Exercícios: Dualidade onda-corpúsculo: De Broglie e efeito fotoelétrico

A luz produz figuras de interferência e de difração, como qualquer onda, mas ao colidir com um metal arranca eletrões como se fosse um feixe de partículas (os fotões).

1. a) Explica por palavras tuas em que consiste a dualidade onda-corpúsculo da luz.
2. b) Refere um fenómeno que só se explique com o comportamento ondulatório e outro que só se explique com o comportamento corpuscular.
3. c) Em $1924$, De Broglie alargou a ideia à matéria: que hipótese colocou sobre os eletrões e outras partículas?

Um laser dermatológico emite luz com frequência de $f = 4,5\cdot10^{14}\ \text{Hz}$. A energia de um fotão é $E_{fotón} = h\cdot f$, com $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula a energia de cada fotão.
2. b) Se aumentarmos a intensidade do laser sem alterar a sua frequência, a energia de cada fotão aumenta? O que aumenta na realidade?

Um apontador laser emite luz verde de comprimento de onda $\lambda = 550\ \text{nm}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula a sua frequência, $f = \frac{c}{\lambda}$.
2. b) Calcula a energia de cada fotão, $E_{fotón} = h\cdot f$.

No laboratório, uma placa de zinco carregada negativamente é ligada a um eletroscópio. Ao iluminá-la com luz ultravioleta, o eletroscópio descarrega-se; com luz vermelha muito intensa, não. A figura mostra a montagem.

1. a) O que é o efeito fotoelétrico?
2. b) O que são fotoeletrões?
3. c) Explica, com a ideia de que a luz é constituída por fotões, por que razão a luz vermelha não descarrega a placa, por mais intensa que seja.

Os candeeiros de iluminação pública de vapor de sódio emitem luz de $\lambda_{Na} = 589\ \text{nm}$ e um LED azul emite a $\lambda_{az} = 470\ \text{nm}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. A figura compara as duas ondas.

1. a) Calcula a energia de um fotão de cada tipo de luz.
2. b) Qual dos dois fotões é mais energético? Quantas vezes mais?

Toda a partícula tem associado um comprimento de onda de De Broglie, $\lambda = \frac{h}{m\cdot v}$, com $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. Uma bola de ténis de $58\ \text{g}$ sai de um serviço a $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula o seu comprimento de onda de De Broglie.
2. b) Compara o resultado com o tamanho de um átomo ($10^{-10}\ \text{m}$) e explica por que razão esta onda não tem qualquer consequência observável.

Num tubo de raios catódicos, os eletrões movem-se a $v = 10^{6}\ \text{m/s}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e massa do eletrão $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o comprimento de onda de De Broglie associado a cada eletrão, $\lambda = \frac{h}{m_e\cdot v}$.
2. b) Compara o resultado com o tamanho típico de um átomo ($10^{-10}\ \text{m}$) e comenta por que razão a onda associada ao eletrão é relevante no mundo atómico.

No efeito fotoelétrico, cada metal tem uma função de trabalho $W$ (também chamada trabalho de extração) e uma frequência de limiar $f_0$ que satisfazem $W = h\cdot f_0$.

1. a) Explica o que significa a função de trabalho: que energia representa?
2. b) O que é a frequência de limiar e o que acontece quando a luz incidente tem $f < f_0$?
3. c) Se $f > f_0$, em que se converte a energia excedente do fotão após extrair o eletrão?

Um laser de fibra ótica para telecomunicações emite a $\lambda = 1,55\ \mu\text{m}$ com uma potência de $10\ \text{mW}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula a energia de cada fotão.
2. b) Calcula quantos fotões o laser emite por segundo (lembra-te de que a potência é a energia emitida por unidade de tempo).

Uma célula fotoelétrica de potássio tem uma função de trabalho $W = 2,3\ \text{eV}$ e é iluminada com luz ultravioleta de $\lambda = 250\ \text{nm}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. A figura mostra o esquema do processo.

1. a) Exprime a função de trabalho em joules.
2. b) Calcula a energia de cada fotão da luz ultravioleta.
3. c) Aplica $E_{fotón} = W + E_{c,máx}$ e calcula a energia cinética máxima dos fotoeletrões, em joules e em eletrões-volt.

