Exercícios: Energia e potencial elétrico

Uma pequena esfera do laboratório tem uma carga $Q = 3\,\mu\text{C}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula o potencial elétrico a $0,5\ \text{m}$ da esfera, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Indica o sinal do potencial e justifica em que local se convenciona $V = 0$.

O potencial elétrico é uma grandeza escalar; o campo elétrico, vetorial.

1. a) Explica que diferença prática isto acarreta ao somar, num ponto, as contribuições de várias cargas.
2. b) O potencial num ponto pode ser negativo? Dá um exemplo.
3. c) Que sinal tem o potencial criado por uma carga positiva?

Uma carga $q = 2\,\mu\text{C}$ encontra-se num ponto onde o potencial é $V = 1000\ \text{V}$.

1. a) Calcula a sua energia potencial elétrica, $E_p = q \cdot V$.
2. b) Se a carga, que é positiva, se movesse espontaneamente para um ponto de menor potencial, justifica se a sua energia potencial aumentaria ou diminuiria.

A partir da expressão do trabalho $W = q \cdot \Delta V$:

1. a) Deduz a equivalência $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$.
2. b) Explica o que significa haver entre os polos de uma bateria de automóvel uma diferença de potencial de $12\ \text{V}$, em termos da energia de cada coulomb de carga que a atravessa.
3. c) Indica quais destas expressões equivalem a um volt: $\text{J/C}$; $\text{N/C}$; $\text{J}\cdot\text{C}$.

Uma carga $q = 5\,\mu\text{C}$ desloca-se de um ponto A, com potencial $V_A = 200\ \text{V}$, até um ponto B, com $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Calcula o trabalho realizado pelo campo elétrico, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Justifica, a partir do sinal do resultado, se o campo «empurra» espontaneamente a carga nesse sentido do deslocamento.

Na física de partículas utiliza-se muito o eletrão-volt: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (dado: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Exprime em joules uma energia de $3\ \text{eV}$.
2. b) Justifica a equivalência anterior calculando, com $W = q \cdot \Delta V$, a energia que um eletrão ganha ao ser acelerado por uma diferença de potencial de $1\ \text{V}$.

Duas cargas pontuais $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 2\,\mu\text{C}$ estão separadas por $0,3\ \text{m}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula a energia potencial elétrica do sistema, $E_p = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}$.
2. b) Interpreta o sinal do resultado: ao afastar as cargas até ao infinito, é necessário fornecer energia ou esta é libertada? Relaciona-o com o facto de as cargas se repelirem.

Entre o interior e o exterior de uma célula existe uma diferença de potencial de cerca de $70\ \text{mV}$, sendo o interior negativo (dado: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). A figura mostra o esquema da membrana.

1. a) Exprime essa diferença de potencial em volts e indica quanta energia é necessária, no mínimo, para transportar um coulomb de carga positiva do interior para o exterior contra o campo.
2. b) Calcula a energia necessária para transportar um ião sódio $\text{Na}^+$ (carga $+e$) do interior para o exterior, em joules e em eletrões-volt.

Num gerador de Van de Graaff do laboratório mede-se um potencial de $6000\ \text{V}$ a $0,25\ \text{m}$ do centro da esfera carregada (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ e supõe a carga pontual).

1. a) Isola a carga da expressão $V = K \cdot \frac{Q}{r}$ e calcula o seu valor.
2. b) Quanto valeria o potencial ao dobro da distância? Justifica a proporcionalidade utilizada.

Duas cargas $q_1 = 4\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ estão, respetivamente, a $0,3\ \text{m}$ e a $0,5\ \text{m}$ de um ponto P (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula o potencial criado por cada carga em P.
2. b) Calcula o potencial total em P.
3. c) Explica por que razão aqui as contribuições se somam diretamente como números, enquanto para o campo elétrico é necessário somar vetores.

Uma carga $q = -3\,\mu\text{C}$ desloca-se de um ponto A ($V_A = 500\ \text{V}$) até um ponto B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Calcula o trabalho realizado pelo campo, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Interpreta o sinal negativo do resultado: é um deslocamento espontâneo ou deve ser realizado por um agente externo?
3. c) Justifica para onde se moveria espontaneamente esta carga negativa: para potenciais maiores ou para potenciais menores?

Um detetor regista partículas muito energéticas (dado: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$).

1. a) Uma partícula registada tem uma energia de $2,4\cdot10^{-17}\ \text{J}$: exprime-a em eletrões-volt.
2. b) Uma partícula alfa emitida num decaimento nuclear tem uma energia de $5\ \text{MeV}$: exprime-a em joules.
3. c) Explica, comparando os números anteriores, por que razão o eletrão-volt é uma unidade conveniente na física atómica e nuclear.

