Exercícios: A distribuição binomial

Uma nova aplicação de mensagens analisou que $30\,\%$ das mensagens enviadas contêm pelo menos um emoji. Se um estudante enviar uma sequência de $n = 6$ mensagens independentes para um grupo, identifique os parâmetros da distribuição binomial que a variável aleatória $X$: "número de mensagens que contêm emojis" segue e escreva a expressão da sua função de probabilidade $P(X = k)$.

Num videojogo de tiros na primeira pessoa, um jogador tem uma probabilidade de acerto no alvo de $80\,\%$ a cada disparo. Se realizar uma série de $n = 4$ disparos independentes, calcule a probabilidade exata de acertar em exatamente $3$ ocasiões utilizando a fórmula da distribuição binomial.

Sabe-se que $15\,\%$ dos subscritores de um canal de streaming cancelam a sua subscrição antes de terminar o primeiro mês. Se selecionarmos ao acaso $100$ novos subscritores, calcule o número esperado de cancelamentos (média) e o desvio padrão desta distribuição.

Um exame de tipo teste tem $5$ perguntas, cada uma com três opções de resposta das quais só uma é correta. Se um aluno responde ao acaso a todas as perguntas, calcula a probabilidade de não acertar nenhuma. Representa o problema através de um diagrama de árvore simplificado para as duas primeiras perguntas (indica em cada ramo se é acerto ou erro e a sua probabilidade).

Indique fundamentadamente quais das seguintes variáveis aleatórias seguem uma distribuição binomial:

1. Retirar $4$ cartas de um baralho, uma a uma, sem reposição, e contar o número de ases.

2. Lançar um dado equilibrado $10$ vezes e contar quantas vezes sai um número par.

3. Perguntar a $20$ pessoas de uma cidade a sua cor favorita entre uma lista de $5$ cores.

Numa rede social de fotografia, estimou-se que a probabilidade de um seguidor dar "gosto" numa publicação de um determinado influencer é $p = 0,25$. Se o influencer publicar um story e $8$ seguidores o virem de forma independente, calcule a probabilidade de receber pelo menos um "gosto".

Sugestão: Utilize o acontecimento contrário.

Um fabricante de auscultadores sem fios deteta que $2\,\%$ dos seus dispositivos saem de fábrica com um defeito de emparelhamento. Se forem embalados em caixas de $10$ unidades, qual é a probabilidade de uma caixa não conter nenhum auscultador defeituoso? Escreva apenas a expressão com os números combinatórios.

Dada uma variável aleatória discreta que segue uma distribuição $X \sim B(n=5, p=0,4)$, completa a seguinte tabela da sua função de massa de probabilidade para os valores indicados:

Num controlo de qualidade de uma fábrica de microchips em Aveiro, sabe-se que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é $p = 0,1$. Extrai-se uma amostra aleatória de $n = 5$ microchips independentes. O Mateo quer calcular a probabilidade de na amostra haver exatamente um microchip defeituoso e escreve no seu teste:

Ao rever o teste, o seu professor desconta-lhe cotação. O Mateo argumenta: «Só há um sucesso, por isso não há nada para permutar; o produto direto de probabilidades independentes já dá o resultado exato».

1. a) Explica por palavras tuas qual é o erro concetual do Mateo e por que razão a sua expressão corresponde unicamente a uma sequência ordenada concreta e não à variável aleatória binomial $X$.
2. b) Corrige o procedimento calculando o valor real de $P(X = 1)$ e determina a média $\mu$ e o desvio-padrão $\sigma$ do número de microchips defeituosos na amostra.

Um aluno apresenta-se a um teste de escolha múltipla de $n = 8$ perguntas independentes, com $4$ opções cada uma das quais apenas uma é correta ($p = 0,25$). Decide responder a todas ao acaso. Seja $X$ a variável aleatória que conta o número de perguntas acertadas.

