Exercícios: Operações com complexos na forma polar

Dados os números complexos $z_1 = 4_{30^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcule o seu produto $z_1 \cdot z_2$ expressando o resultado na forma polar.

Calcule o quociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ e exprima o resultado na forma polar.

Utilizando a fórmula de De Moivre, calcule a potência $(2_{40^\circ})^3$ e expresse o resultado na forma polar.

Encontra o inverso do número complexo $z = 5_{120^\circ}$, expressando o resultado final na forma polar.

Um navio navega na direção e distância indicadas pelo vetor associado ao número complexo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climatéricos, o capitão decide realizar uma rotação de $90^\circ$ no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio mantendo a mesma distância. Por que número complexo na forma polar deve multiplicar $z$ para obter a sua nova trajetória, e qual é a posição final?

Calcule as duas raízes quadradas do número complexo $16_{120^\circ}$ e expresse os resultados na forma polar.

Efetue a seguinte operação combinada e expresse o resultado na forma polar:

Dado o número complexo $z = 3_{50^\circ}$, exprime o seu conjugado $\bar{z}$ e o seu simétrico $-z$ na forma trigonométrica.

A Carmen está a resolver um exercício de potências de números complexos na forma polar e escreve no seu caderno o seguinte desenvolvimento: $(2_{30^\circ})^5 = (2 \cdot 5)_{30^\circ \cdot 5} = 10_{150^\circ}$.

1. a) Localiza e explica de forma fundamentada o erro conceptual cometido pela Carmen ao calcular o módulo. Justifica geometricamente por que razão, na fórmula de De Moivre, o módulo se eleva à potência e não se multiplica pelo expoente.
2. b) Corrige o cálculo escrevendo o resultado correto na forma polar.
3. c) Passa o resultado correto para a forma algébrica e indica em que quadrante do plano complexo se situa o seu afixo.

Dados os números complexos $z_1 = 4_{45^\circ}$ e $z_2 = 2_{120^\circ}$:

1. a) Antes de calcular, faz uma estimativa fundamentada: em que quadrante do plano complexo se encontrará o produto $z_1 \cdot z_2$? A sua distância à origem será maior ou menor do que a de $z_1$? Raciocina de forma semelhante para o quociente $\dfrac{z_1}{z_2}$.
2. b) Verifica as tuas estimativas calculando de forma exata o produto $z_1 \cdot z_2$ e o quociente $\dfrac{z_1}{z_2}$ na forma polar, reduzindo os argumentos ao intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
3. c) A partir do resultado do quociente, calcula o seu inverso $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^{-1}$ na forma polar e verifica se o seu módulo é $0,5$ e se o seu argumento coincide com o que obterias ao calcular diretamente $\dfrac{z_2}{z_1}$.

Resolve a equação $z^4 + 81 = 0$ no conjunto dos números complexos. Expressa as soluções na forma polar e representa-as graficamente no plano complexo (eixo real horizontal e eixo imaginário vertical).

Num circuito de corrente alternada, a impedância total $Z_T$ de dois componentes ligados em paralelo é calculada pela fórmula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Se as impedâncias dos componentes são $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ e $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, encontra a impedância total $Z_T$ na forma polar. Dica: passa para a forma binómica para realizares a soma.

Resolva a equação $z^3 = -8i$. Passe primeiro o número $-8i$ para a forma polar antes de calcular as raízes e exprima os resultados finais tanto na forma polar como na forma binómica.

Calcule o valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para isso, transforme primeiro a base para a forma polar, aplique a fórmula de De Moivre e apresente o resultado final na forma binómica.

Determine o menor número inteiro positivo $n$ para que o resultado de $(\sqrt{3} + i)^n$ seja um número real negativo.

Um drone de exploração submarina parte da origem e desloca-se em linha reta até ao ponto correspondente ao afixo do número complexo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (em quilómetros). Em seguida, o centro de controlo envia-lhe uma instrução que equivale a multiplicar a sua posição atual pelo complexo $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcule as coordenadas polares da sua posição final e explique que transformação geométrica sofreu em relação ao seu vetor de posição inicial.

