Exercícios: Função derivada

Um patinador desloca-se por uma pista seguindo uma trajetória cuja posição (em metros) é dada pela função $s(t) = t^2 + 3t$, onde $t$ é o tempo em segundos. Calcule, utilizando a definição de derivada como um limite, a velocidade instantânea do patinador no instante $t = 2$ segundos.

Calcule a função derivada das seguintes funções elementares utilizando as regras de derivação:

1. a) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{1}{x^3} + \sqrt{x}$

1. c) $h(x) = 3e^x - 2\cos(x)$

Encontra a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x) = x^2 - 4x + 1$ no ponto de abscissa $x = 3$.

Dada a função $f(x) = x \cdot \ln(x)$, calcule a sua derivada $f'(x)$ aplicando a regra do produto e determine o valor do declive da curva no ponto em que $x = e$.

Está a ser projetada uma rampa de acesso para um skatepark. O perfil lateral do primeiro troço segue a função $f(x) = \frac{x^2+4}{x+1}$. Calcule a função derivada $f'(x)$ para saber como varia a inclinação da rampa em qualquer ponto desse troço.

Aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções compostas:

1. a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$

1. b) $g(x) = \sin(5x + 2)$

1. c) $h(x) = e^{x^2}$

Estude a derivabilidade da seguinte função no ponto $x = 2$, verificando primeiro se ela é contínua nesse ponto:

Calcule a derivada de segunda ordem (segunda derivada) da função $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. Para que valor de $x$ se anula essa segunda derivada? (Este ponto é importante para o estudo da concavidade que verás mais adiante).

A Elena está a calcular a derivada da função $f(x) = x^{2x+1}$ para $x > 0$. No seu exame escreve a seguinte resolução:

1. a) Explica detalhadamente qual é o erro concetual que a Elena comete e por que razão as regras usuais de derivação de funções potência ($x^k$) ou exponenciais ($a^x$) não podem ser aplicadas a esta função.
2. b) Corrige o exercício aplicando passo a passo o método de derivação logarítmica para obter a expressão correta de $f'(x)$, deixando-a simplificada e expressa exclusivamente em função de $x$.

Pretende-se calcular a função derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{e^{4x} \cdot (x^2 + 3)^5}{\sqrt{2x + 1}}\right)$ no domínio $x > -\frac{1}{2}$. Para a resolver propõem-se dois caminhos:

• Método A: Aplicar diretamente a regra da derivada da função composta para a função logaritmo, $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$, calculando $u'(x)$ através da regra do quociente combinada com a regra do produto e potências.

• Método B: Aplicar as propriedades dos logaritmos (logaritmo de um produto, de um quociente e de uma potência) para transformar $f(x)$ numa combinação linear de termos simples antes de derivar.

1. a) Compara de forma justificada ambos os métodos avaliando a dificuldade do cálculo algébrico e a probabilidade de cometer erros com a regra da cadeia.
2. b) Deriva a função utilizando o método que tenhas justificado como mais eficiente e simplifica o resultado final.

Calcule a função derivada da seguinte função composta, simplificando o resultado o mais possível:

$f(x) = \ln\left(\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}\right)$

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte função seja derivável em todo o seu domínio, prestando atenção especial ao ponto de junção $x = 0$:

$f(x) = \begin{cases} e^{ax} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + bx + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Dada a função $f(x) = \ln(2x - 3)$, encontre a expressão geral para a sua derivada de ordem n $f^{(n)}(x)$ e utilize-a para calcular o valor da quarta derivada no ponto $x = 2$.

Encontra a equação da reta tangente à curva $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ no ponto em que a função interseta o eixo das ordenadas ($OY$).

Um drone de vigilância segue uma trajetória cuja altura em metros é dada pela função $h(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 11t + 5$, onde $t$ é o tempo em segundos ($0 \leq t \leq 10$).

• a) Calcule a função velocidade $v(t)$ e a função aceleração $a(t)$.

• b) Em que instantes de tempo o drone se encontra momentaneamente parado (velocidade igual a zero)?

Utiliza a técnica da derivação logarítmica para encontrar a derivada da seguinte função potencial-exponencial:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\cos(x)}$

Estuda a derivabilidade da função $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ nos pontos $x = 1$ e $x = 3$.

