Exercícios: Progressões geométricas

Analisa as seguintes sucessões numéricas. A tua tarefa é identificar quais delas são progressões geométricas. Para as que forem, indica qual é a sua razão ($r$).

1. a) $2, 6, 18, 54, \dots$
2. b) $5, 10, 15, 20, \dots$
3. c) $80, 40, 20, 10, \dots$
4. d) $3, -3, 3, -3, \dots$

Observa a seguinte figura. Partimos de um quadrado grande de lado $8 \text{ cm}$. O quadrado seguinte forma-se com um comprimento de lado que é metade do anterior, e assim sucessivamente.

Calcula o comprimento do lado dos primeiros 4 quadrados e escreve o termo geral $a_n$ da sucessão que estes comprimentos formam.

Imagina que um vídeo viral numa rede social é partilhado muito depressa. Uma pessoa envia o vídeo (minuto 0). No minuto 1, 5 novas pessoas veem-no. No minuto 2, cada uma dessas 5 pessoas partilha-o com outras 5 novas pessoas, e assim sucessivamente.

1. Escreve os quatro primeiros termos da sucessão de novos espectadores por minuto.

2. Qual é a razão $r$ de crescimento?

3. Escreve a fórmula do termo geral $a_n$.

Temos uma folha de papel com uma espessura inicial de $0,1 \text{ mm}$.

Se dobrarmos a folha ao meio, a espessura duplica. Se a dobrarmos novamente, duplica de novo.

Considere $a_1$ como a espessura após a primeira dobra.

1. Calcule a espessura da folha após 1, 2, 3 e 4 dobras.

2. Qual será a espessura da pilha de papel depois de 10 dobras? Exprima o resultado em milímetros.

Uma bola de borracha é deixada cair de uma certa altura. Em cada ressalto, a bola atinge uma altura que é metade da altura anterior.

Se no primeiro ressalto ($a_1$) atingir uma altura de $160 \text{ cm}$:

1. a) Escreve a sucessão das alturas nos primeiros 5 ressaltos.
2. b) Qual é a razão $r$ desta progressão?
3. c) Que altura atingirá no oitavo ressalto?

Dada uma progressão geométrica em que o primeiro termo é $a_1 = 3$ e a razão é $r = 2$:

1. a) Calcule o valor do termo que ocupa a posição 7 ($a_7$).
2. b) Calcule o valor do termo que ocupa a posição 10 ($a_{10}$).

Utilize a fórmula do termo geral: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

Um avô decide poupar para o seu neto seguindo uma regra matemática curiosa. No primeiro mês guarda 2 euros num mealheiro. No segundo mês guarda 6 euros. No terceiro mês guarda 18 euros.

Se continuar com esta lógica:

1. Verifique que é uma progressão geométrica e determine a razão $r$.

2. Calcule quanto dinheiro terá de colocar no mealheiro no quinto mês.

Temos uma progressão geométrica formada por frações. Sabemos que os primeiros termos são:

1. a) Identifique o primeiro termo $a_1$ e a razão $r$.
2. b) Calcule o termo $a_6$ sem necessidade de multiplicar um a um, usando a fórmula geral.

O David está a resolver um exercício da aula: «Determina o sexto termo de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $a_1 = 6$ e cuja razão é $r = 3$». No seu caderno escreveu o seguinte:

1. a) Identifica e explica com clareza o erro conceptual e de prioridade das operações que o David cometeu.
2. b) Escreve a fórmula do termo geral de forma correta e calcula o valor real de $a_6$.
3. c) Se o David tivesse aplicado o seu procedimento errado para calcular apenas o segundo termo ($a_2$), que resultado teria obtido face ao valor real? Explica por que razão o erro do David faz com que o desvio aumente de forma desmedida à medida que o índice $n$ cresce.

Desenha uma progressão geométrica que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. Os seus termos alternam de sinal: o primeiro é positivo, o segundo negativo, o terceiro positivo, etc.