1. a) Para calcular a probabilidade de acertar pelo menos duas perguntas ($P(X \geq 2)$), descreve dois métodos possíveis: um somando diretamente os casos favoráveis e outro utilizando o acontecimento contrário.
2. b) Justifica qual dos dois métodos exige realizar menos operações e calcula $P(X \geq 2)$ aplicando esse método mais eficiente.
3. c) Se a condição para passar no teste fosse obter pelo menos $7$ acertos ($P(X \geq 7)$), recomendarias o mesmo método que na alínea anterior? Justifica a tua resposta sem necessidade de realizar os cálculos numéricos.

Num popular videojogo de estratégia, a probabilidade de que um "baú de saque" contenha uma skin lendária é de $15\%$. Um jogador decide abrir um pacote de $8$ baús de forma consecutiva. Supondo que o conteúdo de cada baú é independente dos restantes:

1. a) Identifica os parâmetros da distribuição binomial que segue a variável aleatória $X$: "número de skins lendárias obtidas".

1. b) Calcula a probabilidade de que o jogador obtenha exatamente $2$ skins lendárias.

1. c) Qual é a probabilidade de que o jogador não obtenha nenhuma skin lendária em todo o pacote?

Um servidor de correio eletrónico utiliza um filtro avançado de segurança que deteta corretamente $92\%$ das mensagens do tipo phishing. Se durante uma manhã chegarem $12$ e-mails maliciosos à caixa de entrada de uma empresa:

1. a) Calcule a probabilidade de o filtro detetar pelo menos $11$ desses e-mails.
2. b) Calcule a probabilidade de o filtro falhar e deixar passar mais de um e-mail malicioso.
3. c) Quantos e-mails se espera que o filtro detete em média? Calcule também o desvio padrão da distribuição.

Uma jogadora de basquetebol da liga universitária tem uma percentagem de acerto em lances livres de $80\%$. Durante um jogo decisivo, são-lhe assinalados $10$ lances livres. Supõe que os lançamentos são independentes e que em cada um a probabilidade de acerto é a mesma.

1. a) Define a variável aleatória e a sua distribuição.

1. b) Calcula a probabilidade de ela acertar exatamente $8$ dos $10$ lançamentos.

1. c) Se, para ganhar o jogo, precisa de acertar pelo menos $9$ dos $10$ lançamentos, qual é a probabilidade de a sua equipa conseguir a vitória graças aos seus lançamentos?

Num estudo sobre mobilidade sustentável numa cidade portuguesa, observou-se que $25\%$ dos jovens entre $16$ e $18$ anos utilizam a trotinete elétrica para se deslocarem até à escola. Seleciona-se uma amostra aleatória de $6$ estudantes destas idades.

1. a) Construa a tabela da função massa de probabilidade da variável $X$: "número de estudantes que usam trotinete elétrica".
2. b) Qual é o número de sucessos mais provável (a moda da distribuição)?
3. c) Calcule a probabilidade de metade dos estudantes selecionados, ou mais, utilizarem este meio de transporte.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma empresa de fabrico de componentes eletrónicos sabe que a probabilidade de um condensador ser defeituoso é de $5\%$. Os condensadores são embalados em caixas para a sua distribuição.

1. a) Se uma caixa contém $20$ condensadores, qual é a probabilidade de encontrar exatamente um componente defeituoso?
2. b) Qual é a probabilidade de, numa caixa de $20$ unidades, haver pelo menos duas defeituosas?
3. c) Quantos condensadores deveria conter uma caixa, no mínimo, para que a probabilidade de encontrar pelo menos um defeituoso seja superior a $0,9$?

Estima-se que, numa determinada região, $30\%$ da população pertença ao grupo sanguíneo $O+$. Se forem escolhidas ao acaso $7$ pessoas para uma doação de sangue de emergência:

1. a) Qual é a probabilidade de exatamente $3$ delas serem do grupo $O+$?
2. b) Qual é a probabilidade de nenhuma das $7$ pessoas ser do grupo $O+$?
3. c) Sabendo que pelo menos uma das pessoas é do grupo $O+$, qual é a probabilidade de exatamente duas o serem? (Dica: utiliza a definição de probabilidade condicionada).

Um exame de escolha múltipla consiste em $15$ perguntas, cada uma com $4$ respostas possíveis, das quais apenas uma é correta. Um aluno que não estudou nada decide responder a todas as perguntas ao acaso.