Num microscópio eletrónico, um eletrão parte do repouso e é acelerado através de uma diferença de potencial $\Delta V = 2000\ \text{V}$ (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do eletrão $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Observa o esquema:

1. a) Calcula a energia cinética que o eletrão ganha, em joules e em eletrões-volt.
2. b) Aplica a conservação da energia, $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$, e calcula a sua velocidade final.

Para que dois protões possam fundir-se no interior do Sol, devem vencer a sua repulsão elétrica e aproximar-se muitíssimo (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$). A figura mostra a energia potencial do par de protões em função da sua distância.

1. a) Calcula a energia potencial elétrica de dois protões separados por uma distância $r = 1\ \text{nm}$.
2. b) Exprime o resultado em eletrões-volt.
3. c) Justifica por que razão a repulsão elétrica dificulta a fusão e que papel desempenha a altíssima temperatura do interior solar para a superar.

Duas cargas idênticas $q = 5\ \text{nC}$ ocupam os pontos $(0, 0)$ e $(0, 40)$, com as coordenadas em centímetros (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Justifica, desenhando os vetores no teu caderno, que o campo elétrico total no ponto médio $P(0, 20)$ é nulo.
2. b) Calcula o potencial elétrico nesse mesmo ponto P.
3. c) Tira uma conclusão: é verdade que onde o campo é nulo o potencial também é?

Entre os dois elétrodos planos de um detetor de fumo por ionização, separados por $d = 5\ \text{cm}$, existe um campo elétrico uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ (dado: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Observa o esquema:

1. a) Calcula a diferença de potencial entre os elétrodos, $\Delta V = E \cdot d$.
2. b) Calcula o trabalho realizado pelo campo sobre um ião positivo de carga $+e$ que se desloca do elétrodo positivo para o negativo.
3. c) Verifica que o resultado coincide com o calculado através de $W = F \cdot d = e \cdot E \cdot d$ e explica por que razão assim tem de ser.

Na fase de aceleração de um equipamento de protonterapia (tratamento de tumores com feixes de protões), um protão parte do repouso num ponto A com $V_A = 3000\ \text{V}$ e chega a um ponto B com $V_B = 500\ \text{V}$ (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do protão $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Calcula a energia potencial perdida pelo protão entre A e B.
2. b) Aplica a conservação da energia mecânica e calcula a velocidade do protão em B.
3. c) Justifica, com base no sinal da carga e na variação da energia potencial, se o protão se poderia mover espontaneamente em sentido contrário, de B para A.

Duas cargas pontuais $q_1 = 6\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ encontram-se sobre o eixo $x$, em $x_1 = 0$ e $x_2 = 1\ \text{m}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Estabelece a condição $V = 0$ num ponto do eixo e exprime-a como uma relação entre as distâncias a cada carga: que relação deve ser satisfeita entre $r_1$ e $r_2$?
2. b) Encontra o ponto do eixo, entre as duas cargas, onde o potencial se anula.
3. c) Encontra o ponto do eixo, à direita de $q_2$, onde o potencial também se anula.
4. d) Justifica por que razão não existe nenhum ponto com $V = 0$ à esquerda de $q_1$.

Duas cargas $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 3\,\mu\text{C}$, fixas em suportes isoladores, passam de uma separação de $1\ \text{m}$ para uma separação de $0,25\ \text{m}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula a energia potencial elétrica inicial e final do sistema.
2. b) Calcula o trabalho que deve ser realizado por um agente externo no processo, $W_{ext} = \Delta E_p$.
3. c) Justifica o sinal do resultado: por que razão é necessário fornecer trabalho para aproximar duas cargas que se repelem?
4. d) Quanto vale, nesse mesmo processo, o trabalho realizado pelo campo elétrico? Relaciona-o com o do agente externo.

Num tubo de raios X de um hospital, os eletrões são acelerados em direção ao ânodo com uma diferença de potencial $\Delta V = 40\ \text{kV}$ (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do eletrão $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; velocidade da luz $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). A figura mostra o esquema do tubo.

1. a) Exprime a diferença de potencial em volts e calcula a energia cinética de cada eletrão ao atingir o ânodo, em eletrões-volt e em joules.
2. b) Calcula a velocidade final do eletrão utilizando a expressão clássica $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$.
3. c) Compara o resultado com a velocidade da luz e comenta por que razão, a estas energias, a aproximação clássica começa a ser questionável.

Três cargas idênticas $q = 1\ \text{nC}$ são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado $10\ \text{cm}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula a energia potencial de cada par de cargas.
2. b) Soma as contribuições de todos os pares e calcula a energia potencial total do sistema.
3. c) Interpreta o resultado como o trabalho total necessário para «montar» a distribuição trazendo as cargas, uma a uma, desde o infinito.
4. d) Justifica por que razão, num sistema qualquer de cargas, não basta calcular a energia de um par e multiplicar pelo número de pares: que condição se verifica neste caso que o torna possível?

