Exercícios: Otimização de funções

Determina dois números reais positivos cuja soma seja exatamente $60$ e tais que o seu produto seja o maior possível.

Na figura, o segmento de comprimento $60$ é repartido em duas partes, $x$ e $y$. O ponto de repartição está desenhado num lugar qualquer: não indica a solução.

Um jovem pecuarista dispõe de $120$ metros de vedação para vedar um recinto retangular destinado ao pastoreio. Aproveitando que um dos lados do recinto será um muro de pedra já existente, só precisa de vedar os outros três lados. Calcule as dimensões do recinto para que a área vedada seja máxima.

Lança-se verticalmente para cima uma pequena sonda meteorológica. A altura $h$ (em metros) que a sonda atinge em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão $h(t) = -5t^2 + 40t + 1,5$.

Em que instante atingirá a sonda a sua altura máxima? Qual será essa altura?

Uma empresa de tecnologia determinou que o lucro mensal $B$ (em milhares de euros) pela venda de um novo modelo de auscultadores sem fios depende do número de unidades fabricadas $x$ (em centenas) segundo a função $B(x) = -2x^2 + 32x - 40$.

Determina o número de unidades que devem ser fabricadas em cada mês para maximizar o lucro e calcula o valor desse lucro máximo.

Um estúdio de design gráfico quer criar um cartão de felicitações retangular que contenha exatamente $32 \text{ cm}^2$ de superfície impressa. Se não forem consideradas margens, quais deveriam ser as dimensões do cartão para que o perímetro seja mínimo e, assim, poupar no corte do papel?

O número de "gostos" de uma publicação de uma famosa "influencer" durante as primeiras $10$ horas segue a função $L(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas ($0 \le t \le 10$). Determine em que momento a publicação atinge o seu maior sucesso (número máximo de gostos) e quantos gostos obtém nesse instante.

Pretende-se construir uma caixa aberta (sem tampa) a partir de uma folha de cartão quadrada de $30 \text{ cm}$ de lado. Para isso, corta-se um quadrado de lado $x$ em cada um dos cantos e dobram-se as abas para cima. Exprima o volume da caixa em função de $x$ e determine o valor de $x$ para que o volume da caixa seja máximo.

Divida o número $12$ em duas parcelas positivas tais que a soma dos seus quadrados seja mínima.

O Marcos tem de resolver o seguinte problema de otimização: «Pretende-se construir uma caixa aberta sem tampa a partir de uma peça quadrada de cartão com $30\text{ cm}$ de lado, recortando quatro quadrados iguais de lado $x$ em cada um dos cantos e dobrando as abas para cima. Encontra o valor de $x$ que maximiza o volume da caixa».\nO Marcos escreve no seu exame:\n1. Volume: $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.\n2. Derivada: $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 0 \implies x^2 - 20x + 75 = 0$, cujas soluções são $x = 15$ e $x = 5$.\n3. Conclusão do Marcos: «O volume máximo obtém-se para $x = 15\text{ cm}$ porque $15 > 5$».\n\na) Identifica e explica os dois erros concetuais cometidos pelo Marcos: um relativo ao domínio físico da variável $x$ e outro relativo ao critério para classificar máximos e mínimos com a derivada.\nb) Corrige o exercício seguindo os cinco passos: define o domínio físico admissível, classifica adequadamente os pontos críticos através do sinal de $V''(x)$ ou de $V'(x)$, e calcula as dimensões da caixa e o seu volume máximo.

