Exercícios: Sequências de números reais

Observe as seguintes listas ordenadas de números. A tua tarefa é identificar a regra lógica que cada uma segue e escrever os três termos que dão continuidade à sucessão:

• a) $2, 4, 6, 8, \dots$

• b) $1, 4, 9, 16, \dots$

• c) $10, 7, 4, 1, \dots$

• d) $3, 6, 12, 24, \dots$

Em matemática, utilizamos fórmulas para definir o valor de qualquer posição numa sucessão sem ter de escrever toda a lista. Isto chama-se termo geral ($a_n$).

Calcule os quatro primeiros termos ($a_1, a_2, a_3, a_4$) e o termo que ocupa a posição 10 ($a_{10}$) para as seguintes sucessões definidas pelo seu termo geral:

• a) $a_n = 3n + 1$

• b) $b_n = n^2 - 2$

As sucessões muitas vezes surgem de padrões geométricos. Observe a imagem seguinte, que mostra como cresce um triângulo formado por pontos.

Conte o número de pontos de cada figura para formar uma sucessão numérica.

1. Escreva os 4 primeiros termos dessa sucessão.

2. Quantos pontos terá a figura 5?

3. Sem desenhar, é possível dizer quantos pontos são adicionados para passar da figura 4 para a figura 5?

Imagina que estás a treinar para uma corrida de longa distância. O treinador anota os quilómetros corridos em cada semana para acompanhar o teu progresso. A lista das últimas 6 semanas é a seguinte:

Considerando esta lista como uma sucessão numérica ($a_n$):

1. Qual é o valor do termo $a_1$? O que representa no contexto do treino?

2. Qual é o valor do termo $a_4$?

3. Se mantiveres o mesmo ritmo de aumento, quantos quilómetros correrás na semana 7 ($a_7$)?

Relacione no seu caderno cada uma das seguintes sucessões com o seu termo geral correto. Considere que $n$ representa a posição (1, 2, 3...).

Sucessões:

• A: $2, 4, 6, 8, \dots$

• B: $1, 3, 5, 7, \dots$

• C: $5, 10, 15, 20, \dots$

• D: $1, 4, 9, 16, \dots$

Termos gerais:

• 1: $a_n = 2n - 1$

• 2: $a_n = n^2$

• 3: $a_n = 2n$

• 4: $a_n = 5n$

Às vezes, para saber o valor de um termo, precisamos de conhecer o anterior. Isto chama-se lei de recorrência.

Dada uma sucessão em que o primeiro termo é $a_1 = 5$ e a regra para obter os seguintes é:

(Isto significa: "o termo atual é igual ao termo anterior mais 3").

Calcule os termos $a_2, a_3, a_4$ e $a_5$.

Um "streamer" de videojogos decide começar a poupar para comprar um novo equipamento.

No primeiro mês poupa 50 €, no segundo mês poupa 100 €, no terceiro mês poupa 200 € e no quarto mês poupa 400 €.

1. Escreve a sucessão formada pelo dinheiro poupado cada mês.

2. Observas alguma regularidade? Que operação fazes para passar de um mês para o seguinte?

3. Calcula quanto poupará no mês 5 e no mês 6 se mantiver esta tendência.

Nem todas as sucessões são formadas por números inteiros (como 1, 2, 3...). Também podem ter frações ou números decimais. Observa a seguinte sucessão de números reais:

1. Escreve os três termos seguintes.

2. Qual achas que é o termo geral $a_n$? Escolhe a opção correta:

   • Opção A: $a_n = \frac{1}{n}$

   • Opção B: $a_n = \frac{1}{n+1}$

   • Opção C: $a_n = n + 1$

A Marta quer descobrir se o número 39 faz parte da sucessão cujo termo geral é $a_n = 5n - 6$. No seu exame escreve o seguinte:

«Para verificar, calculo $a_{39} = 5 \cdot 39 - 6 = 195 - 6 = 189$. Como a operação dá um resultado exato, concluo que o número 39 pertence sim à sucessão e ocupa a posição 189».

1) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual que a Marta cometeu ao confundir o índice de posição $n$ com o valor do termo $a_n$.

2) Formula e resolve a equação adequada para determinar se o número 39 pertence realmente à sucessão, indicando que posição ocupa se a resposta for afirmativa.