1. a) Que distribuição segue a variável $X$: "número de respostas certas"? Indica os seus parâmetros.

1. b) Se para passar no exame é necessário responder corretamente a pelo menos $8$ perguntas, qual é a probabilidade de o aluno passar?

1. c) Calcula o valor esperado e explica o seu significado no contexto do problema.

Uma empresa farmacêutica afirma que um novo tratamento para a alergia sazonal tem uma eficácia de $75\%$. Administra-se o tratamento a um grupo de $9$ pacientes voluntários.

1. a) Calcule a probabilidade de o tratamento ser eficaz em exatamente $6$ pacientes.
2. b) Qual é a probabilidade de o tratamento falhar em mais de $2$ pacientes?
3. c) Se se considera que o tratamento é um sucesso empresarial se funcionar em pelo menos $7$ dos $9$ pacientes, qual é a probabilidade de alcançar esse sucesso?

De acordo com os estudos de hábitos ambientais em Portugal, $80\,\%$ dos lares de um município separa habitualmente as embalagens de plástico para reciclagem ($p = 0,8$). Seleciona-se uma amostra aleatória de $n = 10$ lares de forma independente. Define-se a variável $X$ como o número de lares da amostra que separam o plástico.

1. a) Calcula o valor esperado ou média $\mu = n \cdot p$. Antes de aplicar a fórmula da probabilidade binomial, responde de forma fundamentada: achas que a probabilidade de obter exatamente esse valor esperado, $P(X = 8)$, será muito alta (por exemplo, superior a $50\,\%$)? Argumenta a tua previsão tendo em conta que a variável pode tomar outros valores próximos.
2. b) Calcula com precisão $P(X = 8)$ utilizando a distribuição binomial e compara o resultado numérico com a tua estimativa prévia.
3. c) Calcula a probabilidade de a grande maioria da amostra (pelo menos $9$ lares) realizar a separação de resíduos e reflete se o resultado obtido concorda com o esperado para uma probabilidade de sucesso individual tão elevada.

A partir dos registos históricos do IPMA, estima-se que a probabilidade de chover num dia de outono em Viana do Castelo é de $p = 0,6$. Um grupo de turistas decide passar um fim de semana prolongado de $n = 4$ dias nessa cidade.

1. a) Modela a situação definindo a variável aleatória correspondente e analisa criticamente se, na realidade meteorológica, são satisfeitas estritamente as duas condições fundamentais do modelo binomial: a independência entre dias consecutivos e a constância da probabilidade $p$.
2. b) Supondo que o modelo binomial $B(4;\, 0,6)$ é uma aproximação válida, calcula a probabilidade de chover no máximo um dia durante a sua estadia.
3. c) Se o grupo considerar que a viagem terá sido meteorologicamente adversa caso chova $3$ ou mais dias, calcula a probabilidade de ocorrer essa circunstância.

Um servidor de armazenamento de dados na cloud utiliza um sistema de verificação de integridade para cada pacote de informação enviado. Sabe-se que a probabilidade de um pacote ser transmitido com sucesso, sem erros, é $p$. Se se enviarem 10 pacotes de forma independente, a probabilidade de que pelo menos um deles chegue com erros é de $0,65132$.

1. a) Determina o valor da probabilidade $p$ de sucesso na transmissão de um pacote.

1. b) Se se aumentar a segurança do canal e a probabilidade de erro por pacote se reduzir à quarta parte da original, qual é o número mínimo de pacotes que devem ser enviados para que a probabilidade de que todos cheguem sem erros seja inferior a $0,5$?

A figura mostra, de forma orientativa, como diminui com o canal melhorado a probabilidade de que todos os pacotes cheguem sem erros ao aumentar o número de pacotes $n$, e compara-a com o limiar $0,5$. O valor exato de $n$ deve ser obtido por cálculo.

Uma empresa de fabrico de componentes para drones realiza um controlo de qualidade rigoroso. Observou-se que o número de sensores defeituosos em lotes de 20 unidades segue uma distribuição binomial. Se o desvio padrão desta distribuição é exatamente de $1,2$ sensores:

1. a) Calcule os possíveis valores da probabilidade $p$ de um sensor ser defeituoso.

