Exercícios: Razões trigonométricas de um ângulo

Transforme para radianos os ângulos de $135^\circ$ e $330^\circ$, e exprima em graus sexagesimais os ângulos de $\frac{5\pi}{6}$ rad e $\frac{7\pi}{4}$ rad.

Calcule o valor exato do seno, cosseno e tangente do menor ângulo de um triângulo retângulo sabendo que os seus catetos medem $5$ cm e $12$ cm.

Sabendo que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ e que $\alpha$ é um ângulo agudo, determine o valor exato de $\sin \alpha$ e $\tan \alpha$ utilizando as identidades trigonométricas fundamentais.

Avalie a seguinte expressão substituindo as razões trigonométricas pelos seus valores exatos, sem utilizar a calculadora:

$\sin^2(30^\circ) + \cos^2(45^\circ) - \tan(60^\circ) \cdot \sin(60^\circ)$

Determine em que quadrante se encontra o ângulo $\beta$ se se verifica simultaneamente que $\sin \beta < 0$ e $\tan \beta > 0$.

Determine o ângulo equivalente na primeira volta (compreendido entre $0^\circ$ e $360^\circ$) para o ângulo de $1950^\circ$ e determine o sinal da sua secante e da sua cotangente.

Num triângulo retângulo, a tangente de um dos seus ângulos agudos é $\frac{3}{4}$. Determine o valor exato da secante e da cossecante desse ângulo.

Calcule o valor numérico da seguinte expressão trigonométrica correspondente a ângulos situados sobre os semieixos:

$3\sin(90^\circ) - 2\cos(180^\circ) + 4\sin(270^\circ) - \cos(360^\circ)$

A Maria tem de calcular as razões trigonométricas do ângulo $\alpha$, sabendo que pertence ao segundo quadrante e que $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. No seu exame escreve:

e em seguida conclui que $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

1. a) Aponta com precisão o erro conceptual cometido pela Maria e explica, apoiando-te na circunferência goniométrica, por que razão o seu resultado para o sinal de $\cos\alpha$ e de $\tan\alpha$ é incoerente com o quadrante indicado.
2. b) Corrige a resolução e calcula o valor numérico exato de $\cos\alpha$ e de $\tan\alpha$.

Considera o ângulo $\alpha = 210^\circ$.

1. a) Sem recorrer à calculadora nem realizar cálculos analíticos prévios, faz uma estimativa fundamentada situando o ângulo na circunferência goniométrica: indica a que quadrante pertence, deduz o sinal de $\sin 210^\circ$, $\cos 210^\circ$ e $\tan 210^\circ$, e justifica qual das duas quantidades em valor absoluto deve ser maior, $|\sin 210^\circ|$ ou $|\cos 210^\circ|$, tendo em conta se o raio aponta mais perto do eixo horizontal ou do vertical.
2. b) Deduz agora os valores numéricos exatos de $\sin 210^\circ$, $\cos 210^\circ$ e $\tan 210^\circ$ relacionando este ângulo com o seu correspondente ângulo notável do primeiro quadrante ($30^\circ$).
3. c) Verifica se os valores exatos que obtiveste confirmam a estimativa de sinais e de magnitudes relativas formulada na alínea a).

Sabendo que $\tan \gamma = -\frac{12}{5}$ e que $\gamma$ pertence ao segundo quadrante, calcule o valor exato de $\sin \gamma$ e $\sec \gamma$.

Um edifício projeta uma sombra de $24$ metros quando o ângulo de elevação do sol sobre o horizonte é de $53^\circ$. Escreva a expressão trigonométrica para calcular a altura do edifício e determine o seu valor. Se o ângulo de elevação for reduzido para metade, o comprimento da sombra duplicará? Justifique a sua resposta com base na não linearidade da razão tangente.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão trigonométrica utilizando as identidades fundamentais, expressando o resultado em função de uma única razão trigonométrica:

$\frac{\sin^3 x + \sin x \cdot \cos^2 x}{\cos x}$

Um disco de esmeril gira a $7200$ rotações por minuto. Expresse essa velocidade angular em radianos por segundo e calcule o ângulo exato (em radianos) varrido por uma partícula da sua periferia em $0,15$ segundos.