Determine a área do triângulo cujos vértices são os afixos das raízes cúbicas do número complexo $z = 64_{90^\circ}$.

Efetue a seguinte operação com números complexos, expressando o resultado final na forma polar:

Para calcular a potência $(-\sqrt{3} + i)^6$, dois estudantes do 1.º ano de Bacharelato propõem caminhos diferentes:

• O Mateo propõe desenvolvê-la diretamente através do binómio de Newton: $\sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-\sqrt{3})^{6-k} i^k$.

• A Sofía propõe transformar a base para a forma polar, aplicar a fórmula de De Moivre e expressar o resultado final na forma algébrica.

1. a) Compara fundamentadamente ambos os métodos analisando o número de termos a calcular e a probabilidade de cometer erros de cálculo (sinais, potências de $i$, coeficientes binomiais).
2. b) Justifica qual é o método ideal e executa-o passo a passo para encontrar o resultado final exato na forma polar e na forma algébrica.
3. c) Se o expoente fosse $2$ em vez de $6$, o método da Sofía continuaria a ser claramente superior? Justifica a tua resposta comparando o esforço algébrico nesse caso.

Num parque eólico situado em Bragança, um aerogerador tem três pás de $60\text{ m}$ de comprimento dispostas simetricamente em torno do cubo central com uma desfasagem angular de $120^\circ$ entre si. Situamos a origem de coordenadas no centro do rotor e o ângulo $0^\circ$ na horizontal direita.

Num instante inicial, a extremidade da pá 1 localiza-se na posição $z_1 = 60_{40^\circ}$ (em metros).

1. a) Modela a posição das extremidades das pás 2 e 3 ($z_2$ e $z_3$) na forma polar nesse instante, explicando que operação com complexos na forma polar permite passar de uma pá para a seguinte.
2. b) Uma rajada de vento constante faz rodar o rotor $85^\circ$ no sentido anti-horário. Modela esta rotação através da multiplicação por um número complexo unitário e calcula a nova posição na forma polar de cada uma das três pás.
3. c) Após a rotação, determina fundamentadamente qual das três pás se encontra a maior altura relativamente ao solo (maior coordenada vertical) e calcula a referida altura relativamente ao eixo do rotor utilizando a forma trigonométrica.

Um radar de tráfego aéreo deteta três aviões cujas posições formam um triângulo equilátero centrado na torre de controlo (situada na origem das coordenadas). Se um dos aviões se encontra na posição descrita pelo número complexo $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (em quilómetros), determine a posição dos outros dois aviões na forma polar e calcule a distância em linha reta que separa dois aviões quaisquer.

Utilize a fórmula de De Moivre para desenvolver a potência $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir do resultado, igualando as partes reais e imaginárias, demonstre as identidades trigonométricas do ângulo triplo:

• $\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$

• $\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

Resolva a equação $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expresse as quatro soluções de $z$ na forma binómica.

No projeto do software de um braço robótico, a posição final do efetuador é calculada aplicando uma rotação e uma escala à sua posição inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$. Esta transformação equivale a multiplicar $z_0$ pela raiz cúbica do número complexo $W = 27_{150^\circ}$ que tem o seu argumento no primeiro quadrante. Determine a posição final do efetuador na forma polar e o ângulo total de rotação aplicado em relação à posição inicial.

Encontra dois números complexos $z_1$ e $z_2$ na forma polar sabendo que satisfazem simultaneamente as seguintes condições:

• O seu quociente $\frac{z_1}{z_2}$ é igual a $2_{150^\circ}$

• O seu produto $z_1 \cdot z_2$ é igual a $18_{90^\circ}$

Calcule a soma das seis raízes sextas da unidade ($z^6 = 1$). Justifique a sua resposta de duas formas distintas: algebricamente (utilizando a soma de uma progressão geométrica ou as propriedades das raízes) e geometricamente (interpretando os afixos como vetores).

Um sistema de criptografia gera chaves baseadas nas coordenadas dos afixos das soluções da equação $z^5 + 32 = 0$. Calcule todas as soluções na forma trigonométrica e determine o perímetro do polígono regular que elas formam.