Um agricultor do concelho de Montemor-o-Velho dispõe de um muro de pedra retilíneo com $30\text{ m}$ de comprimento e conta com $50\text{ m}$ de rede metálica para vedar uma horta retangular. Quer encostar a horta ao muro existente, de modo que o lado apoiado no muro não necessite de rede, mas o seu comprimento $y$ não pode ultrapassar os $30\text{ m}$ de muro disponível. Os outros três lados serão fechados com os $50\text{ m}$ de rede.\n\na) Estima: Antes de realizares qualquer cálculo analítico, responde intuitivamente: achas que conviria aproveitar os $30\text{ m}$ inteiros de muro para «poupar» a maior quantidade possível de rede, ou será preferível deixar parte do muro livre para conseguir uma forma mais quadrada? Propõe uma estimativa fundamentada da área máxima que esperas obter.\nb) Calcula: Exprime a área do recinto $A(x)$ em função do comprimento $x$ dos dois lados perpendiculares ao muro. Determina o domínio de definição da função tendo em conta a restrição física do muro ($y = 50 - 2x \le 30$). Calcula o valor de $x$ que anula a primeira derivada e classifica-o.\nc) Verifica e reflete: Encontra as dimensões ótimas definitivas e a área máxima. Compara o resultado com a tua estimativa inicial e argumenta por que razão a intuição de esgotar sempre a totalidade do muro disponível se revela enganadora neste caso.

Um canil/gatil recebeu uma doação de $120$ metros de rede metálica para construir dois recintos retangulares contíguos destinados a cães e gatos. Os recintos devem partilhar um lado comum, como mostra a figura, para aproveitar ao máximo o material. Determine as dimensões da estrutura exterior ($x$ e $y$) para que a área total vedada seja máxima.

Uma plataforma de streaming está a analisar a sua política de preços para um novo plano premium. Atualmente, tem $10\,000$ assinantes que pagam $12$ € por mês. Um estudo de mercado indica que, por cada euro que se reduza no preço da assinatura, $1\,000$ novos utilizadores se registarão. Por outro lado, por cada euro que aumente no preço, perderão-se $1\,000$ utilizadores. Sabendo que os custos fixos de manutenção são de $20\,000$ € por mês e que cada assinante gera um custo de gestão de $2$ €, qual o preço da assinatura mensal que maximizará o lucro líquido da plataforma?

Um estúdio de design gráfico quer criar uma caixa de embalagem promocional a partir de uma cartolina quadrada de $24$ cm de lado. Para isso, corta-se um quadrado de lado $x$ em cada um dos cantos e dobram-se as abas para cima para formar uma caixa sem tampa. Determine o valor de $x$ para que a capacidade da caixa seja a maior possível.

Num jogo eletrónico de estratégia, uma unidade de exploração encontra-se no ponto $A(0, 5)$ de um mapa coordenado. Existe um caminho cuja trajetória segue a forma da parábola $y = x^2$. Os programadores precisam de calcular os pontos exatos do caminho que se encontram à menor distância da unidade para ativar um acontecimento de proximidade. Determine as coordenadas desses pontos.

Uma empresa química precisa de fabricar reservatórios cilíndricos fechados com capacidade de $16 \pi$ metros cúbicos. O material utilizado para as bases (superior e inferior) tem um custo de $5$ € por metro quadrado, enquanto o material para a superfície lateral é mais leve e custa $2$ € por metro quadrado. Calcule o raio da base e a altura do cilindro que minimizam o custo total de fabrico de cada reservatório.

Pretende-se desenhar um painel publicitário com forma de triângulo isósceles inscrito numa semicircunferência de raio $R = 6$ metros. Um dos seus vértices está no centro $O$ da semicircunferência, e os outros dois vértices estão sobre o arco, unidos por uma corda $b$ (a base) paralela ao diâmetro. Chama $h$ à altura do triângulo, isto é, à distância de $O$ à base, com $0 < h < 6$.

Determina as dimensões do triângulo (base e altura) para que a área da superfície publicitária seja máxima.

Uma página de um livro de arte deve ter uma área total de $600$ $cm^2$. As margens superior e inferior devem ser de $3$ cm cada uma, e as margens laterais de $2$ cm cada uma. Determine as dimensões da página (largura e altura) para que a área da zona impressa (onde ficam o texto e as imagens) seja máxima.

Numa serralharia, deve-se cortar uma viga de aço com secção transversal retangular a partir de um tronco cilíndrico de $40$ cm de diâmetro. A resistência mecânica $R$ dessa viga é proporcional ao produto da largura $x$ pelo quadrado da altura $y$, ou seja, $R = k \cdot x \cdot y^2$ (onde $k$ é uma constante de resistência do material). Encontre as dimensões $x$ e $y$ que a viga deve ter para que a sua resistência seja máxima.

