Exercícios: Energia mecânica e tipo de movimento

A energia potencial gravítica de uma massa $m$ a uma distância $r$ do centro de um planeta de massa $M$ é $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$. A figura mostra o gráfico de $E_p$ em função de $r$.

1. a) Explica que convenção de origem das energias é adotada nesta expressão: em que posição a energia potencial é nula?
2. b) Com essa convenção, justifica por que razão a energia potencial de um satélite ligado à Terra é sempre negativa.

Uma sonda de $m = 800\ \text{kg}$ encontra-se a $r = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ do centro da Terra. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Observa o esquema:

1. a) Calcula a sua energia potencial gravítica, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$, e exprime-a em notação científica.
2. b) Explica o significado físico do sinal negativo do resultado.

Um satélite encontra-se primeiro a $r_1 = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ do centro da Terra e depois passa para $r_2 = 1,4\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Sem efetuar cálculos numéricos, justifica com base na fórmula $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$ em qual das duas posições a sua energia potencial é maior.
2. b) Em qual das duas posições o satélite está mais ligado à Terra? Justifica a partir do sinal e do valor de $E_p$.

A velocidade de escape a partir da superfície de um planeta de massa $M$ e raio $R$ é $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$. Dados da Terra: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Observa o esquema:

1. a) Calcula a velocidade de escape a partir da superfície terrestre.
2. b) Exprime o resultado em $\text{km/s}$.

Dados da Lua: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ e $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula a velocidade de escape a partir da superfície da Lua com $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$.
2. b) Sabendo que na Terra é de cerca de $11,2\ \text{km/s}$, justifica por que razão descolar da Lua requer muito menos energia do que descolar da Terra.

Um satélite em órbita circular em torno da Terra tem uma energia cinética $E_c = 2\cdot10^{9}\ \text{J}$. Em órbita circular cumpre-se $E_p = -2\cdot E_c$ e $E_m = E_c + E_p$. O esquema resume as três energias:

1. a) Calcula a sua energia potencial e a sua energia mecânica.
2. b) Verifica que a energia mecânica é negativa e explica o que isso significa para o movimento do satélite.

Três sondas espaciais têm, em relação ao Sol, energias mecânicas $E_{m,A} = -3\cdot10^{9}\ \text{J}$, $E_{m,B} = 0\ \text{J}$ e $E_{m,C} = +2\cdot10^{9}\ \text{J}$. A figura mostra os três tipos de trajetória possíveis em torno do Sol:

1. a) Indica que tipo de trajetória descreve cada uma (fechada, parabólica ou hiperbólica) e justifica a partir do sinal da sua energia mecânica.
2. b) Qual delas acabará por se afastar indefinidamente do Sol chegando ao infinito com velocidade nula?

Dados de Marte: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$ e $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula a velocidade de escape a partir da superfície de Marte com $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$.
2. b) A velocidade de escape depende da massa do corpo que escapa? Justifica a tua resposta a partir da fórmula, pensando em duas naves, uma de $10^{3}\ \text{kg}$ e outra de $10^{5}\ \text{kg}$.

A Estação Espacial Internacional, de massa $m = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, orbita a cerca de $400\ \text{km}$ de altitude, isto é, a $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ do centro da Terra. A velocidade de um satélite em órbita circular é $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Observa o esquema:

1. a) Calcula a sua velocidade orbital.
2. b) Calcula a sua energia cinética e a sua energia potencial, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
3. c) Calcula a sua energia mecânica e verifica que cumpre $E_m = -E_c$.

Um satélite de investigação tem uma energia potencial $E_{p,0} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$ quando está na superfície terrestre. Dados: $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. A figura mostra o gráfico de $E_p(r)$:

1. a) Escreve a equação $E_p(r) = \frac{E_{p,0}}{2}$ e calcula a que distância do centro da Terra a energia potencial do satélite é igual a metade do seu valor à superfície.
2. b) A que altura acima da superfície corresponde essa distância? Exprime o resultado como múltiplo do raio terrestre.

