0$) através da regra de l'Hôpital. Além disso, usando a tabela de frequências das $24\text{ h}$ e as propriedades da probabilidade (acontecimento contrário e união de acontecimentos compatíveis), estima a probabilidade de uma hora escolhida ao acaso apresentar alta procura (superior à média diária) ou aceleração de consumo ($D''(t) > 0$).

4. Relatório: Elabora um relatório de uma página que reúna gráficos, deduções analíticas e conclusões sobre a estabilidade do sistema.

Será valorizado:

• Rigor no cálculo analítico de derivadas e na aplicação da regra de l'Hôpital.

• Precisão no ajuste de dados reais através do GeoGebra e cálculo de taxas de variação.

• Uso correto das propriedades da probabilidade e coerência nas conclusões do relatório.