Exercícios: Intervalos de confiança

Um analista de redes sociais quer estudar o tempo diário que os adolescentes portugueses entre os 15 e os 18 anos passam no TikTok. Para isso, seleciona ao acaso 400 utilizadores desta faixa etária em todo o país e regista os seus tempos de ligação.

Identifica de forma clara os seguintes elementos do estudo estatístico:

1. a) A população em estudo.

1. b) A amostra selecionada.

1. c) O tamanho da amostra.

1. d) A estatística que se calcularia para resumir a informação da amostra.

Sabe-se que o tempo de espera na fila de uma atração popular de um parque temático segue uma distribuição normal com uma média de $\mu = 45$ minutos e um desvio padrão de $\sigma = 12$ minutos.

Se escolhermos uma amostra aleatória de $n = 36$ visitantes que passaram pela atração:

1. Qual é a distribuição que a média amostral $\bar{X}$ segue? Indique a sua média e o seu desvio padrão (erro padrão).

2. Calcule a probabilidade de o tempo médio de espera dessa amostra ser superior a $48$ minutos.

Em inferência estatística, o valor crítico $z_{\alpha/2}$ é fundamental para determinar a amplitude de um intervalo de confiança. É o valor da distribuição normal padrão $N(0, 1)$ que deixa à sua direita uma área $\alpha/2$, sendo $1-\alpha$ o nível de confiança (na figura, a área central é $1-\alpha$ e cada cauda vale $\alpha/2$).

Utilizando a tabela da distribuição normal padrão $N(0, 1)$, obtém os valores críticos $z_{\alpha/2}$ correspondentes aos seguintes níveis de confiança:

1. a) Um nível de confiança de $90\,\%$.

1. b) Um nível de confiança de $95\,\%$.

1. c) Um nível de confiança de $99\,\%$.

Uma empresa de entregas está a estudar o peso dos pacotes que entrega numa cidade. Supõe-se que a população segue uma distribuição normal com um desvio padrão de $\sigma = 0,8$ kg. Recolhe-se uma amostra aleatória de $n = 64$ pacotes e obtém-se uma média amostral de $\bar{x} = 4,2$ kg.

Calcule um intervalo de confiança para o peso médio de todos os pacotes entregues pela empresa, utilizando um nível de confiança de $95\%$.

Após realizar um estudo sobre o gasto mensal em plataformas de streaming dos jovens de um bairro, obteve-se que o intervalo de confiança para a média populacional, com um nível de confiança determinado, é $(14,20 \text{ €}, 17,80 \text{ €})$.

A partir deste intervalo, determine:

1. O valor da média amostral $\bar{x}$ que foi utilizado para o cálculo.

2. O erro máximo admissível $E$ cometido na estimação.

Numa escola secundária, suspeita-se que $15\%$ dos alunos sejam canhotos. Seleciona-se uma amostra aleatória de $n = 100$ alunos para verificar isso.

1. Que distribuição segue a proporção amostral $\hat{p}$ de alunos canhotos? Indique a sua média e o seu desvio padrão.

2. Calcule a probabilidade de que, na amostra selecionada, a proporção de alunos canhotos seja inferior a $18\%$.

Pretende-se estimar a proporção de agregados familiares de uma cidade que separam os resíduos orgânicos para reciclagem. Para isso, entrevista-se uma amostra aleatória de $n = 400$ agregados familiares, dos quais $160$ afirmam realizar essa separação.

Determine o intervalo de confiança para a proporção de agregados familiares que reciclam matéria orgânica em toda a cidade, utilizando um nível de confiança de $90\%$.

Uma fábrica de lâmpadas LED deseja estimar a duração média dos seus produtos. Sabe-se por estudos prévios que o desvio padrão da duração é de $\sigma = 500$ horas.

Se a equipa de controlo de qualidade quer realizar uma estimação com um nível de confiança de $95\%$, qual o tamanho mínimo da amostra $n$ que deve escolher para que o erro máximo cometido seja menor que $100$ horas?