Uma nave já se encontra em órbita a uma altura igual a um raio terrestre, isto é, a $r = 2\cdot R_T$ do centro da Terra, com $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a velocidade de escape a partir dessa posição, $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M_T}{r}}$.
2. b) Sabendo que a partir da superfície é $11,2\ \text{km/s}$, calcula o quociente entre ambas as velocidades e relaciona esse fator com a distância ao centro da Terra.

Um satélite de $m = 1000\ \text{kg}$ passa de uma órbita circular de raio $r_1 = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ para outra de raio $r_2 = 1,4\cdot10^{7}\ \text{m}$, o dobro. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Observa o esquema:

1. a) Calcula a sua energia mecânica em cada órbita, $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Justifica, a partir do resultado, se na órbita mais alta o satélite está mais ou menos ligado à Terra.
3. c) Calcula a sua velocidade orbital em cada caso com $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$ e verifica que ao subir de órbita o satélite se move mais devagar.

Uma sonda de $m = 800\ \text{kg}$ encontra-se a $r = 10^{9}\ \text{m}$ do centro da Terra, afastando-se com uma velocidade de $v = 4\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a sua energia cinética nessa posição.
2. b) Calcula a sua energia potencial gravítica.
3. c) Determina a sua energia mecânica e indica, justificando, se a sonda escapará à atração terrestre ou se acabará por regressar.

Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; Marte: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$ e $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; a velocidade de escape terrestre é $11,2\ \text{km/s}$.

1. a) Calcula a velocidade de escape a partir da superfície de Marte e exprime-a em $\text{km/s}$.
2. b) Quantas vezes maior é a velocidade de escape terrestre do que a marciana?
3. c) A energia cinética mínima de escape é $E_c = \frac{1}{2}\cdot m\cdot v_e^2$: justifica, utilizando os resultados anteriores, quantas vezes mais energia por quilograma é necessária para escapar da Terra do que de Marte.

Um meteorito encontra-se muito longe da Terra, praticamente em repouso, e cai em direção a ela. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Escreve a conservação da energia mecânica entre o infinito (onde $E_c = 0$ e $E_p = 0$) e a superfície terrestre.
2. b) Calcula a velocidade com que atinge a superfície.
3. c) Explica por que razão o resultado coincide numericamente com a velocidade de escape terrestre.

Um satélite de navegação descreve uma órbita circular de raio $r = 2,96\cdot10^{7}\ \text{m}$ em torno da Terra e a sua energia mecânica é $E_m = -2,69\cdot10^{9}\ \text{J}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Isola a massa do satélite na expressão $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$ e calcula-a.
2. b) Calcula a sua energia potencial tendo em conta que $E_p = 2\cdot E_m$.
3. c) Calcula a sua energia cinética.

A partir da superfície terrestre lança-se verticalmente uma sonda de pequenas dimensões com velocidade inicial $v_0 = 5\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, sem propulsão posterior (lançamento balístico). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa o esquema:

1. a) Escreve a conservação da energia mecânica entre a superfície e o ponto de altura máxima (onde a velocidade é nula).
2. b) Calcula a distância máxima ao centro da Terra atingida pela sonda e a altura correspondente acima da superfície.
3. c) Justifica, a partir da equação obtida, o que acontece à altura máxima quando $v_0$ se aproxima da velocidade de escape, $11,2\ \text{km/s}$.
4. d) Explica por que razão não seria correto resolver o problema com a expressão $E_p = m\cdot g\cdot h$ supondo $g$ constante.

Uma sonda parte da superfície terrestre com velocidade $v_0 = 1,2\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, superior à velocidade de escape ($11,2\ \text{km/s}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Verifica numericamente que $v_0$ é maior do que a velocidade de escape terrestre.
2. b) Aplica a conservação da energia mecânica para calcular a velocidade com que a sonda chegará ao infinito (velocidade residual).
3. c) Indica que tipo de trajetória a sonda descreve em relação à Terra e justifica a resposta a partir do sinal da sua energia mecânica.

