Exercícios: As leis da dinâmica

Um comboio de alta velocidade circula num troço retilíneo com velocidade constante de $300\ \text{km/h}$.

1. a) Quanto vale a aceleração do comboio nesse troço?
2. b) Aplicando a primeira lei da dinâmica, quanto vale a resultante das forças que atua sobre o comboio?
3. c) Se a força propulsora dos motores vale $5 \cdot 10^{4}\ \text{N}$, quanto vale a força de atrito total que se opõe ao avanço? Justifica.

No laboratório, aplica-se uma força resultante de $24\ \text{N}$ a um carrinho de dinâmica de $3\ \text{kg}$ que se move sobre uma calha horizontal.

1. a) Escreve a expressão da lei fundamental da dinâmica, $\sum \vec{F} = m \cdot \vec{a}$, e isola a aceleração.
2. b) Calcula o valor da aceleração do carrinho.

Um operador deixa um contentor de $10\ \text{kg}$ sobre uma rampa de carga que faz $30^\circ$ com a horizontal (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 30^\circ = 0,5$ e $\cos 30^\circ \approx 0,87$). A figura mostra o contentor sobre a rampa.

1. a) Calcula o peso do contentor.
2. b) Calcula a componente do peso paralela à rampa, $P_x = P \cdot \sen 30^\circ$.
3. c) Calcula a componente perpendicular, $P_y = P \cdot \cos 30^\circ$, e indica que força do plano a equilibra.

Um caixote de $5\ \text{kg}$ repousa sobre o chão horizontal de uma oficina. O coeficiente de atrito entre o caixote e o chão é $\mu = 0,4$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula a força normal que o chão exerce sobre o caixote.
2. b) Calcula a força de atrito quando o caixote desliza, $F_r = \mu \cdot N$.
3. c) Se se empurrar o caixote com uma força horizontal de $20\ \text{N}$, este mover-se-á com velocidade constante? Justifica a resposta.

Um taco atinge uma bola de basebol exercendo sobre ela uma força de $200\ \text{N}$ para a frente. O esquema mostra o instante do impacto.

1. a) Enuncia a lei da ação-reação.
2. b) Que força exerce a bola sobre o taco? Indica o seu módulo, direção e sentido.
3. c) Explica por que razão, tendo as duas forças a mesma intensidade, a bola sai disparada e o taco quase não altera o seu movimento.

Um candeeiro de $4\ \text{kg}$ está suspenso em repouso por um cabo fixado ao teto (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$). A figura mostra o candeeiro suspenso pelo cabo.

1. a) Desenha no teu caderno as forças que atuam sobre o candeeiro e indica que corpo exerce cada uma.
2. b) Calcula a tensão do cabo.
3. c) Se o cabo apenas suportar uma tensão máxima de $100\ \text{N}$, qual é a massa máxima do candeeiro que se pode suspender?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O motor de uma trotineta elétrica exerce uma força resultante de $40\ \text{N}$. O esquema compara as duas situações.

1. a) Calcula a aceleração quando circula apenas a trotineta, de $20\ \text{kg}$ de massa.
2. b) Calcula a aceleração quando transporta uma mochila e a massa total é de $40\ \text{kg}$.
3. c) Explica, a partir de $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$, por que razão, ao duplicar a massa, a aceleração se reduz para metade.

Sobre um caixote de $4\ \text{kg}$ no cais de carga atuam duas forças horizontais na mesma linha de ação: $30\ \text{N}$ para a direita e $18\ \text{N}$ para a esquerda. A figura mostra o caixote com ambas as forças.

1. a) Calcula a resultante das forças sobre o caixote, indicando o seu sentido.
2. b) Calcula a aceleração do caixote.
3. c) Que força adicional teria de ser aplicada para que o caixote se movesse com velocidade constante? Justifica com a primeira lei da dinâmica.

Um operador empurra um carrinho de oficina de $8\ \text{kg}$ com uma força horizontal de $52\ \text{N}$. O coeficiente de atrito com o chão é $\mu = 0,5$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$). A figura mostra as forças que atuam sobre o carrinho.

1. a) Calcula a força normal e a força de atrito.
2. b) Calcula a força resultante horizontal sobre o carrinho.
3. c) Calcula a sua aceleração.

Numa experiência de laboratório, deixa-se cair um carrinho de $2\ \text{kg}$ por um plano inclinado $30^\circ$, com atrito desprezável (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 30^\circ = 0,5$ e $\cos 30^\circ \approx 0,87$).

1. a) Calcula as componentes do peso paralela e perpendicular ao plano.
2. b) Calcula a aceleração do carrinho.
3. c) Se parte do repouso, calcula o tempo que demora a percorrer $10\ \text{m}$ pelo plano e a velocidade que tem no final (usa $x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$ e $v = a \cdot t$).