Uma empresa de logística opera uma rota diária de ida e volta entre Madrid e Zaragoza pela autoestrada A-2, com um percurso total de $640\text{ km}$. A velocidade média de cruzeiro $v$ (em $\text{km/h}$) deve ser constante durante o trajeto e, devido aos limites de trânsito de veículos comerciais e à fluidez da via, deve situar-se no intervalo $[70, 110]$.\nO consumo de combustível da carrinha (em litros de gasóleo por cada $100\text{ km}$) depende da velocidade de acordo com a função empírica $C(v) = 5,5 + 0,00075\cdot v^2$. O preço do gasóleo na rota é de $1,45\text{ \euro{}/L}$. Além disso, a empresa contabiliza um custo operacional e salarial do motorista de $19\text{ \euro{}}$ por cada hora de viagem.\n\na) Modela a função de custo total do trajeto, $K(v)$, somando o custo do combustível consumido e o custo horário da mão de obra em função da velocidade $v$.\nb) Encontra a velocidade média que minimiza o custo total da viagem. Justifica rigorosamente que se trata de um mínimo relativo analisando o sinal da segunda derivada $K''(v)$.\nc) Avalia e compara o custo total nos extremos do domínio legal ($v = 70\text{ km/h}$ e $v = 110\text{ km/h}$) face ao mínimo encontrado, e indica o custo total ótimo da viagem.

Pretende-se determinar o ponto $P(x, y)$ da parábola $y = x^2$ que se encontra à menor distância possível do ponto exterior $A(0, 2)$. Para o resolver, colocam-se três métodos possíveis:\n- Método 1: Definir a distância euclidiana $d(x) = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2-2)^2}$ e derivar diretamente a raiz com a regra da cadeia.\n- Método 2: Minimizar a função auxiliar $f(x) = [d(x)]^2 = x^2 + (x^2-2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4$.\n- Método 3: Encontrar o ponto $P(x, x^2)$ exigindo que o vetor $\vec{AP} = (x, x^2 - 2)$ seja perpendicular ao vetor diretor da reta tangente à parábola em $P$, isto é, $\vec{AP} \cdot (1, 2x) = 0$.\n\na) Justifica formalmente por que razão o Método 2 garante exatamente os mesmos pontos críticos e extremos que o Método 1, explicando por que se torna algebricamente preferível.\nb) Aplica o Método 2 para encontrar os candidatos a mínimo, classifica-os através do sinal de $f''(x)$ e descarta os que não correspondam à distância mínima.\nc) Resolve através do Método 3 e verifica que a equação obtida é idêntica à do Método 2. Qual dos três métodos escolherias num exame nacional por rapidez e menor risco de erro de cálculo? Dá as coordenadas dos pontos mais próximos e a distância mínima.

Pretende-se projetar uma cápsula para um novo medicamento que tem a forma de um cilindro circular reto prolongado nas suas extremidades por dois hemisférios com o mesmo raio do cilindro. Por razões de estabilidade química, o volume total da cápsula deve ser exatamente $36\pi \text{ mm}^3$. O material utilizado para as extremidades hemisféricas é 50% mais caro por unidade de área do que o material utilizado para a parte cilíndrica. Determine as dimensões da cápsula (raio $r$ e comprimento da parte cilíndrica $h$) que minimizam o custo total de fabrico.

Um drone de vigilância deve deslocar-se desde uma base situada no ponto $A(0, 4)$ até um objetivo no ponto $B(10, 0)$, onde as coordenadas estão expressas em quilómetros. O terreno está dividido em duas zonas pela reta $y = 2$. Na zona superior ($y > 2$), devido às condições de vento, o drone pode voar a uma velocidade de $60 \text{ km/h}$. Na zona inferior ($y \leq 2$), o drone pode atingir os $100 \text{ km/h}$. Formula a função que modela o tempo total do trajeto e a equação que determina o ponto sobre a linha divisória pelo qual o drone deve cruzar para que esse tempo seja mínimo (não é necessário resolvê-la).

