Exercícios: Teste de hipóteses

No controlo de qualidade de uma fábrica de batatas fritas, pretende-se verificar se o peso médio dos pacotes é realmente de $150$ gramas, como indica a embalagem. Sabe-se que o desvio padrão populacional é $\sigma = 5$ gramas. Se houver suspeita de que os pacotes podem pesar tanto mais quanto menos do que o indicado:

1. a) Formule as hipóteses $H_0$ e $H_1$.

1. b) Se fixarmos um nível de significância de $\alpha = 0,05$, calcule os valores críticos $z_{\alpha/2}$ que delimitam a região de aceitação.

Estamos a realizar um teste de hipóteses bilateral para a média de uma população normal com $\sigma$ conhecida. Após calcular a estatística de teste com os dados de uma amostra, obtemos um valor de $z_{exp} = 2,15$.

Se os valores críticos para um nível de significância $\alpha = 0,05$ são $-1,96$ e $1,96$, raciocine se devemos aceitar ou rejeitar a hipótese nula.

Explique com as suas próprias palavras o que significa cometer um Erro do Tipo I no contexto de um estudo que tenta provar se um novo método de estudo melhora as classificações a Matemática (onde $H_0$ é que o método não produz melhorias).

A Sara quer verificar se a proporção de utilizadores satisfeitos com o serviço municipal de bicicletas partilhadas da sua cidade diminuiu relativamente ao dado histórico oficial, que era de $70\,\%$ ($p_0 = 0,70$). Para isso, inquiriu $n = 100$ utilizadores escolhidos ao acaso e observa que $62$ deles se declaram satisfeitos (ou seja, $\hat{p} = 0,62$). No seu caderno de trabalho, a Sara escreve o seguinte:

1. Formulação: $H_0: \hat{p} = 0,62$ face a $H_1: \hat{p} < 0,62$.

2. Estatística de teste: $z = \dfrac{0,62 - 0,70}{\sqrt{\dfrac{0,62 \cdot 0,38}{100}}} = \dfrac{-0,08}{0,0485} \approx -1,65$.

1. a) A Sara cometeu dois erros conceptualmente graves na sua formulação. Identifica ambos os erros e explica por que razão contradizem os fundamentos teóricos do teste de hipóteses.
2. b) Corrige o procedimento da Sara: formula com precisão as hipóteses nula e alternativa com os parâmetros populacionais adequados e calcula o valor correto da estatística experimental $z_{\text{exp}}$.

A Autoridade Nacional de Segurança Rodoviária (ANSR) sustenta que a velocidade média num troço periurbano regulado com radar pedagógico é de $\mu = 80\text{ km/h}$, com um desvio-padrão populacional conhecido de $\sigma = 10\text{ km/h}$. Uma associação de moradores afirma que os veículos circulam a uma velocidade média superior. Para o contrastar, registam a velocidade de uma amostra aleatória de $n = 100$ veículos e obtêm uma média amostral de $\bar{x} = 81,8\text{ km/h}$.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo formal, observa que a diferença observada é de apenas $1,8\text{ km/h}$ sobre $80\text{ km/h}$. Estima mentalmente ou por alto o erro padrão da média ($\sigma/\sqrt{n}$) e fundamenta se um desvio de $1,8\text{ km/h}$ te parece suficiente para ser estatisticamente significativo ou atribuível ao mero acaso da amostragem.
2. b) Formula formalmente o teste unilateral com $H_0: \mu = 80$ face a $H_1: \mu > 80$. Calcula a estatística de teste experimental $z_{\text{exp}}$ e o seu correspondente p-valor.
3. c) Com um nível de significância de $\alpha = 5\,\%$ ($z_{0,05} = 1,645$), rejeita-se a afirmação da ANSR? Compara a conclusão obtida com a tua estimativa inicial e fundamenta que papel teve o tamanho da amostra ($n = 100$) no veredito final.

Está a ser testado um novo modelo de ténis de corrida concebido para aumentar o rendimento. O fabricante estabelece a hipótese nula $H_0$: "O rendimento médio com o novo modelo é igual ao do modelo anterior" contra a alternativa $H_1$: "O rendimento médio é superior".

Explique fundamentadamente o que significaria cometer um erro do tipo I e um erro do tipo II neste contexto prático. Qual dos dois erros achas que seria mais prejudicial para a imagem da marca da empresa se fosse descoberto posteriormente?

Num estudo sobre sustentabilidade, sabe-se que há dois anos $30\ \%$ dos jovens de uma localidade utilizavam o transporte público para ir à escola. Após uma campanha de consciencialização ambiental, quer-se verificar se essa percentagem aumentou. Toma-se uma amostra aleatória de $150$ jovens e observa-se que $54$ deles usam agora o transporte público.

