Exercícios: Medida de ângulos: graus e radianos

Exprime em radianos, utilizando frações irredutíveis de $\pi$, os seguintes ângulos dados em graus sexagesimais: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ e $330^\circ$.

Converta para graus sexagesimais os seguintes ângulos expressos em radianos: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{3}$.

Reduza os seguintes ângulos à primeira volta (ou seja, encontre o seu ângulo equivalente entre $0^\circ$ e $360^\circ$) e indique em que quadrante se situa o lado extremidade de cada um: $1250^\circ$ e $2460^\circ$.

Encontra o ângulo positivo equivalente na primeira volta (compreendido entre $0$ e $2\pi$ rad) para os seguintes ângulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ e $-\frac{13\pi}{6}$.

Calcule o ângulo central subtendido por um arco de $12$ cm de comprimento numa circunferência cujo raio é de $4$ cm. Exprima o resultado tanto em radianos como em graus sexagesimais.

Determine o comprimento do arco que descreve a extremidade inferior de um pêndulo de $60$ cm de comprimento quando oscila um ângulo de $\frac{\pi}{8}$ radianos.

Calcule a soma dos ângulos internos de um octógono regular e expresse o valor de cada um dos seus ângulos internos em radianos, utilizando frações de $\pi$.

Um ângulo mede exatamente $3$ radianos. Sem utilizar a calculadora, raciocine se este ângulo é maior, menor ou igual a um ângulo raso ($180^\circ$) e determine em que quadrante se encontra.

A Beatriz tem de calcular a área de uma parcela ajardinada com a forma de um setor circular, cujo raio mede $6\text{ m}$ e cujo ângulo central é de $45^\circ$. Para o resolver, aplica diretamente a fórmula $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ e escreve no seu exame:

Ao ver o resultado, o professor indica-lhe que reveja os seus cálculos, pois o círculo completo de raio $6\text{ m}$ tem apenas cerca de $113,1\text{ m}^2$ de superfície. Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pela Beatriz, justifica por que razão a fórmula utilizada exige que o ângulo seja expresso em radianos e calcula a solução correta tanto de forma exata (em função de $\pi$) como com aproximação a duas casas decimais.

Numa pista de treino circular de $50\text{ m}$ de raio, um atleta percorre um arco que subtende um ângulo central de $2,4\text{ rad}$.

1. a) Antes de efetuares operações, faz uma estimativa intuitiva: sabendo que um radiano é o ângulo central cujo arco mede exatamente o mesmo que o raio, raciocina sem calculadora se a distância percorrida pelo atleta superará os $100\text{ m}$ e se será maior ou menor do que $150\text{ m}$.
2. b) Tendo em conta que $1\text{ rad} \approx 57,3^\circ$ (quase $60^\circ$), estima mentalmente o valor aproximado do ângulo em graus sexagesimais.
3. c) Calcula agora com precisão o comprimento do arco percorrido e o valor exato do ângulo em graus sexagesimais (arredondado a duas casas decimais). Compara os resultados com as tuas estimativas anteriores e avalia fundamentadamente se a tua aproximação inicial foi acertada.

Um disco de vinil gira num gira-discos a uma velocidade de $33$ rotações por minuto (rpm). Calcule a sua velocidade angular em radianos por segundo e determine o ângulo, em radianos, que um ponto da sua borda descreve em $2,5$ segundos.

Numa pista de atletismo circular, um corredor desloca-se pela pista interior, mantendo-se a $50$ metros do centro. Se ele percorre uma distância de $120$ metros, calcule o ângulo que ele descreveu em relação ao centro da pista, em radianos. Expresse também esse resultado em graus, minutos e segundos.

Calcule o menor ângulo, expresso em graus sexagesimais e em radianos, que os ponteiros de um relógio analógico (de horas e minutos) formam exatamente às 16:20 h.

Duas cidades, A e B, encontram-se situadas sobre o mesmo meridiano terrestre. A latitude da cidade A é $41^\circ$ Norte e a latitude da cidade B é $28^\circ$ Sul. Assumindo que a Terra é uma esfera perfeita com um raio médio de $6371$ km, calcule a distância em linha reta sobre a superfície terrestre que separa ambas as cidades.

Uma roda-gigante tem um diâmetro de $40$ metros e conta com $24$ cabines espaçadas uniformemente ao longo da sua borda exterior. Calcule a distância ao longo do arco da roda-gigante que separa duas cabines consecutivas e o ângulo, em radianos, que formam em relação ao eixo central.