O Hugo está a realizar um trabalho para a disciplina de Economia sobre o gasto mensal em transportes públicos dos estudantes do seu campus. Sabe que a variável segue uma distribuição normal com desvio-padrão $\sigma = 15\text{ €}$. A partir de uma amostra aleatória de $100$ estudantes e fixando um nível de confiança de $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$), calcula a margem de erro e obtém $E = 1,96 \cdot \frac{15}{\sqrt{100}} = 2,94\text{ €}$. De seguida, o Hugo afirma nas suas conclusões: «Para reduzir a margem de erro para metade ($1,47\text{ €}$) mantendo o mesmo nível de confiança de $95\%$, bastará duplicar o esforço e inquirir $200$ estudantes». a) Identifica o erro na afirmação do Hugo e explica de forma fundamentada por que razão duplicar a dimensão da amostra não divide o erro por dois. b) Corrige o cálculo determinando quantos estudantes deve inquirir realmente para que a margem de erro seja de $1,47\text{ €}$.

Num estudo sobre o tempo diário (em minutos) que os estudantes do 2.º ano do Ensino Secundário dedicam à leitura em formato digital, assume-se que a variável segue uma distribuição normal com desvio-padrão populacional conhecido $\sigma = 18\text{ minutos}$. Um relatório oficial publica apenas o intervalo de confiança obtido para a média populacional a $90\%$ de confiança ($z_{\alpha/2} = 1,645$), que é $(42,04;\ 47,96)$, mas não indica o tamanho da amostra nem a média amostral observada. a) Reconstrói, justificando algebricamente cada passo a partir das propriedades de simetria do intervalo, a média amostral $\bar{x}$ e a margem de erro $E$. b) Formula e resolve a equação que permite deduzir o tamanho da amostra $n$ que os investigadores utilizaram.

Para um estudo sobre os hábitos de leitura digital em jovens, pretende-se construir um intervalo de confiança. Calcule, de forma fundamentada, os valores críticos $z_{\alpha/2}$ correspondentes aos seguintes níveis de confiança:

1. a) $94 \%$
2. b) $98 \%$

Ilustre graficamente a posição do valor crítico numa distribuição normal padrão para o caso de $94 \%$.

Uma equipa de e-sports quer conhecer o tempo médio que os seus jogadores dedicam diariamente ao treino. Sabe-se que o tempo de jogo segue uma distribuição normal com um desvio padrão de $45$ minutos. Foi recolhida uma amostra aleatória de $36$ jogadores da liga nacional, obtendo-se uma média de $210$ minutos diários.

1. a) Determine o intervalo de confiança a $95 \%$ para o tempo médio diário de treino de todos os jogadores da liga.
2. b) Qual é o erro máximo cometido nesta estimativa?

Uma empresa tecnológica está a testar a duração da bateria de um novo modelo de telemóvel. Assume-se que a duração segue uma distribuição normal com um desvio padrão de $2,4$ horas.

Qual deve ser a dimensão mínima da amostra para que o erro máximo cometido ao estimar o valor médio da população seja inferior a $30$ minutos, com um nível de confiança de $99 \%$?

Num inquérito realizado a $400$ estudantes de uma escola sobre o uso de plataformas de streaming, $260$ afirmaram que preferem ver séries a filmes.

1. a) Determina a estimativa pontual da proporção de alunos que preferem as séries.

1. b) Obtém um intervalo de confiança a $97\,\%$ para a proporção real de estudantes que preferem as séries nessa escola.

O preço dos bilhetes para um festival de música de verão segue uma distribuição normal com desvio padrão de $12$ euros. Foi recolhida uma amostra aleatória de preços e obteve-se o seguinte intervalo de confiança para a média: $(72,15; 77,85)$.

1. a) Qual foi o preço médio da amostra selecionada?
2. b) Se o nível de confiança utilizado para este intervalo foi de $95 \%$, qual foi a dimensão da amostra analisada?

Quer-se realizar uma estimativa da proporção de cidadãos que estariam dispostos a utilizar o transporte público se este fosse gratuito. Num estudo prévio desconhece-se a proporção esperada, por isso assume-se o caso de máxima variância ($p = q = 0,5$).

Determine a dimensão mínima da amostra necessária para estimar essa proporção com um erro máximo de $4 \%$ e um nível de confiança de $95,44 \%$ (que corresponde a um valor crítico $z_{\alpha/2} = 2$).