Um trenó de salvamento de $40\ \text{kg}$ desce uma encosta com neve de $37^\circ$ com um coeficiente de atrito $\mu = 0,5$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$). A figura mostra o trenó na encosta com as forças que atuam sobre ele.

1. a) Calcula a componente do peso paralela à encosta.
2. b) Calcula a normal e a força de atrito.
3. c) Calcula a aceleração do trenó e verifica que não depende da sua massa: desceria com a mesma aceleração um trenó carregado e um vazio? Justifica porquê.

Para arrastar um carrinho de jardim de $10\ \text{kg}$ puxa-se uma corda com uma força de $100\ \text{N}$ que faz $37^\circ$ com a horizontal. O coeficiente de atrito com o chão é $\mu = 0,25$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$). A figura mostra o carrinho e a corda.

1. a) Decompõe a força da corda nas suas componentes horizontal e vertical.
2. b) Tendo em conta que a corda «alivia» um pouco o carrinho para cima, calcula a força normal e a força de atrito.
3. c) Calcula a força resultante horizontal e a aceleração do carrinho.

Numa roldana ideal de laboratório estão suspensas duas massas, $m_1 = 3\ \text{kg}$ e $m_2 = 5\ \text{kg}$, ligadas por um fio inextensível (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$). Sendo o fio inextensível, ambas as massas movem-se com a mesma aceleração $a$, e a tensão $T$ é a mesma ao longo de todo o fio. A figura mostra a montagem da roldana.

1. a) Desenha no teu caderno as forças que atuam sobre cada massa.
2. b) Escreve a lei fundamental para cada massa: $T - m_1 \cdot g = m_1 \cdot a$ para a que sobe e $m_2 \cdot g - T = m_2 \cdot a$ para a que desce.
3. c) Soma as duas equações para eliminar $T$ e calcula a aceleração do sistema.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma locomotiva de brinquedo de $2\ \text{kg}$ puxa dois vagões, de $2\ \text{kg}$ e $4\ \text{kg}$, unidos por engates, exercendo uma força de tração de $24\ \text{N}$ (considera o atrito desprezável). A composição do comboio é, da frente para a cauda: locomotiva, vagão de $2\ \text{kg}$ e vagão de $4\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a aceleração do conjunto.
2. b) Aplicando o princípio fundamental apenas ao vagão de $4\ \text{kg}$, que é o último, calcula a tensão do engate entre os dois vagões.
3. c) Calcula a tensão do engate entre a locomotiva e o primeiro vagão e explica por que razão é maior do que a da alínea anterior.

Uma pessoa de $60\ \text{kg}$ pesa-se numa balança dentro de um elevador (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$). A figura mostra a pessoa sobre a balança.

1. a) Quanto marca a balança com o elevador em repouso?
2. b) O elevador arranca para cima com uma aceleração de $1,5\ \text{m/s}^2$. Aplica a lei fundamental na vertical, $N - P = m \cdot a$, e calcula a indicação da balança.
3. c) O peso real da pessoa variou? Explica que grandeza é que se alterou.

Para mover uma caixa de mudanças de $20\ \text{kg}$ pelo chão, o coeficiente de atrito estático é $\mu_e = 0,5$ e o cinético, $\mu_d = 0,4$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula a força horizontal mínima necessária para iniciar o movimento da caixa.
2. b) Calcula a força horizontal necessária para a manter em movimento com velocidade constante.
3. c) Explica, face aos resultados, por que razão custa mais fazer a caixa «arrancar» do que mantê-la em movimento.

Uma encomenda de $4\ \text{kg}$ desliza a partir do topo de uma rampa de um armazém que faz $37^\circ$ com a horizontal. O coeficiente de atrito é $\mu = 0,25$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$).

1. a) Desenha no teu caderno as forças que atuam sobre a encomenda e calcula o valor de cada uma.
2. b) Calcula a aceleração com que desce.
3. c) Se a rampa tiver $8\ \text{m}$ de comprimento e a encomenda partir do repouso, calcula a velocidade com que chega ao fundo e o tempo que demora (usa $v^2 = 2 \cdot a \cdot x$ e $v = a \cdot t$).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um bloco de $6\ \text{kg}$ está sobre uma mesa horizontal, ligado por um fio que passa por uma roldana ideal a outro bloco de $4\ \text{kg}$ suspenso. O coeficiente de atrito entre o primeiro bloco e a mesa é $\mu = 0,25$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$). A figura mostra a montagem.