Um teu colega afirma: «se num ponto o campo elétrico é nulo, o potencial também é nulo; e se o potencial é nulo, o campo também o é» (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Refuta a primeira afirmação com um exemplo numérico: calcula a posição no segmento entre as cargas $q_1 = 9\ \text{nC}$ e $q_2 = 4\ \text{nC}$, separadas por $1\ \text{m}$, onde o campo é nulo, e calcula o potencial nesse ponto.
2. b) Refuta a segunda afirmação com outro exemplo numérico: calcula o potencial e o campo no ponto médio entre as cargas $q_1 = +5\ \text{nC}$ e $q_2 = -5\ \text{nC}$, separadas por $40\ \text{cm}$.
3. c) Explica, a partir das definições de campo (vetorial) e de potencial (escalar), por que razão ambas as afirmações são falsas em geral.

Numa região, as superfícies equipotenciais são planos paralelos. Dois deles, separados por $2\ \text{cm}$, têm potenciais $V_1 = 300\ \text{V}$ e $V_2 = 100\ \text{V}$. Observa o esquema:

1. a) Calcula o campo elétrico entre os dois planos, supondo-o uniforme, $E = \frac{\Delta V}{d}$, e indica a sua direção e o seu sentido (o campo aponta no sentido dos potenciais decrescentes).
2. b) Calcula o trabalho realizado pelo campo ao deslocar uma carga $q = 2\ \text{nC}$ do plano de $300\ \text{V}$ para o de $100\ \text{V}$.
3. c) Um aluno desloca a carga primeiro «de lado», sem sair do plano de $300\ \text{V}$, e só depois a leva até ao plano de $100\ \text{V}$ por um caminho quebrado. Justifica, utilizando o facto de o campo elétrico ser conservativo (o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final), que o trabalho total é o mesmo que na alínea b), e calcula o trabalho do troço «de lado».

Durante uma trovoada, a base de uma nuvem pode estar a um potencial de cerca de $10^{8}\ \text{V}$ relativamente ao solo, e um relâmpago chega a transferir uma carga de $20\ \text{C}$ (dado: $1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcula a energia libertada no relâmpago, $E = Q \cdot \Delta V$.
2. b) Exprime-a em quilowatts-hora.
3. c) O consumo elétrico mensal de uma habitação é de cerca de $200\ \text{kW}\cdot\text{h}$: compara ambos os valores e justifica por que razão, apesar dessa enorme energia, é tão difícil aproveitar a dos relâmpagos (pensa na potência instantânea e na imprevisibilidade das descargas).

Desafio do tema. Desenha e calibra um sensor eletrostático oscilante caseiro para caracterizar o campo criado por um objeto do quotidiano.

1. Montagem e recolha de dados: Constrói um pêndulo com fio fino e uma pequena esfera de alumínio ($m \approx 0,05\text{ g}$). Mede o comprimento $L \pm \Delta L$ com uma régua ($L = 0,300 \pm 0,001\text{ m}$). Cronometra $10$ oscilações livres com o telemóvel (incerteza $\pm 0,2\text{ s}$) para determinar o período próprio $T_0$.

2. Tratamento vetorial e fluxo: Carrega uma régua de plástico por fricção (modela-a como uma distribuição linear de carga uniforme aplicando a lei de Gauss para aproximar $\vec{E}$). Carrega a esfera por contacto. Ao aproximar a régua a uma distância fixa, estabelece o equilíbrio vetorial $\sum \vec{F} = \vec{T} + \vec{P} + q\vec{E} = \vec{0}$ a partir do ângulo de desvio para exprimir a carga resultante $q$ em função da densidade linear de carga $\lambda$ da régua.

3. Energia oscilatória e relatório: Afasta o pêndulo com pequenas amplitudes $A$ em relação ao novo equilíbrio. Mede os períodos resultantes, obtém a constante de força equivalente $k = m\omega^2$ e mede por videoanálise a velocidade máxima $v_{\max}$ em cada caso; representa num gráfico a energia mecânica $E_m = \frac{1}{2}m v_{\max}^2$ em função de $A^2$ com as respetivas barras de dispersão e compara-a com a reta teórica $\frac{1}{2}kA^2$. Resume as tuas conclusões num relatório breve.

Avaliar-se-á:

• Rigor no tratamento experimental de dados, propagação de incertezas e gráfico.

• Aplicação correta do teorema de Gauss e análise vetorial de forças.

• Justificação coerente da conservação da energia no regime oscilatório.