Exercícios: Características das funções

Determine o domínio de definição da função racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.

Calcule o domínio da função com radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.

Determine os pontos de interseção com os eixos coordenados da função polinomial $h(x) = x^2 - 5x + 6$.

Estude a simetria (par, ímpar ou nenhuma) da função polinomial $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.

Determine os intervalos nos quais a função $q(x) = -3x + 12$ tem sinal positivo e nos quais tem sinal negativo.

Indique qual é o contradomínio da função quadrática $r(x) = x^2 + 4$.

A partir da representação gráfica da parábola $y = f(x)$, indique os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como as coordenadas do seu extremo relativo.

Calcule o domínio da função logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.

A Carla afirma no seu exame que o domínio de definição da função $f(x) = \ln(9 - x^2)$ é o intervalo fechado $[-3, 3]$. Para o justificar, escreve no seu desenvolvimento: «Como é preciso calcular o domínio, proponho a inequação $9 - x^2 \ge 0$, cuja solução é $x^2 \le 9$, pelo que $x \in [-3, 3]$. Ponho parênteses retos porque em $x = 3$ e em $x = -3$ o radicando dá zero e a raiz de zero existe».

1. a) Encontra e explica detalhadamente os dois erros conceptuais que a Carla cometeu ao identificar e aplicar as restrições das operações elementares.
2. b) Justifica o que acontece matematicamente se tentarmos avaliar $f(3)$ numa calculadora científica e por que razão o resultado não pode ser um número real.
3. c) Corrige o procedimento da Carla e escreve o domínio correto de $f(x)$ utilizando a notação adequada de intervalos.

Escreve a expressão analítica de uma função racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (onde $P(x)$ e $Q(x)$ são polinómios) que satisfaça simultaneamente as três condições seguintes:

1. O seu domínio seja exatamente $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

2. Seja uma função par, ou seja, simétrica em relação ao eixo das ordenadas ($Y$).

3. Tome unicamente valores estritamente negativos ($f(x) < 0$) para qualquer valor de $x$ pertencente ao seu domínio.

Justifica passo a passo como escolhes o numerador e o denominador para garantir cada condição e explica por que razão um denominador simples da forma $Q(x) = x^2 - 4$ não serviria se o numerador fosse uma constante negativa.

Determine o domínio de definição da função $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.

Calcule os pontos de interseção com os eixos e estude o sinal da função racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.

Determine analiticamente se a função $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ é par, ímpar ou não tem simetria.

Lança-se um projétil verticalmente para cima. A altura $h(t)$, em metros, que ele atinge após $t$ segundos é dada pela função $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determine em que instante atinge a altura máxima e qual é o valor dessa altura.

Um agricultor dispõe de $100$ metros de vedação para vedar uma horta retangular aproveitando um muro de pedra já existente (não precisa de vedação nesse lado). Se $x$ é o comprimento dos lados perpendiculares ao muro, a função que descreve a área é $A(x) = x(100-2x)$. Determine o domínio da função no contexto do problema e calcule as dimensões que maximizam a área.

Observe o gráfico da seguinte função periódica que modela a tensão num circuito eletrónico. Determine o seu período $T$ e calcule o valor de $f(17)$.

Dada a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$

Determine os seus pontos de interseção com os eixos e estude o seu sinal em todo o seu domínio.

Determine o domínio de definição da função $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.

Para estudar o sinal da função $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$ em todo o seu domínio, dois colegas de turma debatem sobre que caminho seguir:

• Estratégia A (Tabela de sinais tradicional): Igualar a zero o numerador e o denominador separadamente, situar todas as soluções obtidas sobre a reta real e avaliar um ponto de teste em cada intervalo resultante.

• Estratégia B (Análise estrutural prévia): Analisar o sinal global de cada termo mediante inspeção algébrica das suas propriedades antes de decompor em intervalos.

1. a) Aplica a Estratégia B para determinar de forma fundamentada os intervalos de positividade ($f(x) > 0$), negatividade ($f(x) < 0$) e os pontos de interseção com o eixo $X$.
2. b) Explica que dificuldade algébrica ou perda de tempo surge ao tentar aplicar o passo do denominador na Estratégia A no conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$).
3. c) Justifica qual dos dois métodos é mais seguro e eficiente para evitar erros quando surgem expressões quadráticas irredutíveis em denominadores.

