Exercícios: Função valor absoluto

Exprime a função $f(x) = |3x - 6|$ como uma função definida por ramos, indicando claramente os intervalos correspondentes a cada expressão algébrica.

Calcule o valor numérico da função $g(x) = |-x^2 + 4x|$ para os pontos $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ e $x = 5$.

Determine o domínio e o contradomínio da função $h(x) = |x| + 5$. Justifique a sua resposta com base nas propriedades do valor absoluto.

Dado o gráfico seguinte de uma função com valor absoluto, deduza a sua expressão analítica da forma $y = |x - a|$.

Resolva a equação $|2x - 8| = 0$ e explique o que este resultado representa geometricamente em relação ao gráfico da função $f(x) = |2x - 8|$.

Dada a seguinte função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$

Escreve a sua expressão analítica de forma compacta utilizando o valor absoluto.

Exprime como uma função definida por ramos a função quadrática com valor absoluto $f(x) = |x^2 - 25|$.

Determine as coordenadas exatas dos pontos de interseção com os eixos cartesianos da função $h(x) = |x - 3| - 5$.

A Maria está a resolver a equação $|2x - 8| = -4$ no seu exame e escreve o seguinte raciocínio:

«Como o valor absoluto se desdobra em duas opções:

1) $2x - 8 = -4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

2) $-(2x - 8) = -4 \implies -2x + 8 = -4 \implies -2x = -12 \implies x = 6$.

Portanto, a equação tem duas soluções: $x = 2$ e $x = 6$».

1. a) Sem resolver a equação novamente, verifica através de substituição direta se os valores $x = 2$ e $x = 6$ são realmente soluções da equação original $|2x - 8| = -4$. O que observas?
2. b) Localiza e explica o erro conceptual que a Maria cometeu antes de começar a isolar a incógnita. Qual é a resposta correta e fundamentada sobre o número de soluções de tal equação?

Uma função com valor absoluto da forma $f(x) = |x - a| + b$ tem as seguintes características no plano cartesiano:

• O seu gráfico tem a forma de «V» com vértice no ponto $(4, -3)$.

• Interseta o eixo das abcissas (eixo $X$) em dois pontos simétricos relativamente à vertical do vértice.

1. a) Determina fundamentadamente os valores dos parâmetros $a$ e $b$.
2. b) Encontra analiticamente os dois pontos de interseção com o eixo $X$, resolvendo a equação $f(x) = 0$.
3. c) Reescreve $f(x)$ como uma função definida por ramos e fundamenta se o vértice encontrado corresponde a um mínimo absoluto ou a um máximo absoluto da função.

Num laboratório, o desvio da temperatura de uma reação química em relação à temperatura ideal de $22^\circ\text{C}$ é dado pela função $D(t) = |2t - 12|$, onde $t$ é o tempo em minutos. Expresse $D(t)$ como uma função definida por ramos e determine em que instante o desvio é nulo.

A margem de lucro de uma empresa, em milhares de euros, em relação ao seu objetivo anual é modelada pela função $M(x) = |x^2 - 40x + 300|$, sendo $x$ o número de meses decorridos. Exprima a função por partes para identificar em que períodos a empresa esteve exatamente no objetivo, abaixo dele (antes de aplicar o valor absoluto) ou acima.

Simplifique a expressão da função $f(x) = 2x + |x - 4|$ escrevendo-a como uma função definida por ramos. Em seguida, calcule a taxa de variação média no intervalo $[2, 6]$.

Numa simulação de bilhar, uma bola ressalta contra a tabela situada no eixo das abcissas. A trajetória da bola segue a função $y = 4 - |x - 3|$, onde $x$ e $y$ estão medidos em unidades da quadrícula do simulador.

Determina analiticamente (sem desenhar o gráfico, ou usando-o apenas para confirmar):

1. a) As coordenadas do ponto onde a bola atinge a sua distância máxima à tabela.

1. b) As coordenadas dos pontos onde a bola colidiria com o eixo Ox.

Determine analiticamente os pontos de interseção entre a função módulo $f(x) = |3x - 2|$ e a função constante $g(x) = 7$.