Determine o valor exato da seguinte expressão reduzindo previamente todos os ângulos ao primeiro quadrante:

$\cos(120^\circ) \cdot \sin(225^\circ) - \tan(330^\circ) \cdot \cos(210^\circ)$

Um pêndulo de $80$ cm de comprimento desloca-se da sua posição vertical de equilíbrio até formar um ângulo de $18^\circ$ com a vertical. Calcule a distância horizontal exata que a massa do pêndulo se deslocou e a altura que subiu em relação ao seu ponto mais baixo. Expresse os resultados em função das razões trigonométricas de $18^\circ$.

Calcule os valores exatos de $\cot \alpha$ e $\csc \alpha$ sabendo que $\sec \alpha = 3$ e que o seno do ângulo é negativo.

Para otimizar a captação de energia solar no inverno, um painel retangular de $2$ metros de comprimento é erguido apoiando um dos seus lados menores no solo plano, de modo que o lado oposto fique exatamente a $1,2$ metros de altura. Determine o valor exato do cosseno e da tangente do ângulo de inclinação do painel.

Sabe-se que um ângulo $\alpha$ pertence ao segundo quadrante e que $\tan\alpha = -\frac{4}{3}$. Para calcular os valores exatos de $\cos\alpha$ e $\sin\alpha$, dois colegas de turma propõem duas estratégias diferentes:

• Método A (Raquel): Aplica a identidade $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, isola $\cos\alpha$ escolhendo o sinal adequado ao quadrante e depois obtém $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$.

• Método B (Rodrigo): Formula um sistema de equações com a definição $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{4}{3}$ e a relação fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, isolando uma incógnita em função da outra para substituir.

1. a) Compara ambos os métodos analisando qual resulta mais direto, qual apresenta menor carga de cálculo algébrico e em qual é mais fácil errar na escolha de sinais.
2. b) Aplica o método que considerares mais eficiente para encontrar os valores exatos de $\cos\alpha$ e $\sin\alpha$, justificando a escolha do sinal em cada passo a partir do quadrante de $\alpha$.

Escreve uma equação polinomial de segundo grau na incógnita $\cos x$, da forma $a\cos^2 x + b\cos x + c = 0$ com coeficientes inteiros ($a, b, c \in \mathbb{Z}$ e $a > 0$), cujas soluções no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$ sejam única e exclusivamente os quatro ângulos:

Para a construir e justificar:

1. a) Determina o valor numérico exato que $\cos x$ toma em cada um desses quatro ângulos utilizando a simetria da circunferência goniométrica.
2. b) Constrói a equação em função de $\cos x$ a partir desses valores e simplifica os seus coeficientes para que sejam números inteiros.
3. c) Justifica por que razão a tua equação garante que não existe nenhum outro ângulo na primeira volta completa $[0^\circ, 360^\circ)$ que satisfaça a igualdade.

Demonstre a seguinte identidade trigonométrica, indicando os passos algébricos e as relações fundamentais utilizadas. Assuma que $\alpha$ é um ângulo para o qual todas as razões estão definidas:

$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = 2\sec \alpha$

Demonstre que a área de um polígono regular de $n$ lados inscrito numa circunferência de raio $R$ é dada pela expressão $A = \frac{n \cdot R^2}{2} \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$. Em seguida, aplique a fórmula para calcular a área exata de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio $10$ cm.