2. O terceiro termo vale exatamente $a_3 = 12$.

3. O quinto termo vale exatamente $a_5 = 48$.

1. a) Apresenta a relação matemática entre $a_3$ e $a_5$ através da razão $r$, deduz os dois possíveis valores numéricos de $r$ e justifica qual deles deves escolher para que se cumpra a condição de alternância de sinais.
2. b) A partir do valor da razão, determina fundamentadamente o primeiro termo $a_1$.
3. c) Escreve os primeiros quatro termos da tua progressão geométrica e fundamenta por que motivo, numa progressão com razão negativa e primeiro termo positivo, é impossível que um termo com índice ímpar seja negativo.

Um vídeo de uma famosa streamer tornou-se viral. Na primeira hora teve 5 visualizações. Devido ao algoritmo da plataforma, a cada hora que passa, o número de novas visualizações é multiplicado por 3 em relação à hora anterior.

1. a) Escreva os cinco primeiros termos da sucessão que representa as novas visualizações por hora.
2. b) Qual é a razão $r$ desta progressão geométrica?
3. c) Escreva o termo geral $a_n$ que permite calcular as visualizações na hora $n$.
4. d) Quantas novas visualizações o vídeo terá exatamente na hora 8?

Num jogo de RPG, a experiência necessária para subir de nível segue uma progressão geométrica. Sabemos que, para atingir o nível 2, precisas de 150 pontos de experiência e, para atingir o nível 5, precisas de 1200 pontos.

Calcula:

1. a) A razão $r$ da progressão.
2. b) A experiência necessária para o primeiro nível ($a_1$).
3. c) A experiência necessária para atingir o nível 10.

Observa a seguinte figura fractal. Começamos com um triângulo equilátero de área $64\text{ cm}^2$ (Etapa 1). Em cada passo seguinte, em cada um dos triângulos que ficam por pintar, pintamos o triângulo central formado pelos pontos médios dos seus lados (triângulo invertido), o qual tem uma área igual a $1/4$ do triângulo onde se encontra.

Considerando a sucessão formada pela área total dos novos triângulos coloridos em cada etapa (a partir da Etapa 2):

1. a) Escreve os três primeiros termos da sucessão.
2. b) Qual é a razão desta progressão?
3. c) Calcula a soma das áreas de todos os triângulos coloridos se repetíssemos o processo infinitas vezes.

Miguel quer comprar uma trotinete elétrica que custa 400 €. Decide poupar seguindo um plano rigoroso: na primeira semana poupa 2 €, na segunda semana 4 €, na terceira 8 €, e assim sucessivamente, duplicando a quantia a cada semana.

1. a) Quanto dinheiro terá de poupar na semana número 8?
2. b) Quanto dinheiro terá acumulado no total ao terminar a semana 8?
3. c) Terá conseguido dinheiro suficiente para comprar a trotinete ao terminar a semana 8? Se não for o caso, de quantas semanas precisa no total?

Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura inicial de 20 metros. Em cada ressalto, a bola perde energia e só alcança 80% da altura anterior ($r = 0,8$).

1. a) Calcula a altura que a bola alcança depois do terceiro ressalto.
2. b) Calcula a distância total percorrida pela bola (para baixo e para cima) no momento em que toca o chão pela quarta vez.

Nota: Tem em conta que a primeira queda é de 20 m, mas depois sobe e desce.

Temos um quadrado de lado 10 cm. Unimos os pontos médios dos seus lados para formar um segundo quadrado inscrito. Repetimos o processo com o segundo quadrado para formar um terceiro, e assim sucessivamente.

1. a) Sabendo que a área de cada novo quadrado é metade da anterior, escreva a sucessão das áreas dos 5 primeiros quadrados.
2. b) É uma progressão aritmética ou geométrica? Identifique o primeiro termo e a razão.
3. c) Calcule a soma das áreas dos 10 primeiros quadrados gerados.

Um biólogo está a estudar uma colónia de bactérias numa placa de Petri. Inicialmente conta 500 bactérias. Observa que a população aumenta 20% a cada hora.

1. a) Explique por que razão este crescimento corresponde a uma progressão geométrica e determine a razão $r$.
2. b) Escreva o termo geral $a_n$ que descreve o número de bactérias após $n$ horas. (Considere $a_0 = 500$ como o início, ou ajuste a fórmula para $a_1$ como a quantidade após 1 hora).
3. c) Quantas bactérias haverá, aproximadamente, ao cabo de 12 horas?

