Exercícios: Função com raízes

Determine o domínio de definição da seguinte função com raiz de índice par:

$f(x) = \sqrt{3x - 12}$

Calcule o domínio de definição da função com raiz de índice ímpar:

$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$

Determine o domínio da função quadrática sob uma raiz quadrada:

$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$

Encontra os pontos de interseção com os eixos coordenados da função:

$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$

A partir da função $f(x) = \sqrt{x}$, escreva a expressão analítica da função $g(x)$ cujo gráfico é obtido ao deslocar $f(x)$ três unidades para a esquerda e duas unidades para cima. Qual é o domínio de $g(x)$?

A relação entre a área $A$ de um círculo e o seu raio $r$ é dada pela fórmula $A = \pi r^2$. Expresse o raio em função da área, $r(A)$, e indique o domínio de definição válido neste contexto geométrico.

Determine o domínio da função irracional que contém uma expressão racional:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$

Determine o domínio e o contradomínio da função com coeficiente principal negativo:

$f(x) = -\sqrt{x - 1}$

Num exame do 1.º ano do Ensino Secundário, o Hugo tem de calcular o domínio e os pontos de interseção com os eixos da função $f(x) = \dfrac{5}{\sqrt{6 - 2x}}$. O Hugo escreve na sua folha:

«Como há uma raiz quadrada, o radicando não pode ser negativo: $6 - 2x \ge 0 \implies -2x \ge -6 \implies x \le 3$. Portanto, $\text{Dom}(f) = (-\infty, 3]$. Além disso, para encontrar a interseção com o eixo $X$, igualo $6 - 2x = 0$, o que dá $x = 3$; portanto, a curva interseta o eixo das abcissas em $(3, 0)$».

1. a) Identifica os dois erros conceptuais cometidos pelo Hugo e explica fundamentadamente por que motivo estão incorretos de acordo com a definição de função com radicais em denominadores.
2. b) Apresenta a resolução corrigida: determina o domínio exato sob a forma de intervalo e demonstra se o gráfico interseta ou não cada um dos eixos de coordenadas.

Pretende-se conceber uma função da forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$ (com $a, b, c \in \mathbb{R}$) cujo gráfico seja uma semiparábola e que satisfaça simultaneamente as seguintes três condições:

1. O seu domínio de definição é o intervalo $[4, +\infty)$.

2. O seu contradomínio ou imagem é $(-\infty, 5]$.

3. O seu gráfico interseta o eixo das abcissas no ponto $(13, 0)$.

1. a) A partir exclusivamente das condições de domínio e contradomínio, deduz as coordenadas do vértice $(b, c)$ da semiparábola e justifica, sem efetuar cálculos numéricos, que sinal deve ter obrigatoriamente o coeficiente $a$.
2. b) Formula a equação correspondente com o ponto de interseção $(13, 0)$ e calcula o valor exato do parâmetro $a$.
3. c) Com a fórmula completa de $f(x)$, justifica analiticamente se a função é crescente ou decrescente no seu domínio.

O período $T$ (em segundos) de um pêndulo simples pode ser aproximado pela função $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, onde $L$ é o comprimento do pêndulo em metros. Calcule o comprimento necessário para que o período seja exatamente de $2$ segundos e indique o domínio teórico da função $T(L)$ neste contexto físico.

Determine o domínio de definição da função formada pela soma de duas raízes:

$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$

Calcule os pontos de interseção entre a função irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ e a função afim $g(x) = x + 1$.

Determine o domínio da função irracional cujo radicando é uma fração algébrica com um numerador quadrático:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$

O custo de produção $C(x)$, em euros, de $x$ peças de um componente eletrónico para satélites segue um modelo de rendimentos decrescentes dado por $C(x) = 2500 + 120\sqrt{x - 50}$. Determine o domínio válido para a função de custo e calcule quantas peças foram fabricadas se o custo total subiu para $4900$ euros.

Dada a função $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determine a sua função inversa $f^{-1}(x)$ e indique o domínio e o contradomínio dessa função inversa.

Calcule o domínio da função que contém uma raiz de índice par no denominador:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$

Observe o gráfico ao lado que representa uma função da forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determine os valores dos parâmetros $a$, $b$ e $c$ sabendo que o vértice da semiparábola se encontra no ponto $(2, 1)$ e passa pelo ponto $(6, -3)$.

De acordo com os relatórios periciais de segurança rodoviária da Autoridade Nacional de Segurança Rodoviária (ANSR), a velocidade estimada $v$ (em $\text{km/h}$) a que circulava um veículo antes de realizar uma travagem de emergência sobre piso seco pode ser aproximada através da função $v(d) = 15{,}8 \cdot \sqrt{d}$, onde $d$ é o comprimento da marca de travagem deixada no asfalto (em metros).

Num auto policial relativo a um incidente numa via com velocidade limitada a $90\text{ km/h}$, a marca de travagem medida tem exatamente $d = 30\text{ m}$.

1. a) Antes de calcular o valor exato com a calculadora, estima fundamentadamente a velocidade delimitando o valor de $v(30)$ entre duas dezenas consecutivas (pista: aproxima $\sqrt{30}$ comparando-o com os quadrados perfeitos inteiros mais próximos).
2. b) Calcula agora o valor numérico de $v(30)$ arredondado às décimas, compara-o com a tua estimativa e determina se o veículo infringia o limite de velocidade da via.
3. c) Se a marca de travagem tivesse o dobro do comprimento ($d = 60\text{ m}$), isso significaria que o carro circulava ao dobro da velocidade? Justifica a tua resposta analisando como varia a taxa de crescimento da função raiz quadrada à medida que a variável independente aumenta.