Determine todos os números complexos $z$ expressos na forma polar que satisfazem a equação $z^3 = (\bar{z})^2$, onde $\bar{z}$ é o conjugado de $z$.

As soluções de uma equação binómia da forma $z^n = w$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$, $w \in \mathbb{C}$) determinam no plano complexo os vértices de um polígono regular centrado na origem de coordenadas.

Conhecem-se as seguintes três condições sobre este conjunto de soluções:

1. Uma das soluções é o número complexo $z_1 = \sqrt{3} + i$.

2. Outra das soluções encontra-se exatamente sobre o semieixo imaginário positivo (o seu argumento é $90^\circ$).

3. O polígono regular tem o menor número de lados possível ($n$) que satisfaz simultaneamente as duas condições anteriores.

1. a) Escreve $z_1$ na forma polar e deduz algebricamente o menor valor inteiro de $n$ compatível com o facto de uma das soluções ter argumento $90^\circ$.
2. b) Determina o valor exato do número complexo $w$ tanto na forma polar como na forma algébrica.
3. c) Escreve na forma polar todas as soluções da equação $z^n = w$, calculando o passo angular entre vértices consecutivos e verificando que $z_1$ e a solução sobre o semieixo imaginário fazem parte da lista.

Considera o número complexo $w = \dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$.

1. a) Antes de operar analiticamente, faz uma estimativa fundamentada:

• Compara os módulos do numerador e do denominador. A partir dessa comparação, deduz se os afixos das potências sucessivas $w, w^2, w^3, \ldots, w^n$ formarão uma espiral que se afasta da origem, uma que converge para a origem ou se se manterão sobre uma circunferência fixa.

• Analisa os argumentos do numerador e do denominador para estimar se é possível que exista uma potência $w^n$ (com $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$) cujo resultado seja um número real estritamente positivo. Esperas que o menor $n$ com essa propriedade seja um valor pequeno ou um múltiplo notável?

1. b) Verifica as tuas estimativas:

• Passa o numerador e o denominador para a forma polar e obtém a expressão exata de $w$ na forma polar.

• Aplica a fórmula de De Moivre para determinar de forma exata o menor inteiro positivo $n$ tal que $w^n$ seja um número real positivo, estabelecendo e resolvendo a condição sobre o argumento.

1. c) Para o referido valor mínimo de $n$, calcula o valor exato de $w^n$ e do seu inverso $(w^n)^{-1}$ na forma polar e algébrica, e avalia se o módulo obtido confirma a tua conjetura inicial sobre o afastamento relativamente à origem.

Desafio do tema. Desenha um relatório técnico sobre a resposta de uma instalação elétrica ligada à rede a partir de dados reais:

1. Consulta no site da REN (Rede Elétrica Nacional) a procura do sistema em tempo real (em GW) e toma os dois primeiros algarismos inteiros como valor de $k$ (por exemplo, se indicar $27{,}4$ GW, $k = 27$).

2. Modela a resposta do circuito com o polinómio de potência $P(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{k}{2}x^2 + 50x$. Encontra a derivada $P'(x)$, calcula a maior das frequências críticas positivas resolvendo $P'(x) = 0$ e arredonda o seu valor a duas casas decimais, ao qual chamarás $\omega$.

3. Define a impedância do circuito na forma algébrica como $Z = 4 + \omega i$ (em $\Omega$) e uma corrente de consumo $I = 3 - 2i$ (em A). Opera na forma algébrica para determinar a tensão complexa $V = Z \cdot I$.

4. Passa $Z$ e $I$ para a forma polar ($r_\alpha$). Realiza o produto em polar para recalcular $V$, verifica que ambos os resultados coincidem e representa no GeoGebra os três afixos vetoriais analisando a desfasagem angular entre corrente e tensão.

Entrega um relatório breve de uma página com os cálculos manuscritos e a captura do GeoGebra.

Será valorizado:

• Extração rigorosa do dado da REN e resolução algébrica correta da derivada $P'(x)$.

• Domínio e equivalência nas operações complexas tanto na forma algébrica como polar.

• Construção gráfica no GeoGebra e interpretação física coerente da desfasagem.