Calcule o produto dos 6 primeiros termos de uma progressão geométrica sabendo que o primeiro termo é $a_1 = 3$ e que o quarto termo é $a_4 = 24$.

No laboratório de Ciências de uma escola de Braga realiza-se um ensaio deixando cair uma bola a partir de uma altura de $3\text{ m}$. Após cada ressalto no chão, a bola atinge uma altura máxima equivalente a $60\,\%$ da altura alcançada no ressalto anterior.

1. a) Estima antes de calcular: Se a bola efetuasse infinitos ressaltos ideais, acreditas que a soma de todas as alturas atingidas nos ressaltos ($a_1 + a_2 + a_3 + \ldots$) superará os $10\text{ metros}$ ou será inferior a $6\text{ metros}$? Justifica brevemente a tua intuição inicial sem usar fórmulas.
2. b) Modela a situação: determina a altura alcançada no primeiro ressalto ($a_1$) e escreve a expressão do termo geral $a_n$ da altura correspondente ao ressalto número $n$.
3. c) Aplica a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita ($S_\infty$) para obter a soma teórica total das alturas de todos os ressaltos.
4. d) Compara o valor exato obtido com a tua estimativa inicial. Como explicarias a um colega, por palavras tuas, que a soma de infinitas quantidades positivas possa dar um número exato e finito?

Segundo os dados sobre o desafio demográfico do Instituto Nacional de Estatística (INE), um município do distrito de Bragança contava com $1\,250$ habitantes recenseados a 1 de janeiro de 2018. Devido ao envelhecimento populacional e à emigração, observa-se que a sua população diminui a um ritmo constante de $5\,\%$ ao ano.

1. a) Modela a evolução da população através de uma progressão geométrica: calcula a razão $r$, indica o valor do termo inicial $a_1$ (população em 2018) e formula o termo geral $a_n$, onde $n=1$ corresponde ao ano 2018, $n=2$ a 2019, e assim sucessivamente.
2. b) Calcula a população prevista para o ano 2023 ($n = 6$), arredondando ao número inteiro de pessoas mais próximo.
3. c) A administração regional estabelece que, se a população recenseada descer abaixo dos $900$ habitantes, o centro de saúde local perde o atendimento presencial diário. Verifica numericamente se até ao ano 2025 ($n = 8$) o município já terá ultrapassado esse limiar crítico ou se conseguirá manter o serviço.

Um biólogo está a estudar uma estirpe de bactérias muito agressiva numa placa de Petri. Inicialmente, conta 500 bactérias. Observa que a população aumenta 15% a cada hora.

Para que a experiência seja controlável, a população não deve ultrapassar 2 000 000 de bactérias. Utilizando a calculadora e os teus conhecimentos sobre o termo geral de uma progressão geométrica:

1. Escreva a expressão do termo geral $a_n$ que descreve o número de bactérias em função das horas decorridas $n$.

2. Calcule quantas bactérias haverá exatamente ao cabo de 24 horas.

3. Determine quantas horas completas podem passar, no máximo, antes que a cultura ultrapasse o limite de segurança de 2 milhões.

Uma bola de borracha especial é deixada cair de uma altura de 2 metros. Devido à perda de energia, cada vez que ressalta no solo, sobe apenas até 80% da altura de onde caiu anteriormente.

Este comportamento gera uma sucessão de alturas máximas atingidas após cada ressalto.

1. Calcule a altura que a bola atinge após o quinto ressalto.

2. Imagine que deixamos a bola ressaltar indefinidamente até parar. Calcule a distância total (para baixo e para cima) que a bola terá percorrido desde que foi largada até parar por completo. Tenha cuidado: a primeira queda é única, mas os ressaltos implicam subir e descer a mesma distância.

Um famoso youtuber lança uma campanha solidária. No primeiro dia doa 10 euros. Compromete-se a que, em cada dia seguinte, doará uma quantia tal que a soma do que doou nesse dia e no dia anterior seja o triplo do que doou no dia anterior.

Nota: Lê bem o enunciado, é um enigma matemático sobre a razão $r$.