Uma máquina corta hastes de metal com um comprimento-alvo de $250\text{ mm}$. A função de erro de corte é definida como $E(x) = |x - 250|$. Se o controlo de qualidade exige que $E(x) \le 1,5$, escreve a inequação correspondente e determina o intervalo de comprimentos válidos para as hastes.

Exprima a função $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como uma função definida por ramos. Indique em que intervalo ou intervalos a parábola original $y = x^2 - 5x + 6$ foi refletida em relação ao eixo das abcissas.

Determine as coordenadas do vértice e os pontos de interseção com os eixos da função $f(x) = -|2x - 6| + 8$. Os ramos desta função abrem para as ordenadas positivas ou negativas?

Numa etapa de montanha da Volta a Espanha em bicicleta na sua passagem pelas Astúrias, o perfil altimétrico de um troço de $20\text{ km}$ é modelado através da função:

$h(x) = 60 \cdot |x - 8| + 450$

onde $x$ é a distância percorrida em quilómetros desde o início do troço ($0 \le x \le 20$) e $h(x)$ é a altitude acima do nível do mar em metros.

1. a) Identifica as coordenadas do vértice do gráfico de $h(x)$ e interpreta o seu significado físico na corrida (ponto quilométrico e altitude do fundo do vale).
2. b) Expressa a função $h(x)$ como uma função definida por ramos para o intervalo de domínio $[0, 20]$.
3. c) A organização fixa um abastecimento líquido em todos os pontos do troço onde a altitude não ultrapasse os $690\text{ m}$. Apresenta uma inequação com valor absoluto para esta condição e calcula o troço quilométrico (intervalo de $x$) onde estará situada a referida zona de abastecimento.

Considera-se a função $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$ e a reta horizontal $y = 3$.

1. a) Estima fundamentadamente:

• Encontra as raízes e as coordenadas do vértice da parábola interior $g(x) = x^2 - 6x + 5$.

• Explica como atua o valor absoluto sobre a parte da parábola situada abaixo do eixo $X$ e deduz qual é a altura máxima atingida pela «crista» refletida.

• A partir da altura dessa crista e do comportamento geral do gráfico, estima de forma justificada quantas soluções reais terá a equação $|x^2 - 6x + 5| = 3$.

1. b) Verifica algebricamente:

• Resolve a equação $|x^2 - 6x + 5| = 3$ formulando as duas equações que surgem ao suprimir o valor absoluto.

• Encontra todas as soluções exatas e confirma se a tua estimativa prévia sobre o número de soluções estava correta.

Dada a função $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determine o valor do parâmetro $k$ sabendo que o gráfico da função toca o eixo das abcissas num único ponto. Para esse valor de $k$, expresse $f(x)$ sem utilizar o valor absoluto.

Expresse a função racional com valor absoluto $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ como uma função definida por ramos. Em seguida, determine o seu domínio e as equações das suas assíntotas horizontais e verticais.

O gráfico seguinte mostra uma função com valor absoluto aninhado da forma $f(x) = ||x| - c|$. Observa os vértices e os pontos de interseção, deduz o valor de $c$ e escreve a expressão da função definida por ramos para o intervalo $x \in [-4, 4]$.

O erro de altitude de um drone de inspeção durante uma manobra é modelado pela soma de dois valores absolutos: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, onde $t$ é o tempo em segundos. Expresse a função $E(t)$ sem utilizar valores absolutos no intervalo de tempo $t \in [1, 3]$.

Determine analiticamente os pontos de interseção das funções $f(x) = |x + 1|$ e $g(x) = |2x - 5|$. Sugestão: analise os diferentes casos segundo o sinal das expressões dentro do módulo.

Em processamento de sinais, uma onda triangular invertida pode ser modelada com a função $S(t) = A - |B t - C|$. Determine os parâmetros $A, B, C > 0$ sabendo que o sinal atinge o seu valor máximo de $12\text{ V}$ no instante $t = 5\text{ s}$, e que cruza o eixo das abcissas (valor $0\text{ V}$) nos instantes $t = 2\text{ s}$ e $t = 8\text{ s}$.

