Exercícios: O método

Considera a função $f(x) = x^3 - x - 2$.

1. a) Calcula $f(1)$ e $f(2)$.
2. b) Tendo em conta que $f$ é contínua, o que podes concluir, pelo teorema de Bolzano, sobre a existência de um zero de $f$ no intervalo $]1, 2[$? Justifica.
3. c) Calcula $f(1{,}5)$ e usa o resultado para indicar um intervalo de amplitude $0{,}5$ onde se encontra esse zero.

Considera a função $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. a) Mostra que $f$ tem um zero no intervalo $]0, 1[$.
2. b) Aplica duas iterações do método da bissecção, apresentando os cálculos numa tabela com o intervalo, o ponto médio e o sinal de $f$ no ponto médio. Indica o intervalo onde se encontra o zero após essas duas iterações.
3. c) Indica um valor aproximado do zero e majora o erro cometido.

A equação $e^x + x = 3$ tem uma única solução. Considera a função $f(x) = e^x + x - 3$.

1. a) Calcula $f(0)$ e $f(1)$ e mostra que a solução da equação pertence ao intervalo $]0, 1[$.
2. b) Aplica três iterações do método da bisseção, registando os valores numa tabela (usa três casas decimais nos cálculos).
3. c) Indica uma aproximação da solução com erro inferior a $0{,}1$ e justifica a tua escolha.

Considera a função $f(x) = x - \cos x$ (com $x$ em radianos), definida no intervalo $[0, 1]$.

1. a) Mostra que $f$ tem um zero em $]0, 1[$.
2. b) Sabendo que, após $n$ iterações do método da bisseção num intervalo $[a, b]$, o erro da aproximação é inferior a $\frac{b - a}{2^n}$, determina quantas iterações são necessárias para garantir um erro inferior a $0{,}01$, partindo de $[0, 1]$.
3. c) Efetua três iterações do método da bisseção e indica o intervalo onde se encontra o zero.
4. d) Relaciona o número de iterações calculado em b) com o erro obtido após as três iterações de c) e comenta a eficiência do método.