Um pequeno corpo celeste aproxima-se da Lua com uma velocidade, quando ainda está muito longe dela, de $v_\infty = 2\cdot10^{3}\ \text{m/s}$. Dados da Lua: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ e $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Aplica a conservação da energia mecânica para calcular a velocidade com que colidirá com a superfície lunar.
2. b) Compara o resultado com o de um corpo que caísse a partir do repouso (velocidade de escape lunar, $2,37\ \text{km/s}$) e exprime o quociente entre ambas as velocidades.
3. c) A Lua não tem atmosfera: explica porque razão na Lua praticamente qualquer corpo que se aproxime acaba por colidir, enquanto na Terra muitos meteoroides não chegam ao solo.

A sonda Voyager 1 abandonou o Sistema Solar aproveitando o movimento orbital dos planetas. Dados do Sol: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; distância média Terra-Sol: $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Observa o esquema:

1. a) Calcula a velocidade de escape da atração do Sol a partir de uma distância igual ao raio da órbita terrestre.
2. b) Calcula a velocidade orbital da Terra em torno do Sol, supondo a sua órbita circular, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_S}{r}}$.
3. c) Determina que velocidade adicional necessita uma sonda que já acompanha a Terra na sua órbita para escapar do Sol, e explica por que razão convém lançá-la na direção e sentido do movimento orbital terrestre.

Um satélite de $m = 600\ \text{kg}$ descreve uma órbita elíptica de transferência com semieixo maior $a = 2,45\cdot10^{7}\ \text{m}$ em torno da Terra. A energia mecânica de uma órbita elíptica é $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot a}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. A órbita é apresentada na figura.

1. a) Calcula a energia mecânica do satélite nessa órbita.
2. b) Calcula a energia mecânica que teria numa órbita circular de raio igual a $a$ e compara ambos os resultados.
3. c) Utilizando a conservação da energia mecânica e a expressão de $E_p$, justifica em que ponto da elipse (perigeu, o mais próximo da Terra, ou apogeu, o mais afastado) a velocidade do satélite é máxima.

Dois satélites, de massas $m_1 = 500\ \text{kg}$ e $m_2 = 2000\ \text{kg}$, partilham a mesma órbita circular de raio $r = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ em torno da Terra. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a velocidade orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, e explica por que razão é a mesma para ambos os satélites, embora as suas massas sejam diferentes.
2. b) Calcula a energia cinética e a energia mecânica de cada satélite.
3. c) Se os dois satélites se acoplassem formando um único corpo na mesma órbita, justifica o que aconteceria à sua velocidade orbital e à energia mecânica total do conjunto.

O cometa Halley, de massa aproximada $m = 2\cdot10^{14}\ \text{kg}$, passa pelo ponto mais afastado da sua órbita (afélio), a $r = 5,24\cdot10^{12}\ \text{m}$ do Sol, com uma velocidade de $9,1\cdot10^{2}\ \text{m/s}$. O objeto interestelar 1I/'Oumuamua, de massa estimada $m = 10^{8}\ \text{kg}$, move-se muito longe do Sol a $2,6\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, onde a energia potencial solar é praticamente nula. Dados: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula a energia mecânica do Halley em relação ao Sol e classifica a sua trajetória.
2. b) Calcula a energia mecânica de 'Oumuamua e classifica a sua trajetória.
3. c) Relaciona os resultados com as observações: o Halley regressa ao Sol a cada $76$ anos aproximadamente, enquanto 'Oumuamua, que nos visitou em 2017, nunca mais voltará.

A velocidade orbital de um satélite em órbita circular rasante (raio $r \approx R$) é $v_{orb} = \sqrt{\frac{G\cdot M}{R}}$, e a velocidade de escape a partir da superfície é $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$. Observa o esquema:

1. a) Demonstra que $v_e = \sqrt{2}\cdot v_{orb}$ e calcula ambos os valores para a Terra ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Um foguetão com o motor ligado de forma contínua pode escapar da Terra sem nunca atingir os $11,2\ \text{km/s}$: explica por que razão o conceito de velocidade de escape se refere unicamente a um lançamento balístico (impulso inicial único, sem propulsão posterior) e o que acontece energeticamente quando o motor continua a fornecer energia durante a subida.