Num relatório do IPMA sobre inversão térmica invernal num vale de montanha do Gerês, a temperatura ambiente $T$ (em $^{\circ}\text{C}$) é modelada em função da altitude $h$ (medida em centenas de metros acima do nível do mar, onde $h = 5$ representa $500\text{ m}$) através da função:

1. a) Determina o domínio matemático da função $T(h)$ a partir da restrição do radical e compara-o com o domínio físico do fenómeno se o fundo do vale estiver a $200\text{ m}$ ($h=2$) e o cume a $1000\text{ m}$ ($h=10$).
2. b) Sem recorrer a derivadas, deduz o contradomínio (ou imagem) da função no referido vale, fundamentando sobre os valores máximo e mínimo que o radicando pode tomar. Quais são as temperaturas mínima e máxima previstas?
3. c) A que altitude se atinge a temperatura máxima? Justifica se a função apresenta simetria em relação à reta vertical $h = 6$ e interpreta o seu significado físico na distribuição térmica das duas encostas do vale.

Calcule de forma fundamentada o domínio da função $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.

Determine os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que o seu vértice é o ponto $V(3, -4)$ e que corta o eixo das abcissas em $x = 1$.

O custo médio mensal (em euros) por unidade produzida numa fábrica de componentes eletrónicos é dado pela função $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, onde $x$ é o número de unidades produzidas ($x > 0$). Determine o domínio no contexto do problema, estude o seu sinal e demonstre analiticamente em que intervalos o custo médio é crescente ou decrescente.

Demonstre analiticamente que a função $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ é ímpar e determine o seu domínio.

Uma roda-gigante tem um raio de $10\text{ m}$, o seu centro situa-se a $15\text{ m}$ do solo e gira a velocidade constante, demorando $4\text{ min}$ a dar uma volta completa. Uma cabine encontra-se no seu ponto mais baixo no instante $t = 0\text{ min}$. Sabendo que a altura $h(t)$, em metros, da cabine em função do tempo $t$, em minutos, é modelada por uma função trigonométrica, determina o seu período, as alturas máxima e mínima que a cabine atinge, e os instantes em que são atingidas durante o primeiro ciclo completo.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenha como domínio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ e corte o eixo das abcissas nos pontos $x = 4$ e $x = -4$.

Calcule a função inversa (ou recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ e utilize-a para determinar o contradomínio da função $f(x)$.

A partir do gráfico da função $y = f(x)$, realize uma análise completa indicando: domínio, contradomínio, simetria, equações das assíntotas, extremos relativos e intervalos de sinal positivo e negativo.

Dada a função com múltiplas restrições operacionais $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{\ln(x)}$:

1. a) Estima antes de operar:

• Sem resolver inequações, reflete: faz sentido colocar a hipótese de esta função ser par ou ímpar? Argumenta a tua resposta analisando os valores negativos de $x$ face aos componentes da fórmula.

• Prevê o sinal que $f(x)$ tomará para valores muito próximos de $0$ pela direita (como $x = 0{,}1$) e para valores como $x = 2$. Justifica a tua previsão recordando as propriedades elementares dos logaritmos.

1. b) Calcula e formaliza:

• Determina com rigor o domínio de definição de $f(x)$, estabelecendo explicitamente as três condições necessárias (fração, radical de índice par e logaritmo) e resolvendo a sua interseção.

• Realiza o estudo formal do sinal de $f(x)$ indicando os intervalos exatos onde $f(x) > 0$ e onde $f(x) < 0$.

1. c) Avalia e contrasta:

• Verifica se as tuas estimativas iniciais de (a) concordam com o cálculo analítico de (b).

• Justifica se a função tem raízes (pontos onde $f(x) = 0$) e descreve que comportamento a função apresenta quando $x$ se aproxima de $1$ pela esquerda e pela direita.

Num projeto de bioengenharia é necessário modelar a resposta $R(x)$ de um biossensor em função de um parâmetro de controlo $x \in \mathbb{R}$. Deve construir-se a fórmula analítica de uma função $f(x)$ que satisfaça simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. O seu domínio exato seja $\text{Dom}(f) = [-5, 5] \setminus \{0\}$.

2. Seja estritamente ímpar em todo o seu domínio: $f(-x) = -f(x)$.

3. Não tenha nenhuma raiz no seu domínio (ou seja, $f(x) \ne 0$ para todo o $x \in \text{Dom}(f)$).

4. Tome valores estritamente positivos quando $x \in (0, 5]$.

1. a) Propõe uma expressão algébrica para $f(x)$ combinando operações elementares (frações algébricas e radicais de índice par). Justifica como cada elemento da tua fórmula assegura as condições exigidas sem anular os restantes.
2. b) Demonstra analiticamente que a função que desenhaste cumpre a condição de simetria ímpar $f(-x) = -f(x)$.
3. c) Deduz fundamentadamente o contradomínio (imagem) da tua função no intervalo $(0, 5]$ e, apoiando-te na simetria ímpar, determina o contradomínio completo em todo o seu domínio. Justifica se a função é limitada superiormente analisando o que acontece quando $x$ se aproxima de $0$ pela direita.