Exercícios: Paridade de uma função

Determine analiticamente se a função polinomial $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Estude a paridade da função racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando se apresenta simetria em relação ao eixo das ordenadas ou em relação à origem.

Observe o gráfico a seguir e classifique a função representada como par, ímpar ou sem simetria evidente, justificando a sua resposta a partir dos pontos destacados.

Sabendo que o custo de manutenção de uma máquina segue uma função par $C(t)$ em relação ao tempo ótimo $t=0$, e que $C(4) = 150$ euros, qual será o valor de $C(-4)$?

A posição de um objeto num ambiente virtual tridimensional é regida por uma função ímpar $p(t)$. Se no instante $t=3$ s a sua posição num dos eixos é $p(3) = -12$ m, qual era a sua posição no instante $t=-3$ s?

Verifique matematicamente se a função polinomial $h(x) = x^3 - 5x + 2$ apresenta algum tipo de simetria em relação ao eixo das ordenadas ou em relação à origem.

Complete os valores que faltam para que a função $f(x)$ seja ímpar em todo o seu domínio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$

Determine analiticamente a paridade da função trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando as propriedades do seno para ângulos negativos.

A Maria afirma na aula: «Como na função $f(x) = 2x^3 - 5x + 3$ os expoentes dos $x$ são $3$ e $1$ (ambos ímpares), a função tem de ser ímpar. Para demonstrá-lo, calculo $f(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) + 3 = -2x^3 + 5x + 3 = -(2x^3 - 5x - 3)$, e como quase todos os termos mudam de sinal, pode-se considerar ímpar exceto pela constante».\na) Identifica o erro conceptual e algébrico cometido pela Maria ao aplicar a definição de função ímpar.\nb) Determina analiticamente se $f(x)$ é par, ímpar ou nenhuma das duas.\nc) Justifica que modificação mínima teria de ser feita no termo independente para que a função resultante seja simétrica em relação à origem das coordenadas.

Dada a função $g(x) = x^3 \cdot \sin(x)$:\na) Estima a sua paridade antes de calcular: analisa a simetria de cada fator separadamente ($x^3$ e $\sin(x)$) e, aplicando a regra dos sinais para o produto de funções simétricas, antecipa se esperas que $g(x)$ seja par, ímpar ou nenhuma das duas.\nb) Verifica formalmente a tua estimativa calculando $g(-x)$ passo a passo e utilizando a propriedade trigonométrica de $\sin(-x)$.\nc) Avalia numericamente $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$ e $g\left(-\frac{\pi}{2}\right)$. Estes valores coincidem com o que prevê a paridade obtida? Justifica a tua resposta.

O perfil de um arco arquitetónico é modelado pela função $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, onde $x$ é a distância horizontal ao centro, em metros. Demonstre analiticamente se este perfil é simétrico em relação ao eixo central vertical (função par).

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que a função de lucros de uma empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, seja uma função par e, portanto, simétrica em relação a $x=0$.

A força de atração eletromagnética entre dois componentes metálicos é modelada por uma função ímpar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, onde $d$ é a distância. Determine o valor que o parâmetro $b$ deve ter obrigatoriamente para que essa simetria seja satisfeita.

Dadas duas funções, $f(x)$ que é par e $g(x)$ que é ímpar, demonstre analiticamente que tipo de paridade a função produto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ possui.

O gráfico mostra a metade direita (para $x \ge 0$) do perfil de uma antena parabólica. Sabendo que a sua equação global corresponde a uma função par, descreve como seria a metade esquerda e qual o valor que $f(-x)$ tomará em função de $f(x)$.

Estuda a paridade da função $f(x) = x|x|$, que descreve a força de arrasto aerodinâmico de um veículo em função da sua velocidade $x$.

Determine analiticamente se a função $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Uma empresa de análise de dados utiliza a função $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir o erro simétrico de um algoritmo de previsão. Analise e demonstre a paridade desta função.

Numa estação de controlo do IPMA numa zona de elevada insolação, a oscilação térmica em relação à temperatura média diária durante um dia limpo de equinócio aproxima-se através do modelo $T(t) = \frac{12 \cdot \cos(0,26 \cdot t)}{1 + 0,01 \cdot t^2}$, onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde o meio-dia solar ($t = 0$, que corresponde às 13:30 h oficiais), definido para o intervalo $t \in [-12, 12]$.\na) Demonstra analiticamente se o modelo de temperatura $T(t)$ é uma função par, ímpar ou não apresenta simetria.\nb) Interpreta fisicamente o resultado: o que prevê este modelo sobre a temperatura às 10:30 h oficiais em comparação com a temperatura às 16:30 h oficiais?\nc) Se a partir das horas vespertinas o vento habitual introduzir um arrefecimento adicional linear modelado por um termo $-0,4 \cdot t$ em toda a expressão, justifica se a nova função resultante manteria a simetria em relação ao meio-dia solar.