Num estudo técnico para atenuar o impacto sonoro de uma linha ferroviária de alta velocidade em Trás-os-Montes, os engenheiros modelam a atenuação acústica $A(x)$ (em decibéis, $\text{dB}$) proporcionada por uma barreira vegetal através da função:

onde $x$ representa a distância de separação entre a barreira e o eixo da via-férrea (em metros).

1. a) Modela as condições matemáticas que a raiz exige para existir em $\mathbb{R}$: formula e resolve a inequação fracionária que determina o domínio de definição de $A(x)$. Explica detalhadamente por que motivo o extremo $x = 5$ deve ficar excluído do domínio, enquanto o extremo $x = 25$ está incluído.
2. b) Interpreta o significado físico do valor extremo $x = 25\text{ m}$: que atenuação sonora proporciona a barreira a essa distância, segundo o modelo?
3. c) Um técnico sugere instalar a barreira defletora a $x = 30\text{ m}$ da via para facilitar a passagem de maquinaria. Utiliza a teoria de funções com radicais para justificar por que razão essa proposta é inviável segundo o modelo matemático adotado.

Determine os valores do parâmetro $k$ para os quais o domínio da função $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ é todo o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$.

Na teoria da relatividade restrita, o fator de Lorentz $\gamma$ depende da velocidade $v$ de um objeto segundo a função $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, onde $c$ é a velocidade da luz no vácuo (aproximadamente $3 \cdot 10^8$ m/s). Determine o domínio da função $\gamma(v)$ e interprete fisicamente o que acontece com a função quando $v$ se aproxima dos extremos desse domínio.

Determine o domínio de definição da função aninhada:

$f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$

Inscreve-se um retângulo na região delimitada pelo eixo das abcissas e pela semicircunferência superior de raio $R = 5$, cuja equação é $y = \sqrt{25 - x^2}$. Exprime o perímetro do retângulo $P(x)$ em função da coordenada $x$ do vértice situado no primeiro quadrante. Determina o domínio válido de $P(x)$ neste contexto geométrico e calcula o seu valor para $x = 3$.

Determine o domínio da função irracional que contém uma expressão racional em que o numerador e o denominador têm raízes comuns:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 + x - 2}}$

Dada a função $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcule a sua função inversa $f^{-1}(x)$ restringindo o domínio original ao intervalo $(-\infty, 0]$. Indique claramente o domínio e o contradomínio da função inversa obtida.

Resolva a inequação associada ao domínio da função $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ e expresse-o na forma de intervalo.

Uma empresa de engenharia estima que a receita $I(x)$ e os custos $C(x)$ diários, em milhares de euros, ao fabricar $x$ toneladas de um material composto são dados por $I(x) = x\sqrt{40 - x}$ e $C(x) = 2x + 5$. Determine o domínio da função lucro $B(x) = I(x) - C(x)$ no contexto do problema e calcule se a empresa obtém lucros ou prejuízos ao fabricar $15$ toneladas.

Para resolver a equação irracional $\sqrt{2x - 6} = 4 - \sqrt{x - 1}$, dois alunos do 1.º ano do Ensino Secundário propõem caminhos completamente diferentes:

• Método da Lucía (algébrico): Reescrever a equação como $\sqrt{2x - 6} + \sqrt{x - 1} = 4$, isolar um radical, elevar ambos os membros ao quadrado duas vezes consecutivas, resolver a equação polinomial do segundo grau resultante e verificar as soluções obtidas.

• Método do Marcos (analítico e funcional): Estudar o domínio conjunto de existência de ambas as expressões, analisar a monotonia (crescimento e decrescimento) das funções $f(x) = \sqrt{2x - 6}$ e $g(x) = 4 - \sqrt{x - 1}$ para deduzir quantas soluções reais pode haver, no máximo, e, a partir daí, testar diretamente valores inteiros dentro do intervalo admissível.

1. a) Desenvolve completamente o método da Beatriz: apresenta o passo a passo algébrico, obtém as duas soluções da equação quadrática final e fundamenta por que motivo uma delas é falsa (solução estranha) introduzida pelo processo de elevação ao quadrado.
2. b) Desenvolve o método do Marcos: determina o domínio comum, demonstra por que razão $f$ é estritamente crescente e $g$ é estritamente decrescente nesse domínio, justifica quantos pontos de interseção podem ter, no máximo, e determina a solução exata.
3. c) Compara ambos os métodos: avalia que riscos algébricos apresenta o caminho da Beatriz face ao caminho funcional do Marcos e justifica em que tipo de problemas com raízes o método funcional se revela mais potente.

Considera a família de funções com raiz aninhada definida por:

onde $k$ é um parâmetro real constante.

1. a) Demonstra formalmente que, se $k < 0$, o domínio da função é o conjunto vazio ($\text{Dom}(f_k) = \emptyset$). Em seguida, analisa o que acontece no caso de fronteira $k = 0$: o domínio continua a ser vazio ou é formado por pontos isolados? Justifica a tua resposta resolvendo as inequações correspondentes.
2. b) Para qualquer valor fixo $k > 0$, deduz a expressão geral do domínio de $f_k(x)$ em função de $k$, expressando-o como a união de dois intervalos fechados simétricos em relação à origem das coordenadas.
3. c) (Problema inverso) Determina de forma fundamentada o valor exato do parâmetro $k > 0$ necessário para que o domínio da função seja formado por dois intervalos fechados disjuntos cujo comprimento total combinado (soma das amplitudes de ambos os intervalos) seja exatamente igual a $6$ unidades.