O detetor de luz de um telescópio utiliza uma célula de césio, cuja função de trabalho é $W = 2,1\ \text{eV}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula a frequência de limiar do césio, $f_0 = \frac{W}{h}$.
2. b) Calcula o comprimento de onda de limiar, $\lambda_0 = \frac{c}{f_0}$.
3. c) Uma luz vermelha de $\lambda = 650\ \text{nm}$ arrancará eletrões? Calcula-o comparando energias e fundamenta a resposta.

Sobre uma placa de cálcio, com função de trabalho $W = 2,9\ \text{eV}$, incide luz de $\lambda = 350\ \text{nm}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula a energia do fotão em joules e exprime-a em eletrão-volts.
2. b) Determina se ocorre emissão de fotoeletrões.
3. c) Em caso afirmativo, calcula a energia cinética máxima dos eletrões emitidos.

Numa experiência de microscopia eletrónica, um eletrão tem uma energia cinética de $100\ \text{eV}$. Dados: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Exprime a sua energia cinética em joules.
2. b) Calcula a sua velocidade a partir de $E_c = \frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v^2$.
3. c) Calcula o seu comprimento de onda de De Broglie.

Num acelerador, um eletrão e um protão movem-se com a mesma velocidade, $v = 10^{5}\ \text{m/s}$. Dados: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ e $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula o comprimento de onda de De Broglie do eletrão.
2. b) Calcula o do protão.
3. c) Calcula o quociente $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ e explica, a partir da fórmula de De Broglie, por que razão, para a mesma velocidade, a partícula com maior massa tem menor comprimento de onda associado.

O painel solar de um satélite recebe $200\ \text{W}$ de potência luminosa do Sol. Por simplificação, supõe que toda a luz tem $\lambda = 550\ \text{nm}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula a energia de cada fotão.
2. b) Calcula quantos fotões chegam ao painel em cada segundo.
3. c) Se, com a mesma potência, a luz fosse mais vermelha (maior $\lambda$), chegariam mais ou menos fotões por segundo? Justifica a resposta com a fórmula $E_{fotón} = \frac{h\cdot c}{\lambda}$.

Para uma determinada experiência de difração é necessário que os eletrões tenham um comprimento de onda de De Broglie de $1\ \text{nm}$. Dados: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Isola a velocidade de $\lambda = \frac{h}{m_e\cdot v}$ e calcula com que velocidade se devem mover.
2. b) Calcula a energia cinética que transportam, em joules e em eletrão-volts.

Um metal com função de trabalho $W = 2,25\ \text{eV}$ é iluminado com luz de $\lambda = 300\ \text{nm}$. Os fotoeletrões são travados com uma diferença de potencial até que nem o mais rápido consiga chegar ao coletor (potencial de paragem $V_f$, com $E_{c,máx} = e\cdot V_f$). Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. A figura mostra a montagem com o potencial de paragem.

1. a) Calcula a energia do fotão e a energia cinética máxima dos fotoeletrões, em eletrão-volts.
2. b) Calcula o potencial de paragem.
3. c) Repete o cálculo com luz de $\lambda = 250\ \text{nm}$: como variam a energia cinética máxima e o potencial de paragem?
4. d) Explica por que razão duplicar a intensidade da luz, sem alterar o seu comprimento de onda, não altera o potencial de paragem, embora aumente o número de fotoeletrões.

Um grupo de laboratório mede o efeito fotoelétrico num metal e obtém dois dados: com luz de frequência $f_1 = 6,0\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ não há emissão alguma (é a frequência de limiar) e com $f_2 = 1,0\cdot10^{15}\ \text{Hz}$ os fotoeletrões saem com $E_{c,máx} = 2,65\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. A figura mostra os dois dados da experiência.

1. a) Calcula a função de trabalho do metal a partir de $W = h\cdot f_1$ e exprime-a em eletrão-volts.
2. b) Representa mentalmente $E_{c,máx}$ em função de $f$: usando $E_{c,máx} = h\cdot f - W$, calcula o declive da reta com os dois pontos e verifica que coincide com o valor de $h$.
3. c) Prevê, sem voltar a medir, a energia cinética máxima para luz de $f = 1,2\cdot10^{15}\ \text{Hz}$.
4. d) Explica que grandeza representa a ordenada na origem da reta (interseção com o eixo vertical) e por que razão é negativa.