1. Calcula quanto doa no segundo e no terceiro dia.

2. Demonstra que as quantias doadas dia a dia formam uma progressão geométrica e determina a sua razão $r$.

3. Quanto dinheiro terá doado no total ao fim de uma semana (7 dias)?

Estamos a projetar um logótipo artístico baseado numa sucessão de quadrados inscritos.

Partimos de um quadrado exterior de lado $L_1 = 20 \text{ cm}$.

O segundo quadrado é formado unindo os pontos médios dos lados do primeiro. O terceiro quadrado une os pontos médios do segundo, e assim sucessivamente.

1. Utilize o Teorema de Pitágoras para encontrar o lado do segundo quadrado ($L_2$) e do terceiro ($L_3$).

2. Determine a razão da progressão geométrica que formam as áreas destes quadrados.

3. Se pudéssemos desenhar infinitos quadrados para o interior seguindo este padrão, quanto valeria a soma das áreas de todos os quadrados (a área total colorida)?

Uma empresa de tecnologia oferece dois tipos de contrato salarial para um cargo de programador durante 5 anos:

• Contrato A: Salário inicial de 24 000 € anuais, com um aumento fixo de 2 000 € a cada ano (Progressão Aritmética).

• Contrato B: Salário inicial de 22 000 € anuais, com um aumento de 8% a cada ano em relação ao ano anterior (Progressão Geométrica).

• Escreva o termo geral $a_n$ para o Contrato A e $b_n$ para o Contrato B.

• Calcule o salário anual no quinto ano para ambos os contratos. Qual paga mais nesse ano em concreto?

• Calcule a soma total de dinheiro ganho nos 5 anos com cada contrato ($S_5$). Qual contrato é mais vantajoso a longo prazo (no total acumulado)?

Temos uma progressão geométrica da qual desconhecemos a razão $r$ e o primeiro termo $a_1$. No entanto, sabemos que o terceiro termo vale 12 ($a_3 = 12$) e o sexto termo vale 96 ($a_6 = 96$).

1. Monte um sistema de equações ou utilize a fórmula do termo geral para encontrar a razão $r$.

2. Assim que tiver a razão, calcule o primeiro termo $a_1$.

3. Calcule o produto dos 6 primeiros termos da sucessão ($P_6$).

O Triângulo de Sierpinski é um fractal famoso que se constrói a partir de um triângulo equilátero.

O processo é o seguinte (na figura, os triângulos «pretos» desenham-se a verde):

• Passo 0: Temos um triângulo equilátero preto de área $80 \text{ cm}^2$.

• Passo 1: Recortamos (retiramos) o triângulo central invertido, cuja área é $1/4$ do triângulo anterior. Ficam-nos 3 triângulos pretos mais pequenos.

• Passo 2: De cada um dos 3 triângulos pretos restantes, voltamos a recortar o triângulo central (que é $1/4$ da área do seu triângulo contentor).

1. Escreve a sucessão que representa a área preta total que permanece na figura em cada passo ($A_0, A_1, A_2, ...$).

2. Qual é a razão $r$ desta progressão geométrica decrescente?

3. Calcula que área preta restará depois de aplicar o processo 5 vezes (Passo 5).

Queremos interpolar (intercalar) 4 números entre o 3 e o 96 para formar uma progressão geométrica de 6 termos no total. Ou seja, pretendemos construir a sucessão:

1. Identifique qual a posição que o 3 e o 96 ocupam na progressão ($a_1$ e $a_n$).

2. Utilize a fórmula do termo geral para isolar e calcular a razão $r$.

3. Escreva os quatro números que interpolámos.

4. Se quiséssemos somar todos estes 6 números, qual seria o resultado?

O departamento de matemática propõe o seguinte desafio: «Numa progressão geométrica sabe-se que o quarto termo é $a_4 = 24$ e o sétimo termo é $a_7 = 192$. Calcula a soma dos primeiros 7 termos ($S_7$)».

Dois alunos da turma propõem estratégias distintas:

• A Marta propõe usar a relação direta $a_7 = a_4 \cdot r^{7-4}$ para determinar a razão $r$, recuar a partir de $a_4$ dividindo por $r^3$ para encontrar $a_1$, e finalmente calcular a soma com a fórmula fechada $S_7 = \frac{a_1(r^7 - 1)}{r - 1}$.