1. b) Se se sabe que a probabilidade de um sensor ser correto é maior do que a de ser defeituoso, calcule a probabilidade de, num lote de 20 unidades, haver exatamente 2 sensores defeituosos.

1. c) Para o valor de $p$ encontrado na alínea anterior, se um técnico revê os sensores um a um, qual é a probabilidade de o primeiro sensor defeituoso aparecer precisamente na quarta revisão?

Um algoritmo de inteligência artificial classifica imagens de satélite como "zona arborizada" ou "zona não arborizada". O algoritmo tem uma probabilidade $p$ de acerto. Num teste de desempenho com 15 imagens, sabe-se que a probabilidade de o algoritmo acertar em todas elas é a mesma que a probabilidade de falhar nas 15.

1. a) Justifique, sem realizar cálculos complexos, qual deve ser o valor de $p$.

1. b) Calcule a probabilidade de o algoritmo cometer mais de 12 erros numa série de 15 imagens.

1. c) Se o programador afirma que o valor esperado do número de acertos é 12, qual seria o novo valor de $p$? Com este novo valor, qual é a probabilidade de o algoritmo acertar em pelo menos 14 imagens?

Numa rede social de microblogging, estima-se que $15\%$ das contas sejam "bots". Um investigador seleciona aleatoriamente um grupo de contas para o seu estudo.

1. a) Qual é o tamanho mínimo do grupo de contas que deve selecionar para assegurar, com uma probabilidade superior a $95\%$, que encontrará pelo menos uma conta que seja um bot?

1. b) Se o pesquisador decidir finalmente selecionar um grupo de 12 contas, qual é a probabilidade de o número de bots encontrados estar a uma distância da média inferior a um desvio padrão?

Lançam-se 5 moedas viciadas nas quais a probabilidade de sair cara é $p$ (a mesma para todas e com lançamentos independentes). Sabe-se que a probabilidade de obter 3 caras é exatamente 10 vezes a probabilidade de obter 5 caras.

1. a) Determina o valor de $p$.

1. b) Calcula a probabilidade de obter um número par de caras (incluindo o zero).

Um sistema de comunicação transmite bits ($0$ ou $1$). Devido ao ruído, cada bit tem uma probabilidade $\epsilon = 0,02$ de ser recebido incorretamente. Para melhorar a fiabilidade, utiliza-se um código de repetição: cada bit de informação é enviado 5 vezes e o recetor decide o valor do bit por maioria (se receber três ou mais "1", decide que foi enviado um "1").

1. a) Se for enviado um "1", qual é a probabilidade de o receptor decidir incorretamente que foi enviado um "0"?

1. b) Se for transmitida uma mensagem de 10 bits de informação (cada um protegido pelo código de repetição de 5 bits), calcule a probabilidade de a mensagem completa ser recebida sem erros.

1. c) Calcule a esperança e a variância do número de bits de informação recebidos corretamente na mensagem de 10 bits.

Num processo de produção de ecrãs OLED, a probabilidade de um ecrã ter um pixel morto é $p$. Os ecrãs são embalados em caixas de 10 unidades. Observou-se que $20\%$ das caixas não têm nenhum ecrã com pixels mortos.

1. a) Calcule o valor de $p$.

1. b) Numa amostra de 5 caixas, qual é a probabilidade de pelo menos 2 caixas conterem exatamente um ecrã com pixels mortos?

Uma aplicação de entregas garante a entrega em menos de 30 minutos. A probabilidade de um estafeta cumprir esta garantia é $p=0,9$. Um estafeta realiza 20 entregas num dia de trabalho.

1. a) Calcule a probabilidade de o número de entregas dentro do prazo ser superior a 17, sabendo que pelo menos 16 foram entregues dentro do prazo.

1. b) Se o custo para a empresa por cada entrega fora do prazo for de $5$ euros e o lucro por cada entrega dentro do prazo for de $2$ euros, calcule a esperança matemática do lucro total do entregador após as 20 entregas.

