Exercícios: Função polinômica

Determine as coordenadas do vértice e a equação do eixo de simetria da função quadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Encontra a expressão analítica da função afim que passa pelos pontos $A(2, -3)$ e $B(5, 6)$.

Calcule analiticamente os pontos de interseção com os eixos coordenados da função polinomial $p(x) = x^3 - 4x$.

A altura em metros de um drone de observação em função do tempo em segundos é dada pela expressão $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcule a altura em que o drone se encontra nos instantes $t = 1$ e $t = 3$.

Indique se a parábola dada pela função $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ tem a concavidade voltada para baixo (ramos para baixo) ou para cima (ramos para cima) e calcule as coordenadas exatas do seu vértice.

Analise o comportamento no infinito (ramos infinitos) da função polinomial $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando o valor dos seus limites quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Encontre as raízes da função polinomial de segundo grau $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

Calcule o valor do parâmetro $c$ para que a função quadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ passe pelo ponto $(-1, 10)$.

O Marcos quer determinar a imagem (ou contradomínio) da função polinomial quadrática $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$. Para isso, calcula a abcissa do vértice aplicando a fórmula $x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$, determina a sua ordenada calculando $f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$, e conclui no seu exame: «Como o vértice está em $(1, 3)$, a função começa em $y = 3$ e sobe indefinidamente, pelo que a sua imagem é $[3, +\infty)$».\n\na) Indica o erro conceptual que o Marcos comete e explica que propriedade da parábola ele ignorou.\nb) Corrige o seu raciocínio justificando a curvatura (concavidade) a partir do sinal do coeficiente principal.\nc) Escreve a imagem correta da função.

Numa estação meteorológica do IPMA no distrito da Guarda, a temperatura $T$ (em graus Celsius) durante uma madrugada gelada é modelada segundo a função quadrática $T(t) = 0,5t^2 - 4t + 3$, onde $t$ representa o tempo em horas decorridas desde a meia-noite ($0 \le t \le 8$).\n\na) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico, estima fundamentadamente a partir dos sinais e grandezas dos coeficientes se a temperatura mínima será atingida no início da noite (antes das 2:00 h) ou por volta de metade do período, e se essa temperatura chegará a ser negativa.\nb) Calcula com exatidão as coordenadas do vértice da parábola para determinar a hora em que se regista o valor mínimo e a temperatura exata atingida.\nc) Compara o resultado analítico obtido com a tua estimativa inicial e avalia se o modelo reflete um comportamento meteorológico verosímil para essa faixa horária.

Encontra a equação da parábola cujo vértice é o ponto $V(3, -2)$ e que passa pelo ponto $P(5, 6)$. Exprime o resultado na forma $y = ax^2 + bx + c$.

Um agricultor dispõe de $100$ metros de cerca para vedar uma horta retangular aproveitando a margem reta de um rio, por isso não precisa de colocar cerca nesse lado. Expresse a área da horta em função da largura $x$ perpendicular ao rio e determine as dimensões que maximizam essa área.

Um projétil é lançado para cima de forma que a sua altura em metros em relação ao tempo em segundos segue a função $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcule a altura máxima atingida pelo projétil e o instante de tempo em que ela ocorre.

Determine os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da função polinomial de segundo grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(0, 3)$, $(1, 4)$ e $(-1, 6)$.

O preço de venda em euros de um artigo em função do número de unidades $x$ procuradas no mercado é dado pela função $p(x) = 120 - 2x$. Escreva a função de receita total $R(x)$ e calcule quantas unidades devem ser vendidas para maximizar a receita.

Calcule analiticamente os pontos de interseção entre a parábola $y = x^2 - 4x + 3$ e a reta $y = 2x - 5$.

Dada a função quadrática $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, determine de forma fundamentada os seus intervalos de crescimento e decrescimento.

Encontre as raízes da função polinomial $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ e estude o seu sinal em toda a reta real, indicando os intervalos onde a função é positiva e negativa.

Determina a expressão analítica de uma função polinomial $P(x)$ de grau 4 que cumpra simultaneamente as seguintes condições:\n\n1. É uma função par.\n2. Tem exatamente três raízes reais distintas, sendo uma delas $x = 2$.\n3. O seu gráfico interseta a reta horizontal $y = 12$ no ponto de abcissa $x = 1$.\n\na) Deduz quais devem ser obrigatoriamente as outras duas raízes reais de $P(x)$, justificando a tua dedução a partir da simetria das funções pares e da definição de raiz.\nb) Escreve a forma fatorizada de $P(x)$ e calcula o valor do seu coeficiente principal utilizando a condição do ponto dado.\nc) Desenvolve o polinómio e descreve o seu comportamento nos extremos (quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$) justificando-o através do grau e do sinal do coeficiente principal.

Uma empresa de transporte interurbano que assegura a ligação entre Lisboa e Santarém cobra atualmente $10\text{ euros}$ por bilhete e regista uma média de $1200$ passageiros diários. De acordo com um estudo de mercado, por cada redução de $0,50\text{ euros}$ no preço do bilhete, a empresa atrai $100$ novos passageiros por dia.\n\na) Modela a função da receita diária $I(x)$ em função do número $x$ de reduções de $0,50\text{ euros}$ aplicadas. Determina o domínio de definição de $x$ que faz sentido físico e económico neste contexto real.\nb) Justifica analiticamente, utilizando as propriedades do vértice da função polinomial obtida, qual deve ser o preço final do bilhete para maximizar a receita diária e a quanto ascenderá essa receita.\nc) Se a empresa decidisse fixar uma tarifa promocional agressiva de apenas $2\text{ euros}$ por bilhete, que receita preveria o modelo? Explica por que razão este modelo quadrático deixa de ser realista para reduções de preço tão extremas.