Duas escolas, A e B, medem o tempo médio que os seus alunos do ensino secundário dedicam ao estudo da matemática por semana. Em ambas sabe-se que o desvio padrão populacional é de $1,5$ horas.

Toma-se uma amostra de $100$ alunos em cada escola. Na escola A, o intervalo de confiança obtido para a média tem uma amplitude de $0,588$ horas. Na escola B, o intervalo de confiança obtido para a média é $(6,2; 7,2)$.

1. a) Determine o nível de confiança utilizado na escola A.
2. b) Determine o nível de confiança utilizado na escola B.
3. c) Qual das duas escolas realizou uma estimativa mais precisa? Justifique a sua resposta.

Uma marca de roupa "eco-friendly" afirma que $30\,\%$ dos seus clientes têm menos de $20$ anos. Para o verificar, recolhe-se uma amostra aleatória de $500$ clientes e observa-se que $135$ deles têm menos de $20$ anos.

1. a) Constrói um intervalo de confiança a $99\,\%$ para a proporção de clientes com menos de $20$ anos com base nos dados da amostra.

1. b) Perante o resultado, podemos considerar que a afirmação da marca é coerente com os dados obtidos com um nível de confiança de $99\,\%$? Explica porquê.

A Direção-Geral de Trânsito (DGT) quer estimar a proporção de condutores de um distrito que utiliza habitualmente o telemóvel ao volante sem mãos-livres. Num inquérito piloto prévio a $200$ condutores, $32$ afirmaram cometer esta infração. Pretende-se realizar o estudo definitivo com um nível de confiança de $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) e uma margem de erro máxima de $2\%$ ($E = 0,02$). a) Antes de operares com a fórmula exata, faz uma estimativa qualitativa fundamentada: sabendo que a variância de uma proporção é $\hat{p}(1-\hat{p})$, serão necessários mais ou menos de $1000$ condutores para alcançar essa precisão? Justifica a tua intuição comparando a variabilidade deste caso com o caso mais desfavorável ($\hat{p} = 0,5$). b) Calcula a dimensão mínima da amostra $n$ necessária utilizando a proporção da amostra piloto. c) Verifica se com a dimensão da amostra obtida se satisfazem os requisitos de validade do intervalo de Wald para proporções ($n\hat{p} \ge 10$ e $n(1-\hat{p}) \ge 10$) e reflete se o resultado final confirma a tua estimativa da alínea a).

A partir dos microdados do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre habitação, uma analista modela o preço do metro quadrado de arrendamento numa cidade portuguesa. Assume-se que o preço por metro quadrado segue uma distribuição normal com desvio-padrão populacional conhecido $\sigma = 3,50\text{ €/m}^2$. A partir de uma amostra aleatória de $49$ habitações, obtém-se uma média amostral de $\bar{x} = 12,80\text{ €/m}^2$. a) Modela a situação construindo o intervalo de confiança a $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) para o preço médio populacional do arrendamento por metro quadrado. b) Um representante de uma associação de moradores afirma: «Existe uma probabilidade de $95\%$ de que o verdadeiro preço médio do arrendamento na cidade esteja dentro desse intervalo numérico que calculaste». Explica por que razão esta interpretação é conceptualmente errónea sob a perspetiva da inferência frequentista e redige a interpretação correta. c) Se o Ministério da Habitação assegurava que o preço médio nessa zona é de $11,50\text{ €/m}^2$, justifica se esse valor é credível à luz do intervalo obtido.

Um conhecido criador de conteúdos está a analisar o tempo de permanência dos seus seguidores nas suas transmissões em direto de e-sports. Sabe-se que o tempo de ligação segue uma distribuição normal com um desvio padrão de $12$ minutos. Depois de analisar uma amostra aleatória de $144$ utilizadores, obteve-se um intervalo de confiança para a média populacional de $(32,35; 36,25)$.

1. a) Determina o valor da média amostral obtida e o nível de confiança utilizado para construir esse intervalo.

1. b) Se o streamer quiser reduzir a amplitude deste intervalo a um quarto mantendo o mesmo nível de confiança, qual deveria ser o tamanho mínimo da amostra?