• O Hugo propõe definir um sistema de duas equações a duas incógnitas: $\begin{cases} 24 = a_1 \cdot r^3 \\ 192 = a_1 \cdot r^6 \end{cases}$, resolvê-lo isolando $a_1$ na primeira e substituindo na segunda, e de seguida calcular à mão, um a um, os 7 termos ($a_1, a_2, \ldots, a_7$) para somá-los diretamente, evitando usar a fórmula da soma.

1. a) Resolve o problema aplicando minuciosamente os dois métodos e verifica se ambos conduzem ao mesmo resultado numérico.
2. b) Compara os dois caminhos: quais são os pontos fracos do procedimento do Hugo face à estratégia da Marta em termos de eficácia e risco de erro?
3. c) Imagina que os dados fossem $a_{10} = 50$, $a_{30} = 51\,200$ e se pedisse a soma dos primeiros 40 termos ($S_{40}$). Justifica de forma fundamentada por que razão o método do Hugo se torna inviável na prática e qual das duas abordagens evidencia uma compreensão algébrica madura.

Uma empreendedora de Faro procura financiamento para arrancar com o seu projeto durante os primeiros 6 meses. Duas incubadoras de empresas oferecem-lhe duas propostas de apoio mensal a fundo perdido:

• Plano A (Programa Acelera): Recebe $600\text{ €}$ no primeiro mês e, em cada mês seguinte, a quantia aumenta num valor fixo de $100\text{ €}$ em relação ao anterior ($600\text{ €}, 700\text{ €}, 800\text{ €}, \dots$).

• Plano B (Fundo Impulso): Recebe $300\text{ €}$ no primeiro mês e, em cada mês seguinte, a quantia aumenta $30\,\%$ em relação à do mês anterior ($r = 1,30$).

1. a) Identifica que tipo de progressão (aritmética ou geométrica) descreve cada uma das modalidades e escreve a expressão matemática do termo geral da mensalidade recebida no mês $n$ para ambos os planos.
2. b) Calcula a quantia que receberia mês a mês em cada plano durante os 6 meses de duração do programa. Em que mês específico a mensalidade individual do Plano B supera pela primeira vez a do Plano A?
3. c) Utiliza as fórmulas de soma correspondentes para calcular a quantia financeira total acumulada após os 6 meses completos com cada um dos dois planos. Tendo em conta o resultado, qual dos dois planos lhe proporciona mais dinheiro no total e por que razão o crescimento geométrico nem sempre é a opção mais vantajosa em prazos curtos, ainda que a longo prazo seja exponencialmente superior?

Desafio do tema. Poupança constante ou multiplicadora? Desenha um plano de poupança a um ano para financiares um projeto pessoal.

1. Fase 1: Dados reais. Entra no site do INE (ou do Banco de Portugal) e consulta o último dado publicado da inflação homóloga (IPC, ex. $2,8\,\%$). Fixa uma quantia inicial de poupança para o primeiro mês ($a_1 = 20$ €).

2. Fase 2: Modelação. Coloca duas opções para $12$ meses:

3. Plano A (Progressão aritmética): Aumentas a tua contribuição mensal numa diferença fixa de $d = 3$ €. Determina o termo geral $a_n$ e o capital acumulado através da soma $S_{12}$.

4. Plano B (Progressão geométrica): Aumentas a tua contribuição $10\,\%$ mensalmente em relação ao mês anterior ($r = 1,10$). Deduz a fórmula de $b_n$ e calcula a soma total $S_{12}$.

5. Fase 3: Simulação e decisão. Cria numa folha de cálculo (Excel, Calc ou Google Sheets) uma tabela comparativa mês a mês e um gráfico que represente ambas as evoluções. Redige um relatório breve justificando que opção consideras mais viável e se o dinheiro acumulado compensa o aumento dos preços de acordo com o IPC registado.

Será valorizado:

• Dedução e cálculo algébrico rigoroso dos termos gerais e somas ($S_{12}$).

• Desenho correto da folha de cálculo, fórmulas automáticas e gráfico comparativo.

• Argumentação crítica e realista da decisão final articulada com o IPC real.