Uma placa de zinco, com função de trabalho $W = 4,3\ \text{eV}$, é iluminada alternadamente com luz vermelha de $650\ \text{nm}$ e com luz ultravioleta de $250\ \text{nm}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula a energia de cada tipo de fotão e determina, justificando, que luz produz emissão.
2. b) Para a luz que produz emissão, calcula a energia cinética máxima dos fotoeletrões e o potencial de paragem correspondente.
3. c) Se multiplicarmos por mil a intensidade da luz vermelha, conseguiremos arrancar eletrões do zinco? Explica a resposta com o modelo do fotão: em que diferem mil fotões vermelhos de um ultravioleta?
4. d) Se aumentarmos a intensidade da luz ultravioleta, o que se altera e o que não se altera na emissão?

Uma célula de césio, com função de trabalho $W = 2,1\ \text{eV}$, é iluminada com luz de $\lambda = 400\ \text{nm}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula a energia cinética máxima dos fotoeletrões, em joules.
2. b) Calcula a velocidade desses eletrões mais rápidos.
3. c) Calcula o comprimento de onda de De Broglie associado a esses eletrões.
4. d) Os planos atómicos de um cristal estão separados cerca de $10^{-10}\ \text{m}$: justifica se esse cristal poderia atuar como rede de difração para estes eletrões e que evidência forneceria uma experiência de difração de eletrões num cristal.

Num microscópio eletrónico de transmissão, os eletrões são acelerados com uma diferença de potencial $V = 10\ \text{kV}$, de modo que adquirem uma energia cinética $E_c = e\cdot V$ (despreza as correções relativistas). Dados: $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula a energia cinética que cada eletrão adquire, em joules.
2. b) Calcula a sua velocidade.
3. c) Calcula o seu comprimento de onda de De Broglie.
4. d) O poder de resolução de um microscópio melhora quanto menor for o comprimento de onda utilizado: compara o comprimento de onda obtido com o da luz visível ($\lambda \approx 500\ \text{nm}$) e explica por que razão o microscópio eletrónico consegue observar vírus e o ótico não.

Uma célula fotovoltaica recebe $5\ \text{mW}$ de luz de $\lambda = 600\ \text{nm}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcula quantos fotões chegam à célula em cada segundo.
2. b) Supondo que cada fotão liberta um eletrão que chega ao circuito externo, calcula a corrente máxima teórica (a corrente é a carga que passa por segundo).
3. c) Na prática, a corrente é menor: indica duas razões que expliquem a diferença.
4. d) Se a célula recebesse a mesma potência mas de luz de $\lambda = 400\ \text{nm}$, a corrente máxima teórica seria maior, menor ou igual? Justifica a resposta fazendo a contagem de fotões.

Uma bola de ténis de $58\ \text{g}$ sai de um serviço a $40\ \text{m/s}$; num acelerador, um eletrão move-se a $10^{6}\ \text{m/s}$. Dados: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o comprimento de onda de De Broglie da bola e o do eletrão.
2. b) Para observar difração, a fenda deve ter dimensões comparáveis ao comprimento de onda: indica que largura de fenda seria necessária em cada caso.
3. c) Os planos de um cristal estão separados cerca de $10^{-10}\ \text{m}$: justifica qual dos dois corpos pode sofrer difração num cristal.
4. d) Conclui por que razão os efeitos ondulatórios dos corpos macroscópicos não são observáveis na prática, apoiando-te nos valores numéricos anteriores.

Numa experiência de fenda dupla com eletrões, estes movem-se a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, as fendas estão separadas por $d = 0,5\ \mu\text{m}$ e o alvo (ecrã) está a $L = 1\ \text{m}$. A distância entre máximos consecutivos da figura é $\Delta y = \frac{\lambda\cdot L}{d}$. Dados: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. A figura mostra a montagem da fenda dupla.

1. a) Calcula o comprimento de onda de De Broglie dos eletrões.
2. b) Calcula a distância entre máximos no ecrã e exprime-a em milímetros.
3. c) Se os eletrões forem enviados um a um, com o tempo forma-se igualmente a figura de interferência: explica o que significa este resultado quanto à dualidade onda-corpúsculo e quanto ao caráter probabilístico da física quântica.
4. d) Prevê o que acontece à distância entre máximos se os eletrões forem acelerados para o dobro da velocidade.