Considera a família de funções racionais $f(x) = \frac{a \cdot x^3 + (b - 4) \cdot x^2 + 6x}{x^2 + 2}$, onde $a$ e $b$ são parâmetros reais.\na) Encontra os valores de $a$ e $b$ para que a função $f(x)$ seja ímpar e o seu gráfico passe pelo ponto $(1, 3)$.\nb) É possível escolher valores para $a$ e $b$ de modo a que $f(x)$ seja uma função par? Se achas que é possível, calcula-os; se não for, justifica de forma algébrica por que razão nenhum par de valores reais o consegue.

Demonstre que qualquer função $f(x)$ definida em $\mathbb{R}$ pode ser expressa como a soma de uma função par $P(x)$ e de uma função ímpar $I(x)$ utilizando as expressões $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

Sabendo que qualquer função $f(x)$ definida em $\mathbb{R}$ pode ser expressa como a soma de uma função par $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e de uma função ímpar $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$, decomponha a função exponencial $f(x) = e^x$ na soma de uma função par e de uma função ímpar.

Estude a paridade da função $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizada em Física para modelar certos potenciais elétricos no intervalo $(-1, 1)$.

Se $f(x)$ é uma função par e $g(x)$ é uma função ímpar, determine e demonstre rigorosamente a paridade da função composta $h(x) = f(g(x))$.

Um engenheiro projeta uma peça mecânica cujo contorno superior é dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabendo que o contorno é uma função ímpar, passa pelos pontos $(2, \frac{10}{3})$ e $(3, \frac{15}{4})$, e tem uma assíntota vertical em $x=1$ (para $x>0$), calcule os valores exatos dos parâmetros $a, b$ e $c$.

Analise a paridade da função $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa a diferença das distâncias de um ponto $P(x, 0)$ do eixo das abscissas a dois focos emissores de calor situados em $F_1\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ e $F_2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Seja $f(x)$ uma função polinomial de grau 4. Se $f(x)$ é uma função par, $f(0)=3$, $f(1)=4$ e $f(2)=11$, determine a expressão analítica completa de $f(x)$.

A derivada de uma função dá-nos o declive da sua reta tangente em cada ponto. Se $f(x)$ é uma função ímpar e derivável em todo o $\mathbb{R}$, demonstre matematicamente que a sua função derivada $f'(x)$ tem obrigatoriamente de ser uma função par.

Para estudar a paridade da função $h(x) = \frac{x^3 \cdot \sin(x^2)}{1 + \cos(x)}$, propõem-se dois caminhos diferentes:\n- Método 1 (Avaliação direta): Substituir sistematicamente $x$ por $-x$ em toda a expressão, operar aplicando as identidades trigonométricas de paridade e comparar $h(-x)$ com $h(x)$ e $-h(x)$.\n- Método 2 (Álgebra de simetrias): Decompor $h(x)$ no produto e quociente dos blocos elementares $f_1(x) = x^3$, $f_2(x) = \sin(x^2)$ e $f_3(x) = 1 + \cos(x)$, analisar a paridade de cada bloco mediante as regras de composição e soma, e deduzir a simetria global.\na) Aplica ambos os métodos detalhando todos os passos analíticos.\nb) Compara ambos os caminhos: qual se revela mais seguro e eficiente para evitar erros com os sinais em funções compostas complexas? Justifica a tua posição.\nc) Utilizando o método que justificaste como mais eficiente na alínea anterior, deduz diretamente a paridade da função modificada $k(x) = \frac{x^3 \cdot \sin^2(x)}{1 + \cos(x)}$ sem desenvolver o cálculo direto completo.

Desenha a expressão algébrica de uma função racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (onde $P(x)$ e $Q(x)$ são polinómios de coeficientes reais, sem fatores comuns e com o menor grau possível) que cumpra simultaneamente estas quatro condições:\n1. O seu domínio é exatamente $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.\n2. $f(x)$ é uma função ímpar em todo o seu domínio.\n3. O seu gráfico interseta o eixo das abcissas no ponto $x = 1$.\n4. O gráfico passa pelo ponto $(3; -4,8)$.\n\nPara a construir, responde fundamentadamente aos seguintes passos:\na) Deduz o polinómio do denominador $Q(x)$ e justifica que paridade tem.\nb) Demonstra que paridade obrigatória deve ter o numerador $P(x)$ para que o quociente cumpra a condição de ser ímpar.\nc) Deduz todos os zeros obrigatórios que $P(x)$ deve ter com base na simetria e escreve a expressão fatorizada de $P(x)$ em função de uma constante $a$.\nd) Determina o valor exato da constante $a$ usando o ponto dado e escreve a fórmula final simplificada de $f(x)$.