3) Justifica se o número 50 pertence ou não a esta mesma sucessão, tendo em conta que tipo de números devem ser obrigatoriamente os índices de posição $n$.

Delineia o termo geral $a_n$ de uma sucessão de números reais que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. O seu primeiro termo é uma fração concreta: $a_1 = \frac{1}{2}$.

2. Todos os termos são estritamente positivos e cada termo é menor do que o anterior (ou seja, $a_1 > a_2 > a_3 > \dots > 0$).

3. À medida que a posição $n$ se torna muito grande, os termos aproximam-se cada vez mais de 0, mas sem nunca chegarem a ser zero nem a tomar valores negativos.

Escreve a expressão algébrica do teu termo geral $a_n$, verifica que cumpre as condições calculando de forma explícita os termos $a_1, a_2, a_3$ e $a_4$, e justifica brevemente por que razão nenhum termo da tua fórmula poderá alguma vez ser igual a 0.

Dada a sucessão cujo termo geral é dado pela expressão algébrica $a_n = \frac{n^2 - 1}{n + 1}$, calcule os quatro primeiros termos e o termo que ocupa a posição 15. Observa-se alguma curiosidade ao simplificar a expressão algébrica inicial?

A seguir, são apresentadas várias sucessões numéricas que seguem um padrão lógico. A tua tarefa consiste em identificar a regra de formação e escrever os três termos seguintes para cada uma:

• a) $4, \ 7, \ 10, \ 13, \ ...$

• b) $3, \ -6, \ 12, \ -24, \ ...$

• c) $1, \ 4, \ 9, \ 16, \ 25, \ ...$

• d) $\frac{1}{2}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{4}{5}, \ ...$

Observe a seguinte construção geométrica formada por palitos de fósforo.

1. Desenhe no seu caderno a Figura 4 seguindo a mesma lógica de construção.

2. Escreva a sucessão numérica que representa o número total de palitos de fósforo necessários para construir cada figura ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

3. Descreva com as suas próprias palavras como aumenta o número de palitos de fósforo ao passar de uma figura para a seguinte.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma sucessão é definida por uma lei de recorrência quando os seus termos são obtidos operando com os anteriores. Considere a sucessão definida da seguinte maneira:

• O primeiro termo é $a_1 = 2$.

• O segundo termo é $a_2 = 3$.

• Qualquer termo seguinte é calculado multiplicando os dois termos imediatamente anteriores: $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$.

Calcule os termos $a_3, a_4, a_5$ e $a_6$. Achas que esta sucessão cresce depressa ou devagar?

Num supermercado, um funcionário está a empilhar latas de conserva, formando uma estrutura triangular para uma promoção.

• Na fila superior (fila 1), coloca 1 lata.

• Na fila imediatamente inferior (fila 2), coloca 3 latas.

• Na fila 3, coloca 5 latas.

• Na fila 4, coloca 7 latas.

Escreve a sucessão que representa o número de latas por fila e encontra uma fórmula geral ($a_n$) que permita saber quantas latas haverá na fila $n$ sem teres de as contar uma a uma.

Encontre o termo geral ($a_n$) das seguintes sucessões. Considere que algumas podem ser progressões aritméticas, geométricas ou de quadrados perfeitos:

• a) $5, \ 10, \ 15, \ 20, \ ...$

• b) $3, \ 6, \ 12, \ 24, \ ...$

• c) $\frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \ \frac{1}{16}, \ ...$

• d) $1, \ 8, \ 27, \ 64, \ ...$

Beatriz está a treinar para uma maratona. No primeiro dia, corre durante 15 minutos. O seu treinador preparou um plano em que, em cada dia, deve correr 4 minutos a mais do que no dia anterior.

1. Escreva a sucessão que representa os minutos que a Beatriz corre durante os primeiros 5 dias.

2. Se mantiver esse plano de treino, quantos minutos terá de correr no dia número 20? Utilize o termo geral para calcular.

Temos uma sucessão cujo termo geral é $b_n = n^2 - 3n + 2$.

1. Calcule os 5 primeiros termos.

2. Existe algum termo da sucessão que seja igual a 0? Se sim, que posição ou posições ocupa? Justifique a sua resposta resolvendo a equação correspondente.