1. a) Desenha no teu caderno as forças que atuam sobre cada bloco.
2. b) Calcula a força de atrito sobre o bloco que está na mesa.
3. c) Formula a lei fundamental da dinâmica para cada bloco, tendo em conta que ambos têm a mesma aceleração $a$ e que a tensão $T$ é a mesma ao longo de todo o fio, e calcula o valor de $a$.
4. d) Calcula a tensão do fio.

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Um carro telecomandado de $2\ \text{kg}$ move-se em linha reta. A sua velocidade evolui da seguinte forma: de $t = 0$ a $t = 4\ \text{s}$ passa de $0$ a $8\ \text{m/s}$ uniformemente; de $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$ mantém a velocidade de $8\ \text{m/s}$; de $t = 10\ \text{s}$ a $t = 14\ \text{s}$ trava uniformemente até parar.

1. a) Representa o gráfico velocidade-tempo no teu caderno.
2. b) Calcula a aceleração de cada um dos três troços.
3. c) Aplicando a lei fundamental, calcula a força resultante sobre o carro em cada troço e indica o seu sentido.
4. d) No segundo troço a força resultante é nula: explica se isso significa que o motor não exerce nenhuma força.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Para determinar o coeficiente de atrito entre uma tábua e um bloco, inclina-se a tábua gradualmente e observa-se que, quando esta faz $37^\circ$ com a horizontal, o bloco desce com velocidade constante (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$).

1. a) Desenha no teu caderno as forças que atuam sobre o bloco e explica por que razão a força resultante é nula.
2. b) Escreve as equações de equilíbrio na direção do plano e na direção perpendicular a este.
3. c) Deduz que nessas condições $\mu = \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ e calcula o valor de $\mu$.
4. d) Prevê, através do respetivo cálculo, a aceleração que o bloco teria nessa mesma rampa se o coeficiente de atrito fosse $\mu = 0,5$.

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Um carrinho de $2\ \text{kg}$ é lançado para cima ao longo de um plano inclinado $37^\circ$ com uma velocidade inicial de $8\ \text{m/s}$. O coeficiente de atrito cinético é $\mu_d = 0,25$ e o estático é $\mu_e = 0,5$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$). A figura mostra o carrinho no instante do lançamento.

1. a) Desenha no teu caderno as forças sobre o carrinho enquanto sobe (atenção: o atrito opõe-se ao movimento) e calcula a sua aceleração.
2. b) Calcula a distância percorrida até parar e o tempo que demora (usa $v^2 = v_0^2 - 2 \cdot a \cdot x$ e $v = v_0 - a \cdot t$).
3. c) Uma vez parado no topo, o carrinho volta a descer? Compara a componente do peso paralela ao plano com a força de atrito estático máxima e justifica a resposta.

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Na máquina de Atwood do laboratório suspendem-se as massas $m_1 = 2\ \text{kg}$ e $m_2 = 6\ \text{kg}$ de um fio inextensível que passa por uma roldana ideal (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Desenha no teu caderno as forças que atuam sobre cada massa.
2. b) Formula o sistema de duas equações com as incógnitas $a$ e $T$, e resolve-o: calcula a aceleração do sistema e a tensão do fio.
3. c) Verifica que a tensão é maior do que o peso de $m_1$ e menor do que o peso de $m_2$, e explica por que razão tem de ser assim enquanto o sistema está a acelerar.

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Um aluno calcula a aceleração de um bloco de $3\ \text{kg}$ que desce sem atrito por um plano inclinado $30^\circ$ e escreve: «como a única força é o peso, $a = \frac{F}{m} = \frac{m \cdot g}{m} = g = 10\ \text{m/s}^2$» (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$ e $\sen 30^\circ = 0,5$).

1. a) Identifica os dois erros do raciocínio: que força foi esquecida e qual é a componente do peso que realmente acelera o bloco.
2. b) Calcula a aceleração correta do bloco.
3. c) Calcula a força resultante real sobre o bloco e compara-a com o seu peso.

Um contentor de $5\ \text{kg}$ encontra-se numa rampa de $37^\circ$ num porto de carga, ligado por um cabo que passa por uma roldana ideal a um contrapeso de $5\ \text{kg}$ que fica suspenso verticalmente. O coeficiente de atrito entre o contentor e a rampa é $\mu = 0,2$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$). A figura mostra a montagem da rampa com o contrapeso.

1. a) Desenha no teu caderno as forças que atuam sobre o contentor e sobre o contrapeso.
2. b) Calcula a componente do peso do contentor paralela à rampa e a força de atrito, e justifica em que sentido o sistema se move.
3. c) Calcula a aceleração do sistema.
4. d) Calcula a tensão do cabo.

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