1. c) Explica, sem fazer cálculos adicionais, o que aconteceria com a precisão da estimativa se aumentássemos o tamanho da amostra mas também quiséssemos trabalhar com um nível de confiança superior ao calculado na alínea a).

Uma empresa de telecomunicações móveis quer estimar a proporção de adolescentes que utilizam o "modo escuro" nos seus dispositivos durante a noite. Numa amostra inicial de $100$ utilizadores, $60\%$ confirmou usá-lo.

1. a) Calcule o intervalo de confiança a $98\%$ para a proporção populacional de utilizadores deste modo.

1. b) Suponha que não se tem nenhuma informação prévia sobre a proporção (situação de máxima incerteza). Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro máximo admissível seja de $0,02$ com um nível de confiança de $95\%$.

1. c) Se for utilizada a proporção obtida na amostra inicial ($0,6$) para o cálculo do tamanho da amostra nas mesmas condições da alínea b) (erro $0,02$ e confiança $95\%$), quantos utilizadores a menos haveria que entrevistar em relação ao caso de máxima incerteza?

O tempo de reação dos pilotos de um simulador de voo de última geração segue uma distribuição normal com média desconhecida e desvio padrão de $0,05$ segundos. Ao obter uma amostra de $64$ pilotos, observa-se uma média de $0,42$ segundos.

1. a) Determine o intervalo de confiança para a média populacional com um nível de confiança de $97\%$.

1. b) O fabricante do simulador afirma que o tempo médio de reação é de $0,40$ segundos. Esta afirmação é compatível com o intervalo obtido na alínea anterior? Justifique a sua resposta com base na relação entre intervalos de confiança e parâmetros populacionais.

1. c) Se se decidir duplicar a dimensão da amostra e reduzir o nível de confiança para $90\%$, como é que isso afetará a amplitude do intervalo? Calcule o fator de redução ou de aumento da amplitude.

Um estudo sobre hábitos sustentáveis revela que $15\%$ dos jovens de uma cidade se deslocam exclusivamente de trotinete elétrica. Seleciona-se uma amostra aleatória de $n$ jovens para realizar um acompanhamento.

1. a) Se o intervalo de confiança obtido para a proporção populacional a um nível de confiança de $95\%$ tem uma amplitude de $0,06$, qual foi o tamanho da amostra utilizada? (Utiliza a proporção de $15\%$ como estimativa).

1. b) Se quiséssemos que a margem de erro fosse de apenas $0,01$ mantendo a confiança de $95\%$, mas suspeitamos que a proporção real poderia estar mais perto de $50\%$, qual seria o novo tamanho amostral necessário?

O peso das mochilas dos alunos do ensino secundário segue uma distribuição normal com um desvio padrão de $1,2$ kg. Foi recolhida uma amostra aleatória de $100$ alunos e foi construído um intervalo de confiança para o peso médio. O limite superior desse intervalo é de $6,235$ kg e a sua amplitude é de $0,47$ kg.

1. a) Qual é o peso médio amostral das mochilas neste estudo?

1. b) Determine o nível de confiança com o qual o intervalo foi construído.

1. c) Se se pretender que o erro máximo seja de $0,1$ kg com uma confiança de $99,73\%$ (correspondente a $3\sigma$), quantos alunos adicionais deveriam ser incluídos na amostra original?

Foi realizado um inquérito a $400$ utilizadores de uma plataforma de música em streaming para saber qual a percentagem que prefere o género urbano. O intervalo de confiança obtido para a proporção de utilizadores é $(0,312; 0,388)$.

1. a) Determine o valor da proporção amostral e o nível de confiança utilizado no estudo.

1. b) Se for decidido realizar um novo estudo com uma amostra de $1600$ utilizadores e for mantida a mesma proporção amostral, qual será a amplitude do novo intervalo se se trabalhar com o mesmo nível de confiança?

1. c) Justifique matematicamente como varia a amplitude do intervalo se quadruplicarmos o tamanho da amostra e duplicarmos o valor crítico $z_{\alpha/2}$.

Um centro tecnológico investiga a duração da bateria de um novo modelo de smartphone sob uso intensivo. Assume-se que a duração segue uma distribuição normal com $\sigma = 0,8$ horas. Pretende-se estimar a média de duração com uma confiança de $96\%$.