Numa cidade portuguesa, o serviço municipal de aluguer de bicicletas elétricas aplica a seguinte tarifa para utilizadores não assinantes: ao desbloquear a bicicleta cobra-se uma tarifa base de $0,70$ €, que cobre os primeiros 15 minutos de trajeto. A partir daí, por cada novo intervalo de 15 minutos (ou fração) que comece, adicionam-se $0,40$ € ao custo total.

Definimos a sucessão $C_n$ como o valor total em euros a pagar por um trajeto que dura $n$ intervalos de 15 minutos (em que $n = 1$ corresponde a uma viagem de até 15 minutos, $n = 2$ a uma viagem de entre 16 e 30 minutos, etc.).

1) Escreve os quatro primeiros termos da sucessão: $C_1, C_2, C_3$ e $C_4$.

2) Deduz a expressão algébrica do termo geral $C_n$ em função do número de intervalos $n$.

3) Um utilizador consulta o extrato bancário da aplicação e vê que lhe cobraram exatamente $3,50$ € por uma única viagem. Formula a equação correspondente com o termo geral, determina o valor de $n$ e interpreta o resultado indicando entre que minutos esteve compreendida a duração da sua deslocação.

Define-se uma sucessão de números reais através da seguinte lei de recorrência: o seu primeiro termo é $a_1 = 3$ e cada termo seguinte obtém-se multiplicando o anterior por 2 e subtraindo 1, ou seja, $a_n = 2 \cdot a_{n-1} - 1$ para todo o $n \ge 2$.

1) Estima: Sem realizar cálculos longos no papel, estima de forma intuitiva se o décimo termo ($a_{10}$) ultrapassará o valor de $1\,000$. Justifica brevemente em que te baseias para a tua previsão.

2) Calcula: Obtém de forma ordenada os cinco primeiros termos da sucessão ($a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$) aplicando passo a passo a lei de recorrência.

3) Deduz e verifica: Compara os valores obtidos com as potências de dois ($2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32, \dots$). Deduz uma fórmula direta para o termo geral $a_n$ em função de $n$, calcula com ela o valor exato de $a_{10}$ e avalia se a tua estimativa inicial foi acertada.

Observe a seguinte construção de figuras geométricas formada por pequenos quadrados.

• A Figura 1 é um único quadrado central.

• A Figura 2 é formada adicionando um quadrado em cada lado livre da figura anterior (acima, abaixo, à esquerda, à direita).

• A Figura 3 segue o mesmo padrão, adicionando quadrados apenas nos lados exteriores livres da figura anterior.

Pede-se:

1. Desenhe no seu caderno a Figura 4.

2. Escreva a sucessão formada pelo número total de quadrados das 5 primeiras figuras.

3. Raciocine e encontre uma expressão algébrica para o termo geral $a_n$ que permita calcular o número de quadrados da figura que ocupa a posição $n$.

4. Calcule quantos quadrados teria a Figura 20 sem necessidade de a desenhar.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estuda as seguintes sucessões de números reais. É preciso identificar o padrão lógico de construção e encontrar o termo geral $a_n$ em função de $n$ para cada uma delas.

• Sequência A: $0, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{4}, \frac{24}{5}, \dots$

• Sequência B: $-2, 4, -8, 16, -32, \dots$

• Sequência C: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$

Em informática e no desenho de algoritmos é comum deparar-se com a sucessão de Collatz, também conhecida como a conjetura $3n+1$. Embora pareça simples, é um dos problemas em aberto mais famosos da matemática.

A regra de formação é recorrente. Dado um número natural inicial $a_1$, os termos seguintes obtêm-se assim:

• Se o termo anterior $a_{n-1}$ é par, o seguinte é a metade: $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$.

• Se o termo anterior $a_{n-1}$ é ímpar, o seguinte obtém-se multiplicando por 3 e somando 1: $a_n = 3 \cdot a_{n-1} + 1$.

• Escreve a sucessão completa começando em $a_1 = 13$ até chegares ao número 1.

• Quantos termos tem a sucessão gerada (comprimento da órbita) até alcançar o 1 pela primeira vez?

• Verifica o que acontece se continuares a aplicar a regra depois de teres chegado ao 1. Descreve o ciclo que se forma.