A partir destes dados, e com um nível de significância de $5\ \%$, pode concluir-se que a campanha foi eficaz e a proporção de utilizadores aumentou? Formule o teste correspondente.

Um centro de saúde afirma que a proporção de fumadores na população de jovens entre os 16 e os 18 anos é de $15\ \%$. Para verificar isto, realiza-se um estudo sobre uma amostra de $400$ jovens dessa faixa etária, tendo-se concluído que $72$ deles fumam.

Calcule o valor-p (probabilidade de obter um resultado tão extremo ou mais do que o observado sob a hipótese nula) para um teste bilateral. Perante o resultado, rejeitaria a afirmação do centro de saúde para um nível de significância de $\alpha = 0,05$?

Foi realizado um estudo sobre o gasto mensal em lazer dos estudantes universitários de uma cidade, assumindo que segue uma distribuição normal com $\sigma = 20$ euros. Obteve-se para a média um intervalo de confiança a $95\ \%$ de $(75,1; 84,9)$.

Sem realizar novos cálculos de padronização, utilize a relação entre intervalos de confiança e testes de hipóteses para responder: Rejeitar-se-ia a hipótese nula $H_0: \mu = 70$ euros contra $H_1: \mu \neq 70$ euros com um nível de significância de $\alpha = 0,05$? E se a hipótese nula fosse $H_0: \mu = 80$ euros? Justifique a sua resposta.

De acordo com o Inquérito às Características Essenciais da População e Habitação do INE, a percentagem de agregados familiares unipessoais portugueses (onde reside uma única pessoa) situava-se historicamente nos $26\,\%$ ($p_0 = 0,26$). Um sociólogo sustenta que nas grandes cidades esta percentagem aumentou significativamente nos últimos anos. Para o verificar, seleciona uma amostra aleatória simples de $n = 400$ agregados familiares de uma grande área metropolitana e comprova que $124$ deles são unipessoais.

1. a) Justifica matematicamente se é aplicável a aproximação da proporção amostral através de uma distribuição normal, verificando as condições teóricas sobre o número esperado de sucessos e insucessos sob o pressuposto de que a hipótese nula é verdadeira.
2. b) Modela a situação através de um teste de hipóteses: formula a hipótese nula e a alternativa correspondente à suspeita do sociólogo, e calcula a estatística de teste experimental tipificada $z_{\text{exp}}$.
3. c) Para um nível de significância de $1\,\%$ ($z_{0,01} = 2,33$), determina a região de rejeição e conclui de forma fundamentada no contexto do problema se existem provas suficientes para considerar válida a hipótese do sociólogo.

Numa fábrica de conservas de Santarém, o peso líquido nominal dos frascos de espargos deve ser de $\mu = 250\text{ g}$. Por controlos históricos sabe-se que o desvio-padrão populacional do processo de embalamento é $\sigma = 8\text{ g}$. Para verificar se a máquina de enchimento automática não se descalibrou (nem por excesso nem por defeito), a equipa de qualidade recolhe uma amostra aleatória de $n = 64$ frascos e obtém um peso médio de $\bar{x} = 252,2\text{ g}$. Com um nível de significância $\alpha = 0,05$, três engenheiros propõem três vias distintas para tomar a decisão:

• Beatriz propõe construir o intervalo de confiança a $95\,\%$ para a média populacional e verificar se $\mu_0 = 250\text{ g}$ pertence a esse intervalo.

• Carlos propõe calcular a estatística tipificada $z_{\text{exp}}$ e compará-la com os valores críticos bilaterais $\pm 1,96$.

• Inês propõe calcular diretamente o p-valor exato da estatística e compará-lo com $\alpha = 0,05$.

1. a) Aplica os procedimentos de Beatriz e de Carlos. Mostra os teus cálculos e explica por que razão ambos conduzem necessariamente à mesma decisão estatística num teste bilateral.
2. b) Supõe que o diretor de operações precisa de responder à seguinte pergunta: «Qual era exatamente a probabilidade de ter obtido um desvio em relação ao peso nominal tão grande ou maior do que o observado se a máquina estivesse perfeitamente calibrada?». Justifica qual dos três métodos responde diretamente a essa questão, calcula-o e interpreta o resultado em termos de evidência contra a hipótese nula.

Um estudo sobre saúde mental juvenil indica que o tempo médio diário que os estudantes do 2º ano do Ensino Médio passam no TikTok é de $120$ minutos, com um desvio padrão de $30$ minutos. Um orientador de uma escola acredita que no seu centro, devido à pressão da EBAU, o tempo médio é significativamente menor. Ele obtém uma amostra aleatória de $50$ alunos e calcula uma média de $112$ minutos.