1. a) Estuda se $f$ é contínua em $x = 1$ e em $x = 3$.

1. b) Calcula, se existirem, as derivadas laterais de $f$ em $x = 1$ e em $x = 3$.

1. c) Indica se $f$ é derivável nesses pontos.

Dada a equação da curva definida de forma implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conhecida como Folium de Descartes), calcule o valor do declive da reta tangente à curva no ponto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

De acordo com dados da Rede Elétrica Nacional (REN), num dia de inverno a procura de potência elétrica $P(t)$, expressa em gigawatts (GW), pode ser aproximada entre as $06:00$ e as $14:00$ horas ($t \in [6, 14]$, onde $t$ é a hora do dia) através da função cúbica:

1. a) Obtém a expressão algébrica de $P'(t)$, que representa o ritmo de variação instantâneo da procura elétrica, e indica fundamentadamente as suas unidades de medida.
2. b) Determina os intervalos de tempo em que o consumo está a aumentar e aqueles em que está a diminuir nessa faixa horária.
3. c) Descobre a que hora exata da manhã se atinge o pico máximo de procura e qual é a potência consumida nesse instante. Justifica analiticamente, através do critério da primeira ou da segunda derivada, por que razão esse valor é um máximo relativo e não um ponto de inflexão.

Considera a função com base e expoente variáveis $f(x) = x^{\sin(x)}$, definida para todo o $x > 0$.

1. a) Estima: Sem realizar derivadas algébricas, analisa qualitativamente o comportamento da base $u(x) = x$ e do expoente $v(x) = \sin(x)$ nas imediações de $x = \frac{\pi}{2}$. Tendo em conta que a função seno atinge um máximo relativo em $\frac{\pi}{2}$ (pelo que a sua variação instantânea é nula nesse ponto), estima fundamentadamente se $f(x)$ será crescente ou decrescente em $x = \frac{\pi}{2}$ e deduz que sinal esperas para $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
2. b) Calcula: Determina a função derivada $f'(x)$ através de derivação logarítmica e calcula o valor numérico exato de $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
3. c) Verifica: Avalia se o valor obtido confirma a tua estimativa qualitativa prévia e interpreta geometricamente o declive da reta tangente nesse ponto.

Considera-se a função definida por partes $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por meio da seguinte expressão:

Determine os valores dos parâmetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que a função seja derivável em todo o seu domínio. Uma vez encontrados, discuta se a função derivada $f'(x)$ é, por sua vez, contínua em $x = 2$.

Fazendo uso exclusivo da definição de derivada como um limite (quociente incremental), calcula a função derivada de $f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}$. Posteriormente, utiliza o resultado obtido para determinar a equação da reta tangente à curva no ponto $P$ de abcissa $x = 2$.

Na figura mostra-se o gráfico de $f$ e a posição do ponto $P$.

Dada a curva definida pela equação implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conhecida como Folium de Descartes), pede-se:

1. a) Obter a expressão da derivada $y'$ em função de $x$ e $y$ por derivação implícita.
2. b) Encontrar os pontos da curva nos quais a reta tangente é horizontal.
3. c) Determinar a equação da reta normal à curva no ponto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

Utiliza a técnica da derivação logarítmica para calcular a função derivada de:

Indique fundamentadamente o domínio de definição da função $f(x)$ e o da sua função derivada $f'(x)$. Existe algum ponto no intervalo $(0, \pi/2)$ onde o declive da reta tangente seja nulo?

Seja a função $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$.

1. a) Decomponha a função em frações simples.
2. b) Utilizando a decomposição anterior, determine uma fórmula geral para a derivada de ordem $n$, $f^{(n)}(x)$, para qualquer $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Demonstre a validade da sua fórmula para todo $n \in \mathbb{N}$ por indução matemática, verificando explicitamente as três primeiras ordens de derivação.

Um drone de vigilância segue uma trajetória de voo sobre um eixo retilíneo. A sua posição (em decâmetros) em relação ao centro de controlo é dada pela função $s(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$, onde $t$ é o tempo em minutos desde a descolagem ($t \ge 0$). A figura mostra o gráfico de $s(t)$.