1. a) Se se pretender que o intervalo de confiança tenha um comprimento máximo de $20$ minutos, calcule a dimensão mínima da amostra necessária.

1. b) Após realizar a experiência com a dimensão da amostra obtida na alínea anterior, observa-se que a média amostral é de $9,5$ horas. Escreva o intervalo de confiança resultante, em horas.

1. c) Se, por razões de orçamento, só pudessem ser analisados $50$ dispositivos, qual seria o erro máximo que cometeríamos se quiséssemos manter a confiança de $96\%$? Exprima o resultado em minutos.

Num exame de acesso ao ensino superior, a classificação obtida pelos alunos na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais II segue uma distribuição normal com desvio padrão de $1,5$ pontos. Selecionam-se duas amostras independentes de escolas diferentes, ambas de dimensão $n$.

• Para a Amostra A, utiliza-se um nível de confiança de $90\%$, obtendo-se um erro de $0,25$ pontos.

• Para a Amostra B, pretende-se uma confiança de $99\%$.

1. a) Calcule a dimensão da amostra $n$ utilizada na Amostra A.

1. b) Utilizando o valor de $n$ encontrado na alínea anterior, determine o erro máximo admissível para a Amostra B.

1. c) Se se decidir juntar ambas as amostras numa única de dimensão $2n$, calcule o novo erro para um nível de confiança de $95\%$. Este erro é menor do que o da Amostra A? Raciocine se a precisão melhora sempre ao aumentar a dimensão da amostra, independentemente das alterações no nível de confiança.

Uma consultora sociológica deve conceber um inquérito para estimar a proporção de jovens entre 18 e 25 anos com dependência do jogo digital numa região. Por sondagens prévias a nível nacional, suspeita-se que a proporção real é reduzida, em torno de $p \approx 0,02$ ($2\%$). A equipa técnica debate-se entre duas opções metodológicas: Proposta A, recolher uma amostra de $n_A = 150$ jovens com um nível de confiança de $99\%$ ($z_{\alpha/2} = 2,575$); Proposta B, recolher uma amostra de $n_B = 600$ jovens com um nível de confiança de $90\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,645$). a) Avalia as condições técnicas de aproximação normal do intervalo de Wald ($n\hat{p} \ge 10$ e $n(1-\hat{p}) \ge 10$) em ambas as propostas sob a hipótese de a amostra refletir o valor esperado. Que resultado numericamente absurdo se produz no extremo inferior do intervalo se a fórmula for aplicada mecanicamente na Proposta A? b) Calcula a margem de erro teórica para cada proposta. c) Justifica fundamentadamente qual dos dois métodos a consultora deve escolher se priorizar a validade inferencial e a utilidade prática do intervalo resultante.

Dois investigadores, Clara e Mateus, analisam de forma independente o consumo elétrico bimestral (em kWh) dos agregados familiares de um concelho, cuja distribuição é normal com desvio-padrão conhecido $\sigma = 60\text{ kWh}$. Ambos utilizam exatamente a mesma amostra aleatória de $n$ agregados familiares. Clara constrói um intervalo de confiança a $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) e obtém uma amplitude total de $23,52\text{ kWh}$. Mateus decide recalcular o intervalo com a mesma amostra, mas elevando a confiança para $99\%$ ($z_{\alpha/2} = 2,575$), e assegura: «Ao subir para $99\%$ de confiança, o nosso estudo ganha fiabilidade e precisão, pelo que a amplitude do intervalo será menor do que a da Clara». a) Identifica e refuta com argumentos matemáticos o erro de Mateus sobre a relação entre confiança e amplitude de um intervalo. b) Formula o problema inverso: a partir da amplitude do intervalo de Clara ($23,52\text{ kWh}$), calcula o tamanho amostral $n$ que ambos empregaram. c) Se Mateus quiser manter o seu nível de confiança de $99\%$, mas exigir que a amplitude do seu intervalo se reduza até igualar os $23,52\text{ kWh}$ de Clara, calcula quantos agregados familiares adicionais aos já inquiridos precisará de recolher.