1. a) Defina o teste de hipóteses adequado para a crença do psicólogo.
2. b) Calcule o valor-p da amostra obtida.
3. c) Se for utilizado um nível de significância de $1\%$, que conclusão deveria o psicólogo tirar? E se o nível de significância fosse de $5\%$?

Num debate sobre sustentabilidade, afirma-se que $75\%$ dos jovens de uma cidade separam as embalagens de plástico do restante lixo. Para verificar isso, seleciona-se uma amostra de $150$ jovens e observa-se que $105$ deles reciclam corretamente.

1. a) Formule o teste de hipóteses para verificar se a proporção real é inferior à afirmada.
2. b) A afirmação inicial é aceitável para um nível de significância de $10\%$?
3. c) Suponha que a proporção real era $65\%$. Que decisão seria mais provavelmente tomada com este teste se a amostra fosse de apenas $20$ pessoas? Raciocine sobre a importância da dimensão da amostra na potência do teste.

Pretende-se investigar se um novo método de estudo melhora o desempenho a Matemática. A classificação média histórica numa região é de $6,4$ com um desvio padrão $\sigma = 1,2$. Aplica-se o novo método a um grupo experimental de $36$ alunos e obtém-se uma classificação média de $6,9$.

1. a) Realiza um teste de hipóteses unilateral para um nível de significância $\alpha = 0,05$ (formula $H_0$ e $H_1$, calcula o valor crítico e a região de rejeição, e conclui).

1. b) Se o intervalo de confiança a $95\%$ para a média deste grupo fosse $(6,508 ; 7,292)$, poderias ter respondido à alínea anterior sem calcular a estatística de teste? Explica a relação entre intervalos de confiança e testes de hipóteses.

Uma empresa de correio expresso em Portugal garante um tempo médio de entrega entre distritos de $\mu_0 = 24\text{ horas}$, com uma dispersão conhecida de $\sigma = 3\text{ horas}$. A direção submete o serviço a uma auditoria com o teste $H_0: \mu = 24$ face a $H_1: \mu > 24$ (suspeita de atrasos) a um nível de significância $\alpha = 0,05$ ($z_{0,05} = 1,645$).

1. a) Se os auditores examinarem uma amostra de $n = 36$ envios independentes, determina o valor limiar da média amostral, $\bar{x}_c$, a partir do qual se rejeitaria $H_0$. Isto é, qual é o tempo médio mínimo observado que acenderia os alarmes da direção?
2. b) A direção considera inaceitável que uma média amostral de $\bar{x} = 24,6\text{ horas}$ não seja suficiente para rejeitar $H_0$ ao nível $\alpha = 0,05$. Resolve o problema inverso: qual é o tamanho amostral mínimo $n$ que os auditores deveriam ter recolhido para que um registo de $\bar{x} = 24,6\text{ horas}$ tivesse sido suficiente para rejeitar $H_0$ a esse mesmo nível de significância?
3. c) Analisa a expressão teórica do valor crítico $\bar{x}_c = \mu_0 + z_\alpha \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Justifica o que acontece à capacidade do teste para detetar desvios mínimos da média real em relação à hipótese nula quando $n$ tende para infinito, mantendo $\alpha$ constante.

A Administração da Região Hidrográfica do Tejo (ARH) realiza controlos periódicos sobre a descarga de uma fábrica de papel num curso de água. Por exigência ambiental, a concentração média de nitratos não deve ultrapassar $\mu_0 = 15\text{ mg/l}$. Assume-se que as medições se distribuem segundo uma normal com desvio-padrão conhecido $\sigma = 2\text{ mg/l}$. A administração recolhe uma amostra de $n = 16$ colheitas de água independentes e formula o teste $H_0: \mu \le 15$ face a $H_1: \mu > 15$.

1. a) Define com precisão o que significa cometer um erro do tipo I e um erro do tipo II neste cenário específico. Explica detalhadamente as consequências práticas e reais que cada um deles traria para a empresa de papel e para o ecossistema do rio.
2. b) Na reunião técnica surge uma discrepância sobre o nível de significância: a assessoria jurídica da empresa pede para fixar $\alpha = 0,01$, enquanto os técnicos de proteção ambiental preferem $\alpha = 0,10$. Fundamenta que tipo de erro procura minimizar cada uma das partes e qual dos dois níveis oferece maior garantia de intervenção imediata em caso de poluição real.
3. c) Após realizar as análises laboratoriais das $n = 16$ amostras, obtém-se uma concentração média de $\bar{x} = 16,1\text{ mg/l}$. Calcula o p-valor do teste e determina de forma fundamentada que sanção ou resolução administrativa seria adotada sob o critério da empresa ($\alpha = 0,01$) e sob o critério ambiental ($\alpha = 0,10$). Como é que este resultado ilustra que o limiar de significância escolhido condiciona a tomada de decisões?