1. a) Determina a função velocidade $v(t)$ e a função aceleração $a(t)$ do drone.

1. b) Em que instante o drone muda de sentido no seu movimento?

1. c) Calcula os instantes exatos em que a aceleração é nula. Que interpretação física têm estes pontos relativamente à velocidade do drone?

Considera-se a função $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Determine os coeficientes $a, b, c$ e $d$ sabendo que se cumprem simultaneamente as seguintes condições:

1. O gráfico de $f(x)$ passa pela origem das coordenadas.

2. A função tem um ponto de inflexão em $x = 1$.

3. A reta tangente à curva no ponto de abscissa $x = 0$ é paralela à reta $y = -2x + 5$.

4. O valor da segunda derivada em $x = 0$ é $f''(0) = 6$.

O gráfico seguinte corresponde à função derivada, $f'(x)$, de uma função $f(x)$ que é contínua em todo o seu domínio $\mathbb{R}$. O gráfico de $f'(x)$ é uma parábola que corta o eixo $X$ em $x=-2$ e $x=2$, e cujo vértice é o ponto $(0,2)$.

A partir do gráfico de $f'(x)$, justifica as seguintes questões sobre a função original $f(x)$:

1. a) Indica os intervalos de crescimento e decrescimento de $f(x)$.

1. b) Determina as abcissas dos extremos relativos de $f(x)$ e classifica-os em máximos ou mínimos.

1. c) Em que valor de $x$ apresenta $f(x)$ um ponto de inflexão? Justifica a tua resposta com base na relação entre $f''(x)$ e o declive de $f'(x)$.

Procura-se determinar os parâmetros reais $a$ e $b$ de uma função racional da forma $f(x) = \frac{a x + b}{x - 2}$ (com $x \ne 2$) para que cumpra simultaneamente duas condições:

1. A sua derivada de ordem $n$ satisfaz para qualquer número natural $n \ge 1$ a expressão geral:

1. A reta tangente ao gráfico de $f$ no seu ponto de interseção com o eixo das abcissas forma um ângulo de $135^\circ$ com o sentido positivo do eixo $OX$.

1. a) Deduz por regularidade ou recorrência a fórmula da derivada de ordem $n$ da função elementar $g(x) = \frac{1}{x - 2}$.
2. b) Decompõe $f(x)$ na forma $f(x) = A + \frac{B}{x - 2}$ e utiliza a condição 1 para fixar o valor de $B$, obtendo uma primeira relação entre $a$ e $b$.
3. c) Traduz analiticamente a condição geométrica 2 sobre a reta tangente para encontrar todos os pares de valores $(a, b)$ que verificam o enunciado, verificando a coerência do resultado em cada caso.

Para estudar a curva implícita dada pela equação $x^3 + y^3 - 3xy = 0$, o Carlos tenta localizar os pontos que possuem reta tangente horizontal e escreve no quadro:

«Passo 1: Derivo implicitamente em ordem a $x$ tratando $y$ como $y(x)$:

Passo 2: Como procuro tangentes horizontais, o declive deve anular-se, pelo que igualo a zero o numerador: $y - x^2 = 0 \implies y = x^2$.

Passo 3: Substituo $y = x^2$ na curva: $x^3 + (x^2)^3 - 3x(x^2) = 0 \implies x^6 - 2x^3 = 0 \implies x^3(x^3 - 2) = 0$.

Passo 4: Obtenho duas soluções: $x = 0$ (que dá o ponto $(0, 0)$) e $x = \sqrt[3]{2}$ (que dá o ponto $(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$). Concluo que em ambos os pontos a curva tem reta tangente horizontal $y'=0$ e, em particular, $(0,0)$ é um extremo relativo suave.»

1. a) Identifica o erro concetual cometido pelo Carlos no Passo 4 ao analisar o ponto $(0, 0)$. O que acontece ao avaliar a expressão de $y'$ nesse ponto?
2. b) Justifica por que razão a condição $y' = 0$ em derivação implícita é apenas uma condição necessária e que verificação adicional sobre o denominador é imprescindível realizar.
3. c) Determina fundamentadamente se no ponto $P(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$ existe efetivamente reta tangente horizontal e escreve a sua equação.