Dada a relação $5\sin \theta - 2\cos \theta = 0$, determine todos os valores exatos possíveis para $\sin \theta$, $\cos \theta$ e $\tan \theta$. Discuta fundamentadamente em quais quadrantes o ângulo $\theta$ se pode encontrar.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão trigonométrica, assumindo que $x$ é um ângulo do primeiro quadrante. Preste atenção especial aos sinais ao reduzir a esse quadrante:

$\frac{\sin(\pi - x) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cdot \tan(2\pi - x)}{\cos(\pi + x) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)}$

Encontra todos os ângulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ que satisfazem a seguinte equação trigonométrica:

$2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha = 0$

(Dica: exprime toda a equação em função de uma única razão trigonométrica utilizando a fórmula fundamental da trigonometria).

Um raio de luz passa de um meio líquido com índice de refração $n_1 = 1,33$ para um cristal com índice $n_2 = 1,52$. A lei de Snell estabelece que $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$, onde $\theta_1$ e $\theta_2$ são os ângulos de incidência e de refração medidos em relação à normal à superfície. Se o raio incide com um ângulo $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ rad, determine o valor exato do cosseno do ângulo de refração $\theta_2$.

Duas roldanas circulares de raios $R = 15$ cm e $r = 5$ cm estão ligadas por uma correia esticada que se cruza entre elas. A distância entre os centros das roldanas é de $40$ cm. Se $\alpha$ é o ângulo que o troço reto da correia forma com a linha imaginária que une os centros, calcule o valor exato de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ e o comprimento total do troço reto da correia compreendido entre os dois pontos de tangência.

Demonstre que, se $\alpha$ e $\beta$ são dois ângulos agudos complementares (ou seja, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ rad), então verifica-se sempre a seguinte relação trigonométrica:

$\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\sec \alpha \cdot \sec \beta} = 1$

Num parque eólico de Trás-os-Montes, um aerogerador tem o cubo (centro de rotação das pás) situado a $90\text{ m}$ do solo e as suas pás medem $50\text{ m}$ de comprimento. A posição da extremidade de uma pá é modelada através de uma circunferência de raio $50\text{ m}$ centrada em $(0, 90)$, onde o ângulo $\alpha$ é medido no sentido anti-horário a partir da posição horizontal direita ($3$ horas num relógio).

Devido a uma rajada de vento, o sistema de controlo bloqueia a pá quando o ângulo $\alpha$ se encontra no segundo quadrante e o anemómetro regista que $\tan\alpha = -\frac{7}{24}$.

1. a) Deduz, mediante as identidades trigonométricas fundamentais e justificando o sinal de acordo com o quadrante, os valores exatos de $\cos\alpha$ e $\sin\alpha$.
2. b) Calcula as coordenadas exatas $(x, y)$ da extremidade da pá em relação ao solo (tomando a origem na base do mastro vertical), indicando a sua altura sobre o terreno e o seu desvio horizontal.
3. c) Apoiando-te nas propriedades de simetria da circunferência trigonométrica, determina que outro ângulo $\beta \in [0^\circ, 360^\circ)$ situaria a extremidade da pá exatamente à mesma altura sobre o solo e calcula o valor exato de $\sin\beta$, $\cos\beta$ e $\tan\beta$.

Num teste escrito pede-se para simplificar a seguinte expressão para todos os ângulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ nos quais esteja definida:

O Carlos entrega a seguinte resposta:

«Como $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, verifica-se que $\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \cos\alpha$ e que $\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sin\alpha$. Substituindo na expressão:

Portanto, o resultado é igual a $0$ para qualquer ângulo onde exista».

1. a) Explica com rigor algébrico o erro cometido pelo Carlos ao extrair as raízes quadradas e enuncia a propriedade geral $(\sqrt{u^2})$ que omitiu.
2. b) Indica fundamentadamente para que ângulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ a expressão $E(\alpha)$ não está definida.
3. c) Realiza um estudo por quadrantes do valor constante que $E(\alpha)$ assume em cada um deles.
4. d) A partir do teu estudo, determina se é possível encontrar algum ângulo $\alpha$ tal que $E(\alpha) = 2$ e descreve que posição ocupa esse ângulo na circunferência goniométrica.