Uma empresa de logística está a construir um armazém com uma área de $400 \text{ m}^2$. O armazém deve ter forma retangular e estar dividido em dois setores por um muro interno paralelo a um dos seus lados laterais. O custo dos muros externos é de $120 \text{ €}$ por metro linear, enquanto o muro interno, por ser menos resistente, custa $80 \text{ €}$ por metro linear. Determine as dimensões do armazém que tornam o custo dos muros o menor possível.

Deseja-se instalar um painel solar retangular numa parede que tem a forma de um triângulo isósceles, com uma base de $6 \text{ m}$ e uma altura de $4 \text{ m}$. O painel deve ser colocado de forma que a sua base esteja sobre a base do triângulo e os seus dois vértices superiores toquem os lados iguais do triângulo. No entanto, devido à estrutura da parede, o painel tem uma eficiência que varia com a sua altura, de modo que a energia total gerada é dada pela função $E = A \cdot (5 - h)$, onde $A$ é a área do painel e $h$ a sua altura. Encontra as dimensões do painel que maximizam a energia gerada.

Considera a função $f(x) = \frac{1}{x^2}$ para $x > 0$. Traça-se uma reta tangente ao gráfico desta função num ponto genérico $P(a, f(a))$. Esta reta tangente forma, juntamente com os eixos coordenados no primeiro quadrante, um triângulo retângulo. Determina se existe algum valor de $a$ para o qual a área desse triângulo seja mínima e, em caso afirmativo, calcula o valor dessa área.

Um fabricante de latas de conserva quer criar uma nova embalagem cilíndrica com um volume de $500 \text{ cm}^3$. O material da tampa e da base custa $0,02 \text{ €/cm}^2$, enquanto o material da lateral custa $0,01 \text{ €/cm}^2$. Além disso, para reforçar a estrutura, deve colocar-se uma tira metálica em redor da junção da tampa com a lateral e outra em redor da base, com um custo de $0,05 \text{ €/cm}$ de tira. Calcule o raio e a altura da lata que minimizam o custo total de produção.

Dois pontos $A$ e $B$ estão situados no mesmo lado de uma reta $r$. O ponto $A$ está a uma distância de $3 \text{ km}$ da reta e o ponto $B$ a $6 \text{ km}$. A distância entre as projeções de $A$ e $B$ sobre a reta $r$ é de $12 \text{ km}$. Pretende-se encontrar um ponto $C$ na reta $r$ tal que a soma dos quadrados das distâncias de $C$ até $A$ e de $C$ até $B$ seja mínima. Demonstre que esse ponto coincide com o ponto médio da projeção de $AB$ sobre a reta.

Dispomos de um pedaço de cabo de $20 \text{ metros}$ de comprimento. Queremos cortá-lo em dois pedaços (não necessariamente iguais) para formar com um deles um quadrado e com o outro um triângulo equilátero. Como devemos fazer o corte para que a soma das áreas de ambas as figuras seja máxima? E para que seja mínima? Justifique a resposta analisando os extremos do intervalo de definição da variável.

Uma cooperativa agrícola encomenda o projeto de um silo vertical para cereais composto por um cilindro circular reto de raio $r$ e altura $h$, fechado na sua base inferior por um fundo plano circular de raio $r$, e rematado na sua parte superior por uma cúpula semiesférica de raio $r$. Por requisitos de resistência, os custos de fabrico por metro quadrado são:\n- Fundo plano inferior: $20\text{ \euro{/m}}^2$.\n- Parede cilíndrica lateral: $30\text{ \euro{/m}}^2$.\n- Cúpula semiesférica: $k\text{ \euro{/m}}^2$ (onde $k$ é um custo unitário positivo fixado pela oficina de curvatura).\n\nA equipa de engenheiros estabelece como critério de projeto que, seja qual for o volume de cereal fixado $V_0 > 0$ que o silo deva albergar, as dimensões ótimas $(r, h)$ que tornem mínimo o custo total devem cumprir obrigatoriamente a relação estética e estrutural $h = 2r$.\n\na) Escreve a função de custo total $C(r)$ em função unicamente do raio $r$ e das constantes $k$ e $V_0$, utilizando a restrição do volume total do silo ($V_0 = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$).\nb) Deriva a função $C(r)$ em ordem a $r$ e impõe a condição de ponto crítico $C'(r) = 0$.\nc) Determina que valor exato deve ter o preço por metro quadrado $k$ da semiesfera para que a condição ótima coincida com $h = 2r$. Demonstra analiticamente que este valor de $k$ não depende do volume $V_0$ escolhido.\nd) Verifica através do sinal de $C''(r)$ que a solução encontrada corresponde efetivamente a um mínimo absoluto do custo.