O sistema de transmissão de uma máquina industrial consiste em duas polias ligadas por uma correia tensa. A polia motriz tem um raio de $15$ cm e a polia movida tem um raio de $45$ cm. Se a polia motriz roda um ângulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianos, calcule quantos radianos roda a polia movida e quantas voltas completas dá.

Um aspersor de rega agrícola cobre um setor circular. O jato de água atinge uma distância máxima de $18$ metros e a cabeça do aspersor varre um ângulo de $140^\circ$. Calcule a área total do terreno regado e o comprimento do arco exterior que a água descreve.

Os três ângulos de um triângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que o maior ângulo mede $80^\circ$, determine a amplitude dos três ângulos, expressa em radianos (utilizando frações de $\pi$).

Para regar um relvado num parque público, utiliza-se um aspersor oscilante com um alcance de $8\text{ m}$ que varre um ângulo de $135^\circ$. Dois técnicos de manutenção calculam a superfície regada seguindo caminhos diferentes:

• Método A (Marcos): Propõe uma proporção direta baseada na geometria clássica em graus: $\frac{A}{135^\circ} = \frac{\pi\cdot 8^2}{360^\circ}$.

• Método B (Sara): Converte primeiro o ângulo para radianos na forma de fração irredutível de $\pi$ e aplica em seguida a expressão $A = \frac{1}{2}r^2\theta$.

1. a) Desenvolve ambos os procedimentos passo a passo e verifica se ambos os técnicos obtêm o mesmo resultado numérico exato.
2. b) Analisa as vantagens e os inconvenientes de cada método. Qual dos dois resulta mais direto e coerente se a seguir for pedido para calcular a velocidade linear da água na extremidade, sabendo que o aspersor completa esse varrimento em $3\text{ s}$? Justifica a tua resposta utilizando a relação $v = \omega\cdot r$.

Projeta-se construir uma área de recreio infantil com a forma de um setor circular, a qual será vedada perimetralmente na sua totalidade (os dois bordos retilíneos correspondentes aos raios e o bordo curvo do arco) utilizando exatamente $36\text{ m}$ de vedação metálica.

1. a) Exprime a área $A$ do setor circular exclusivamente em função do raio $r$, eliminando o ângulo $\theta$ (em radianos) através da condição do perímetro total da vedação.
2. b) Se se decidir fixar o raio da zona em $r = 9\text{ m}$, determina o ângulo central $\theta$ que o setor deve ter (em radianos e em graus sexagesimais). Que fração exata do círculo completo representa essa zona?
3. c) Resolve o problema inverso: se se impuser que o ângulo central seja obrigatoriamente $\theta = 2\text{ rad}$, quanto deve medir o raio para consumir exatamente os $36\text{ m}$ de vedação? Demonstra que, com esse valor de ângulo central, o comprimento do arco curvo é sempre igual à soma dos dois raios retilíneos, seja qual for o comprimento total de vedação disponível.

Um farol marítimo projeta um feixe de luz que gira a uma velocidade angular constante de $4$ revoluções por minuto. O feixe ilumina a superfície do mar até uma distância máxima de $5$ km. Devido à orografia da costa, existe um setor cego de $\frac{2\pi}{5}$ radianos para o interior da terra onde a luz não é visível. Calcule a área total do mar que o farol ilumina em cada volta completa e o tempo exato em segundos que o feixe de luz leva para atravessar a zona visível.

Determine a hora exata, compreendida entre as 7:00 h e as 8:00 h, na qual os ponteiros de um relógio analógico (de horas e minutos) se encontram perfeitamente sobrepostos. Exprima também o ângulo total varrido pelo ponteiro das horas desde as 7:00 h até esse instante preciso, em radianos.

O raio das rodas de um automóvel é de $32$ cm. Se o veículo viaja a uma velocidade constante de $90$ km/h, calcule a velocidade angular das rodas expressa em radianos por segundo. Posteriormente, determine o ângulo total descrito por uma roda num trajeto de $15$ minutos e converta-o para número de voltas completas.

Um comboio de engrenagens é composto por três rodas dentadas A, B e C montadas em série, de modo que A engrena com B, e B engrena com C. Os raios primitivos das rodas são $R_A = 12$ cm, $R_B = 8$ cm e $R_C = 20$ cm. Se a roda A roda um ângulo de $150^\circ$ no sentido horário, determine o ângulo de rotação da roda C em radianos e indique o seu sentido de rotação.