1. c) Determine a probabilidade de o lucro total ser positivo.

Numa operação noturna da Guarda Nacional Republicana (GNR) numa autoestrada portuguesa, estima-se que a probabilidade de um condutor acusar positivo num teste de alcoolemia é de $p = 0,04$. As paragens de veículos são consideradas ensaios independentes.

1. a) Apresenta uma inequação e determina o número mínimo de condutores, $n$, que devem ser fiscalizados para que a probabilidade de detetar pelo menos um infrator seja igual ou superior a $0,95$. Presta especial atenção ao isolamento algébrico ao dividir por logaritmos.
2. b) O responsável da operação afirma: «Se duplicarmos o número de controlos realizados em relação ao mínimo obtido na alínea anterior, a probabilidade de não detetar nenhum condutor positivo reduzir-se-á exatamente a metade». Demonstra algebricamente se esta afirmação é verdadeira ou falsa analisando a expressão geral de $P(X = 0)$ em função de $n$.

Numa central de energia fotovoltaica, uma máquina inspeciona painéis solares. Sabe-se que o número de células defeituosas por painel segue uma distribuição binomial $X \equiv B(n, p)$. Após um estudo estatístico preliminar sobre um lote muito amplo, constata-se que o número médio de células defeituosas por painel é $\mu = 3$ e o desvio-padrão é $\sigma = 1,5$.

1. a) Deduz algebricamente os parâmetros $n$ (número total de células inspecionadas por painel) e $p$ (probabilidade de defeito de cada célula) a partir das expressões teóricas da média e da variância numa distribuição binomial.
2. b) Sofia, técnica da central, afirma que, como a média é $3$, o acontecimento $X = 3$ deve ser o mais provável de todos e a sua probabilidade deve ultrapassar os $40\,\%$. Calcula $P(X = 3)$, compara-a com $P(X = 2)$ e $P(X = 4)$, e fundamenta se $k = 3$ é efetivamente a moda da distribuição e por que razão a probabilidade real dista tanto da intuição de Sofia.
3. c) Para se candidatar a uma certificação técnica, a fábrica deve garantir que a probabilidade de encontrar no máximo uma célula defeituosa num painel seja de, pelo menos, $90\,\%$. Mantendo o tamanho do painel $n = 12$ obtido na primeira alínea, escreve a inequação que a nova probabilidade de defeito $p'$ deve verificar e justifica, através de um limite superior ou de uma aproximação fundamentada, se um processo de melhoria que reduza a taxa de defeito para $p' = 0,01$ permitiria cumprir com folga essa exigência.

Desafio do tema. Vai chover na tua viagem de finalistas? Modela o clima local através de uma distribuição binomial. Imagina que coordenas uma estadia de $n = 8$ dias na tua região e deves avaliar o risco meteorológico.

1. Dado real: Consulta no site da AEMET (valores climatológicos normais) os dias de chuva do mês da tua viagem na tua estação mais próxima e calcula a probabilidade $p$ de que num dia qualquer chova (exemplo: $p = 0,25$).

2. Definição do modelo: Define a variável aleatória discreta $X$ que conta os dias chuvosos e justifica formalmente se cumpre as condições para ser uma $B(n, p)$.

3. Cálculo e tecnologia: No GeoGebra ou numa folha de cálculo, elabora a tabela com a função de probabilidade $P(X = k)$ e a função de distribuição acumulada $F(k)$ para todo o $k \in \{0, 1, \dots, 8\}$. Obtém e interpreta os parâmetros $\mu$ e $\sigma$, e inclui o diagrama de barras.

4. Relatório de decisão: Em meia página, responde: qual é a probabilidade de ter pelo menos $3$ dias de chuva? Aconselharias a contratação de um seguro de cancelamento?

Será valorizado:

• Justificação adequada da variável aleatória e das hipóteses binomiais.

• Precisão no cálculo de probabilidades, função de distribuição, $\mu$ e $\sigma$.

• Uso correto do GeoGebra ou folha de cálculo para gerar tabelas e gráficos.

• Rigor argumentativo na interpretação contextualizada dos resultados.