A Rede Elétrica Nacional projeta a linha de escoamento de energia a partir de uma subestação marítima $S$ pertencente a um parque eólico na costa a norte de Viana do Castelo. A subestação $S$ localiza-se no mar, a $6\text{ km}$ de distância perpendicular à linha de costa reta no ponto $A$. A subestação recetora terrestre $B$ está situada na mesma linha de costa, a $15\text{ km}$ de distância de $A$.\nA linha elétrica irá pelo fundo marinho desde $S$ até um ponto de desembarque $P$ situado na costa entre $A$ e $B$ (a uma distância $x$ de $A$, com $0 \le x \le 15$), e continuará sob a terra desde $P$ até $B$ ao longo da costa. O custo de instalação do cabo submarino é de $1,5\text{ milhões de euros/km}$ e o do cabo terrestre é de $0,9\text{ milhões de euros/km}$.\n\na) Modela a função de custo total $C(x)$ em milhões de euros e define o seu domínio físico $[0, 15]$.\nb) Calcula a posição de $P$ (valor de $x$) que minimiza o custo total e justifica que se trata do mínimo absoluto comparando o valor obtido com os extremos do intervalo fechado.\nc) Se $\theta$ representa o ângulo que o traçado submarino $SP$ faz com a perpendicular à costa, demonstra que no ponto ótimo se satisfaz exatamente a Lei de Snell: $\frac{\sin \theta}{c_{\text{terra}}} = \frac{1}{c_{\text{mar}}}$, sendo $c_{\text{mar}} = 1,5$ e $c_{\text{terra}} = 0,9$.\nd) Problema de transferência e limiar: Supõe que o custo submarino se reduz para um valor genérico $c$ (mantendo o terrestre em $0,9\text{ milhões/km}$). Determina a partir de que valor crítico de $c$ deixará de existir um ponto de desembarque intermédio $P \in (0, 15)$ e será mais económico instalar o cabo diretamente em linha reta pelo mar desde $S$ até $B$. Justifica o teu raciocínio estudando o sinal de $C'(x)$ no extremo superior do domínio.

Desafio do tema. Como gere o nosso país a sua rede elétrica? Vais prestar consultoria a uma cooperativa energética analisando a procura elétrica real de Portugal continental.

1. Obtenção e modelação: Entra no portal E-REDES ou REN Data Hub (Redes Energéticas Nacionais) e descarrega os dados de procura horária ($24\text{ h}$) de um dia recente. No GeoGebra ou numa folha de cálculo, representa a nuvem de pontos e realiza um ajuste polinomial para obter $D(t)$ (com $0 \le t \le 24$).

2. Curvatura e otimização: Utiliza a primeira derivada para calcular e classificar os picos e vales de consumo diário ($D'(t) = 0$). Determina a segunda derivada $D''(t)$, estuda os intervalos de concavidade/convexidade e determina os pontos de inflexão, explicando o que representam relativamente ao ritmo de aceleração do consumo.

3. Integral e proposta: Calcula a energia total consumida no dia através do integral definido $E = \int_{0}^{24} D(t)\,dt$. Redige um relatório breve (uma página) que inclua o gráfico obtido e uma proposta justificada de discriminação horária (horas de vazio e de ponta) para incentivar a poupança.

Será valorizado:

• Rigor no ajuste analítico dos dados reais com o GeoGebra ou a folha de cálculo.

• Correção e justificação matemática dos extremos, curvatura, pontos de inflexão e integração.

• Interpretação contextualizada do significado físico das derivadas e viabilidade da proposta final.