Temos um polígono regular de $n$ lados. Queremos estudar a sucessão formada pelo número total de diagonais que esse polígono possui à medida que o seu número de lados aumenta.

• $a_3$ (triângulo, 3 lados): 0 diagonais.

• $a_4$ (quadrado, 4 lados): 2 diagonais.

• $a_5$ (pentágono, 5 lados): 5 diagonais.

• Desenhe um hexágono regular ($n=6$) e trace todas as suas diagonais. Qual é o valor de $a_6$?

• Observe que para passar de $a_3$ para $a_4$ somamos 2; de $a_4$ para $a_5$ somamos 3; de $a_5$ para $a_6$ somamos 4. Seguindo esse padrão de crescimento, calcule quantas diagonais terá um decágono ($n=10$).

• O termo geral dessa sucessão é dado pela fórmula quadrática $a_n = \frac{n(n-3)}{2}$. Utilize essa fórmula para verificar o seu resultado da alínea anterior.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Considere a sucessão definida pela seguinte lei de recorrência:

Esta é a famosa Sucessão de Fibonacci.

1. Calcule os 10 primeiros termos da sucessão.

2. Vamos estudar o comportamento do quociente (divisão) entre dois termos consecutivos. Calcule os seguintes valores com 4 casas decimais:

   • $\frac{a_2}{a_1}$

   • $\frac{a_3}{a_2}$

   • $\frac{a_6}{a_5}$

   • $\frac{a_{10}}{a_9}$

3. Observas que os resultados se aproximam de um número específico? Investiga de que número irracional famoso se aproxima a divisão de termos consecutivos dessa sucessão quando $n$ é muito grande.

Imagina um jogo de plataformas em 2D. A personagem encontra-se no fundo de uma escada de $n$ degraus.

A personagem tem duas formas de subir:

• Subir 1 degrau num salto.

• Subir 2 degraus num supersalto.

Queremos saber de quantas formas diferentes ($F_n$) ele pode chegar ao topo da escada.

• Se houver 1 degrau ($n=1$): Só há 1 forma (salto de 1). $F_1 = 1$.

• Se houver 2 degraus ($n=2$): Pode fazer (1+1) ou (2). Há 2 formas. $F_2 = 2$.

• Se houver 3 degraus ($n=3$): Pode fazer (1+1+1), (1+2) ou (2+1). Há 3 formas. $F_3 = 3$.

• Calcula de quantas formas diferentes se pode subir uma escada de 4 degraus ($F_4$) e de 5 degraus ($F_5$). Descreve-as (por exemplo: 1+2+1+1).

• Encontra a relação existente entre $F_n$, $F_{n-1}$ e $F_{n-2}$.

• Se a escada tivesse 10 degraus, de quantas formas diferentes seria possível subi-la?

Define-se o Triângulo de Sierpinski mediante um processo iterativo (que se repete) de eliminação de áreas.

Partimos de um triângulo equilátero preto de área $A = 64 \text{ cm}^2$ (Iteração 0).

• Iteração 1: Unimos os pontos médios dos lados e recortamos o triângulo central invertido (esse triângulo branco é eliminado). Restam 3 triângulos pretos menores.

• Iteração 2: Repetimos o processo com cada um dos 3 triângulos pretos restantes.

Pede-se:

1. Escreva a sucessão $T_n$ que representa o número de triângulos pretos em cada passo (passo 0, passo 1, passo 2, passo 3). Que tipo de sucessão é essa?

2. Escreva a sucessão $S_n$ que representa a área preta total que resta na figura em cada passo.

3. Calcule qual a área preta que restará na figura após realizar a iteração número 5.

Observa a seguinte sucessão de números periódicos:

Embora pareça que simplesmente "se adicionam uns", vamos analisar o seu valor fracionário.

1. Escreve os três primeiros termos da sucessão sob a forma de fração irredutível.

2. Encontra o termo geral $a_n$ expresso como fração.

3. Calcula a soma dos dois primeiros termos $a_1 + a_2$ e expressa o resultado como fração.

4. Investiga e raciocina: o termo $a_n$ varia quando $n$ é um número muito grande (por exemplo, com 100 uns) ou mantém-se constante? Justifica a tua resposta.