No histórico experimento de Eratóstenes, observou-se que na cidade de Siena os raios solares incidiam perpendicularmente no solo (ângulo $0^\circ$) ao meio-dia do solstício de verão. Ao mesmo tempo, em Alexandria, situada aproximadamente a $800$ km a norte sobre o mesmo meridiano, os raios formavam um ângulo de $\frac{\pi}{25}$ radianos com a vertical. A partir exclusivamente destes dados, deduza o raio da Terra e o comprimento da sua circunferência meridiana.

Um rolo cilíndrico de $25$ cm de raio é utilizado para compactar o asfalto de uma rua. Ao empurrá-lo, o rolo avança em linha reta rolando sem deslizar e dá exatamente $14,5$ voltas completas. Calcule a distância horizontal percorrida pelo eixo do rolo, em metros, e o ângulo total rodado por qualquer ponto da sua superfície, expresso em graus sexagesimais.

Tem-se um setor circular inicial de raio $R$ e ângulo central $\alpha$ (em radianos). Projeta-se um novo setor circular com o objetivo de que a sua área seja exatamente igual à do setor original. Se por restrições de projeto o raio do novo setor deve ser o triplo do original ($3R$), determine algebricamente que fração do ângulo $\alpha$ deve ter o novo setor.

Um pêndulo de comprimento $L = 1$ metro oscila descrevendo arcos de circunferência; cada oscilação é o percurso de um extremo ao extremo oposto. Na sua primeira oscilação, o ângulo máximo que forma com a vertical é de $\frac{\pi}{6}$ radianos. Devido ao atrito, em cada oscilação posterior, o ângulo máximo atingido reduz-se em $10\%$ em relação à oscilação imediatamente anterior. Armando a soma da série geométrica infinita correspondente, calcule a distância total percorrida pela massa do pêndulo até parar por completo.

Num parque eólico situado no distrito de Bragança, um aerogerador de três pás dispõe de um rotor cujo raio (comprimento de cada pá) é de $65\text{ m}$. O rotor roda a uma velocidade angular constante de $14\text{ rpm}$ (rotações por minuto).

1. a) Modela a velocidade angular $\omega$ do rotor expressando-a em $\text{rad/s}$ (apresenta tanto a fração exata em múltiplos de $\pi$ como o valor decimal aproximado com três algarismos significativos).
2. b) Determina a velocidade linear $v$ a que se desloca a ponta exterior de cada pá em $\text{m/s}$ e converte-a para $\text{km/h}$. Compara fundamentadamente este resultado com a velocidade máxima permitida numa autoestrada portuguesa ($120\text{ km/h}$) e interpreta as exigências mecânicas que as extremidades das pás sofrem em relação às zonas próximas do eixo.
3. c) Um técnico de manutenção instala um sensor de vibração num ponto intermédio de uma pá. Se o sensor registar uma velocidade linear de exatamente $50\text{ km/h}$, calcula a que distância do eixo de rotação se encontra colocado e deduz o comprimento total do arco (em quilómetros) que esse sensor terá traçado após uma jornada ininterrupta de funcionamento de $8\text{ horas}$.

Durante uma etapa plana da Volta a Espanha em bicicleta, um ciclista rola numa bicicleta de competição cuja roda traseira tem um raio exterior total de $35\text{ cm}$ (incluindo o pneu). O sistema de transmissão é composto por um prato pedaleiro de raio $r_1 = 10,5\text{ cm}$ e um carreto traseiro de raio $r_2 = 4,2\text{ cm}$, unidos por uma corrente esticada e inextensível que não patina.

1. a) Deduz algebricamente a relação entre a velocidade angular do prato pedaleiro $\omega_{\text{prato}}$ e a velocidade angular da roda traseira $\omega_{\text{roda}}$, apoiando-te no facto de a corrente transmitir a mesma velocidade linear aos bordos de ambas as engrenagens ($v = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$). Raciocina se esta desmultiplicação mecânica multiplica a velocidade angular ou a força do ciclista.
2. b) A bicicleta rola pelo asfalto a uma velocidade linear de avanço constante de $42\text{ km/h}$. Através de uma abordagem inversa, calcula a velocidade angular da roda traseira em $\text{rad/s}$ e a cadência de pedalada do ciclista expressa em rotações por minuto (rpm).
3. c) Se o ciclista percorrer um troço retilíneo de $2,1\text{ km}$, calcula o ângulo total rodado pela roda traseira em radianos e o ângulo total rodado pelo eixo dos pedais em radianos. Verifica que o quociente entre ambos os ângulos coincide com a relação de transmissão deduzida na primeira alínea.