O gráfico apresentado corresponde à função $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partir dos pontos singulares observáveis (zeros e máximo local), monte um sistema de equações e determine os valores dos parâmetros $b$ e $c$.

Determine o domínio de definição da função irracional $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. Para isso, monte e resolva a inequação com valor absoluto correspondente.

Para resolver a equação $|x - 2| + |x - 6| = 8$, dois alunos propõem caminhos distintos:

• Método 1 (analítico por ramos): Estudar o sinal dos binómios na reta real, decompor a expressão em três intervalos ($(-\infty, 2)$, $[2, 6)$ e $[6, +\infty)$), resolver a equação em cada troço e verificar a validade das soluções.

• Método 2 (geométrico de distâncias): Interpretar $|x - a|$ como a «distância entre $x$ e $a$» na reta real, considerando a distância fixa entre os pontos $2$ e $6$.

1. a) Aplica o Método 1: expressa $f(x) = |x - 2| + |x - 6|$ como função definida por ramos e obtém algebricamente as soluções da equação.
2. b) Aplica o Método 2: fundamenta qual é a soma das distâncias a $2$ e a $6$ para qualquer ponto situado dentro do segmento $[2, 6]$ e deduz geometricamente as duas soluções da equação quando essa soma deve ser $8$.
3. c) Escolhe e justifica o método: Se agora te pedirem para resolver a equação $|x - 2| + |x - 6| = 3$, qual dos dois métodos permite dar uma resposta justificada de forma imediata sem realizar operações longas? Explica qual é essa conclusão.

Considera a família de funções quadráticas com valor absoluto dada por $f_k(x) = |x^2 - 4x + k|$, onde $k \in \mathbb{R}$ é uma constante.

1. a) Determina fundamentadamente para que valores do parâmetro $k$ o gráfico de $f_k(x)$ não sofre nenhuma reflexão relativamente ao eixo $X$ (ou seja, coincide em todo o seu domínio com a parábola original $y = x^2 - 4x + k$).
2. b) Justifica, estudando as raízes do polinómio interior, quantos pontos angulosos (bicos no eixo $X$ onde a função muda bruscamente de direção) tem o gráfico de $f_k(x)$ em cada um destes três casos: $k > 4$, $k = 4$ e $k < 4$.
3. c) Problema inverso: Sabendo que a reta horizontal $y = 5$ interseta o gráfico de $f_k(x)$ em exatamente três pontos distintos, deduz de forma justificada o valor do parâmetro $k$ e calcula as coordenadas exatas desses três pontos de interseção.

Desafio do tema. Investiga a procura elétrica no site da Rede Elétrica Nacional (REN) para um dia completo. O teu produto final será um relatório analítico breve realizado com a ajuda do GeoGebra ou de uma folha de cálculo.

1. Dados e derivada: Descarrega os dados horários $D(t)$ de $24$ horas. Modela a curva e identifica domínio, contradomínio e monotonia. Determina e interpreta graficamente os picos e vales de consumo resolvendo $D'(t) = 0$.

2. Composição, inversa e transformações: Se o preço horário médio for $C(x) = 0,15x$ €/MWh, encontra fundamentadamente a função composta $(C \circ D)(t)$. Seleciona um intervalo matinal estritamente crescente para deduzir e interpretar a função inversa $D^{-1}$. Aplica depois uma translação $D(t - 2)$ para simular um atraso nos hábitos de consumo.

3. Paridade e valor absoluto: Centra o eixo temporal nas $12{,}0$ h e verifica formalmente se a curva apresenta paridade (simetria par ou ímpar). Desenha a função de desvio $F(t) = |D(t) - D_{\text{media}}|$, analisando o efeito do valor absoluto sobre os seus pontos críticos.

Será valorizado:

• Rigor na caracterização de $D(t)$ e na interpretação gráfica da função derivada.

• Precisão no cálculo e significado da função composta, da inversa local e da translação.

• Justificação matemática adequada da paridade e do operador valor absoluto.

• Clareza expositiva e correção gráfica nas evidências apresentadas com o GeoGebra.