Para calcular o termo que ocupa a posição número 80 ($a_{80}$) na sucessão que começa por $5, 11, 17, 23, 29, \dots$, dois estudantes do 3.º ano do ESO propõem caminhos diferentes:

• Método A (Hugo): Define a sucessão mediante uma lei de recorrência: $a_1 = 5$ e $a_n = a_{n-1} + 6$, e propõe usar uma folha de cálculo ou calcular à mão sucessivamente cada termo até chegar à posição 80.

• Método B (Lucía): Procura uma expressão algébrica direta para o termo geral $a_n$ em função da posição $n$, e calcula $a_{80}$ substituindo diretamente $n = 80$.

1) Aplica o método da Lucía: deduz fundamentadamente a fórmula do termo geral $a_n$ a partir da regularidade dos termos dados e calcula o valor exato de $a_{80}$.

2) Compara criticamente ambos os métodos: em que situação prática seria preferível ou mais intuitivo utilizar o método do Hugo, e por que razão para responder à pergunta colocada o método da Lucía é significativamente mais vantajoso?

3) Analisa a sucessão de Fibonacci ($1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$). Explica por que razão no 3.º ano do ESO não é viável utilizar o método da Lucía com esta sucessão e é indispensável recorrer à lei de recorrência.

Um laboratório biomédico em Lisboa analisa a proliferação de uma cultura celular disposta numa placa com uma estrutura geométrica concêntrica:

• Na etapa inicial ($n = 1$) há uma única célula central ($c_1 = 1$).

• Na etapa $n = 2$, em redor da célula central forma-se um primeiro anel com 8 células novas ($c_2 = 8$).

• Na etapa $n = 3$, o anel exterior seguinte requer 16 células novas ($c_3 = 16$).

• Na etapa $n = 4$, o anel exterior seguinte necessita de 24 células novas ($c_4 = 24$).

Seja $c_n$ a sucessão que indica o número de células novas adicionadas exclusivamente no anel exterior da etapa $n$ (para $n \ge 2$).

1) Escreve a lei de recorrência que relaciona $c_n$ com $c_{n-1}$ para $n \ge 3$, e encontra a expressão algébrica direta do termo geral $c_n$ em função de $n$ válida para todo o $n \ge 2$.

2) Problema inverso: O microscópio do laboratório só permite observar com nitidez um anel exterior se este tiver no máximo 200 células. Formula a inequação correspondente e calcula qual é a etapa $n$ mais avançada que pode ser observada de forma completa e quantas células exatas terá esse anel exterior.

3) Demonstração algébrica: Um investigador conjetura que a soma de células novas de dois anéis exteriores consecutivos quaisquer, $c_n + c_{n+1}$ (com $n \ge 2$), é sempre um múltiplo de 8 mas nunca pode ser um múltiplo de 16. Demonstra algebricamente se a afirmação do investigador é verdadeira ou falsa analisando a expressão resultante dessa soma.

Desafio do tema. Até onde vai um ressalto? Modela a física da tua bola favorita aplicando sucessões de números reais.

1. Recolha de dados: Deixa cair uma bola de $100\text{ cm}$ de altura junto a uma parede marcada com uma fita métrica. Grava em câmara lenta com o teu telemóvel e anota a altura máxima alcançada nos primeiros 4 ressaltos ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

2. Modelação: Numa folha de cálculo ou no GeoGebra, regista os teus dados e calcula os quocientes entre termos consecutivos ($a_{n}/a_{n-1}$) para obteres a razão média $r$ (usa decimais com vírgula, como $0,75$). Escreve o termo geral da tua progressão: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

3. Análise e previsão: Prevê a altura do oitavo ressalto e calcula a soma infinita das alturas $S = \frac{a_1}{1-r}$ e, a partir dela, a distância vertical teórica total percorrida nos ressaltos, $2S$ (cada ressalto é uma subida e uma descida).

4. Relatório final: Elabora um documento breve com a tua tabela, o gráfico da sucessão e uma conclusão fundamentada: por que razão a bola para, na prática, mais cedo do que o previsto pelo modelo matemático?

Será valorizado:

• Rigor na obtenção da razão $r$, na fórmula do termo geral e na soma.

• Uso correto da folha de cálculo ou do GeoGebra para tabular e representar graficamente a sucessão.

• Justificação crítica das diferenças entre o modelo teórico e a realidade física.