Encontra a expressão analítica de um polinómio de terceiro grau $P(x)$ cujas únicas raízes são $x = -2$, $x = 1$ e $x = 4$, sabendo também que o seu gráfico interseta o eixo das ordenadas no ponto $(0, 16)$.

Uma empresa de tecnologia vende $x$ unidades de um determinado componente eletrónico. O preço unitário de venda modelado em euros é $p(x) = 200 - 0,5x$. Os custos totais de produção seguem a função $C(x) = 5000 + 20x$. Expresse a função de lucro $B(x)$, determine o número de unidades que maximiza o lucro e calcule a quanto ascende esse lucro máximo.

Determine os valores do parâmetro $m$ para os quais a reta de equação $y = mx - 4$ é tangente à parábola $y = x^2 - 3x + 5$.

O cabo principal de uma ponte suspensa adota a forma de uma parábola. A distância horizontal entre as torres de sustentação é de $120$ metros e o ponto mais baixo do cabo encontra-se a $20$ metros abaixo do ponto de fixação nas torres. Tomando como origem de coordenadas o ponto mais baixo do cabo, determine a equação da parábola e calcule a altura do cabo a $30$ metros do centro.

Uma função polinomial de terceiro grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ é ímpar. Sabendo que passa pelos pontos $(1, -4)$ e $(2, 4)$, determine a sua expressão analítica e calcule todos os seus pontos de interseção com os eixos coordenados.

Dispõe-se de uma placa de cartão retangular de $40$ cm de comprimento por $30$ cm de largura. Pretende-se construir uma caixa sem tampa recortando um quadrado de lado $x$ em cada um dos cantos e dobrando as abas resultantes. Exprima o volume $V(x)$ da caixa como uma função polinomial, indique qual é o seu domínio válido no contexto deste problema geométrico e calcule o volume se for recortado um quadrado de $5$ cm de lado.

Calcule o conjunto de valores do parâmetro $k$ para que a função polinomial $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ tenha exatamente duas raízes reais distintas.

Considera a família de funções quadráticas da forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sabendo que o gráfico passa pela origem das coordenadas e que o seu vértice se encontra sobre a reta $y = -x - 2$, encontra a expressão analítica da função ou funções que cumprem estas condições.

Para estudar o crescimento, o decrescimento e o contradomínio da função quadrática $f(x) = 3(x - 5)^2 - 12$, três alunos propõem métodos diferentes:\n\n- A Beatriz propõe desenvolver a expressão para a forma geral $f(x) = ax^2 + bx + c$, calcular a abcissa do vértice através da fórmula $x_v = -\dfrac{b}{2a}$, e depois determinar $f(x_v)$.\n- O David sustenta que não é preciso desenvolver nada: observa que $(x - 5)^2 \ge 0$ para qualquer número real e propõe ler diretamente as coordenadas do vértice a partir da expressão dada na forma canónica.\n- O Afonso propõe resolver a equação $f(x) = 0$ para encontrar os dois pontos de interseção com o eixo dos $X$ e calcular a média aritmética de ambos para situar o eixo de simetria da parábola.\n\na) Aplica os três procedimentos para determinar o vértice e o contradomínio de $f(x)$.\nb) Compara os três métodos em termos de economia de cálculo e robustez. Justifica qual é o mais eficiente neste caso concreto.\nc) Considera agora a função $g(x) = 3(x - 5)^2 + 12$. Analisa qual dos três métodos ficaria invalidado se trabalhássemos exclusivamente com números reais e explica por que razão o raciocínio do David é conceptualmente superior para justificar o mínimo absoluto da parábola.

Numa aula de revisão sobre funções polinomiais cúbicas do tipo $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ com $a \neq 0$, o Daniel formula duas afirmações categóricas:\n\n- Afirmação 1: «Como qualquer polinómio cúbico com $a > 0$ tende para $-\infty$ pela esquerda e para $+\infty$ pela direita, o seu gráfico tem de intersetar sempre três vezes o eixo das abcissas».\n- Afirmação 2: «Se anularmos o termo independente ($d = 0$), a função resultante $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ passa pela origem e, portanto, é sempre uma função ímpar com simetria em relação à origem».\n\na) Refuta a Afirmação 1 propondo um contraexemplo explícito de polinómio cúbico com $a > 0$ que intersete o eixo dos $X$ num único ponto, e justifica através do seu comportamento estritamente crescente por que razão não pode ter mais raízes reais.\nb) Demonstra analiticamente que a Afirmação 2 é falsa verificando se se cumpre ou não a identidade $f(-x) = -f(x)$ para $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$. Que condição necessária e suficiente deve cumprir o coeficiente $b$ para que a função seja realmente ímpar?\nc) Constrói a expressão algébrica de um polinómio cúbico com coeficiente principal $a = 1$ que seja simétrico em relação ao ponto $(2, 5)$ e cuja única raiz real seja $x = 0$. Justifica passo a passo como transladas as condições geométricas para os coeficientes do polinómio.