Exercícios: Derivadas de funções usuais

Calcule a função derivada da seguinte função polinomial:

$f(x) = 4x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 7x^2 - \sqrt{2}x + 5$

Aplique a regra do produto para determinar a derivada da função:

$g(x) = x^3 \ln x$

Determine a função derivada do seguinte quociente de funções:

$h(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$

Calcule a derivada da seguinte função trigonométrica:

$f(x) = 5\sin x - 3\cos x + \tan x$

Aplique a regra da cadeia para derivar a seguinte potência de uma função:

$p(x) = (3x^2 - 5x + 1)^4$

Encontre a função derivada da seguinte função exponencial composta:

$q(x) = e^{4x^3 - 7x}$

Calcule a derivada da função com radical:

$r(x) = \sqrt{5x^2 - 3x + 2}$

Determine a derivada da seguinte função logarítmica composta:

$s(x) = \ln(2x^4 + x^2 - 3)$

A Helena tem de calcular a função derivada de $f(x) = 3^x + \ln(4x)$ e no seu exame escreve o seguinte:

1. a) Localiza os dois erros cometidos pela Helena. Explica detalhadamente por que é incorreto tratar $3^x$ como se fosse uma função potência do tipo $x^n$ e o que omitiu ao aplicar a regra da cadeia no termo logarítmico.
2. b) Apresenta o desenvolvimento analítico correto passo a passo e calcula o valor exato do declive da reta tangente em $x = 1$.

Para calcular a derivada da função $f(x) = \ln\left(\frac{e^{2x}}{x^2 + 1}\right)$, dois colegas discutem que caminho seguir:

• Estratégia A (direta): Aplicar a fórmula geral $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ derivando diretamente a fração através da regra do quociente.

• Estratégia B (simplificação prévia): Aplicar primeiro as propriedades dos logaritmos $(\ln(A/B) = \ln A - \ln B$ e $\ln(e^k) = k)$ para reescrever $f(x)$ antes de derivar termo a termo.

1. a) Desenvolve a derivada utilizando a Estratégia B e expressa o resultado como uma única fração simplificada.
2. b) Justifica qual das duas estratégias é mais conveniente para minimizar o risco de erros algébricos ao derivar funções com logaritmos.

O número de utilizadores ativos de uma rede social emergente, em milhares, em função do tempo $t$ (em meses) é dado pela expressão $U(t) = 50 e^{0,2t^2 - 0,1t}$. Calcule a taxa de crescimento instantânea do número de utilizadores no instante $t = 3$ meses.

A posição de uma massa presa a uma mola amortecida é dada pela função $x(t) = 5 e^{-0,4t} \cos(3t)$, onde $x$ é medido em centímetros e $t$ em segundos. Determine a função velocidade $v(t)$ do oscilador derivando a função posição.

O custo total de produção, em euros, de $q$ unidades de um componente eletrónico de alta precisão é modelado pela função $C(q) = \frac{200q^2 + 500}{q+2}$. Calcule o custo marginal $C'(q)$ quando são produzidas exatamente $q = 10$ unidades.

Aplique reiteradamente a regra da cadeia para obter a função derivada da seguinte função trigonométrica:

$f(x) = \sin^3(2x^2 + \pi)$

Utiliza as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar e determina a derivada da função:

$g(x) = \ln\left(\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}\right)$

Determine a equação da reta tangente à curva definida por $f(x) = x e^{-2x} + \cos(\pi x)$ no ponto de abcissa $x = 0$.

A temperatura $T$ (em graus Celsius) de um motor industrial em função do tempo $t$ (em minutos) após ser desligado segue a lei do arrefecimento de Newton, dada por $T(t) = 25 + 85 e^{-0,05t}$. Calcule e interprete o valor de $T'(10)$, isto é, a velocidade com que a temperatura diminui aos 10 minutos.

Calcule a derivada da seguinte função que combina funções trigonométricas inversas com exponenciais e polinómios:

$h(x) = \arctan(e^x) + \arcsin(2x)$

Considera a função $f(x) = \arctan(3x)$.

1. a) Antes de calcular qualquer derivada, realiza as seguintes estimativas qualitativas raciocinando sobre o gráfico e a definição do arco tangente:

• Que sinal esperas que tenha o declive da reta tangente para qualquer valor de $x$?

• Em qual dos dois pontos, $x = 0$ ou $x = 2$, prevês que a reta tangente tenha maior inclinação (maior declive)?

1. b) Calcula formalmente a função derivada $f'(x)$ e determina os valores exatos de $f'(0)$ e $f'(2)$.
2. c) Verifica se os valores obtidos coincidem com as tuas estimativas e raciocina sobre o que acontece ao valor do declive quando $x$ se torna infinitamente grande ($x \to +\infty$), interpretando o resultado geometricamente.

A partir de registos do Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) durante uma onda de calor em Évora, a temperatura $T$ (em graus Celsius) ao longo de um dia de verão é modelada segundo a função:

onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde a meia-noite ($t \in [0, 24]$).

1. a) Obtém a expressão da taxa de variação instantânea da temperatura, $T'(t)$, indicando com clareza as unidades em que é medida.
2. b) Calcula e interpreta o significado de $T'(10)$ e $T'(16)$. Em qual desses dois instantes a temperatura varia mais depressa?
3. c) Resolve fundamentadamente a equação $T'(t) = 0$ no intervalo $[0, 24]$ e determina a que horas do dia se registam a temperatura mínima e a máxima absoluta, indicando o valor de ambas as temperaturas.

Determine os valores dos parâmetros reais $a$ e $b$ para que a função $f(x) = \frac{ax+b}{x^2+4}$ tenha um extremo relativo no ponto $P(2, 1)$.

Demonstre, utilizando a regra de derivação de um quociente e a identidade fundamental da trigonometria ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), que a derivada da função secante $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ é $f'(x) = \tan x \cdot \sec x$.

Um raio de luz viaja do ponto $A(0, a)$ até ao ponto $B(d, b)$, refletindo-se num espelho plano situado sobre o eixo das abcissas no ponto $P(x, 0)$. A distância total percorrida pela luz é dada pela função $L(x) = \sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{(d-x)^2 + b^2}$. Calcule $L'(x)$ e demonstre que a condição de distância mínima $L'(x) = 0$ implica que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão ($\sin \theta_1 = \sin \theta_2$).

Num modelo epidemiológico, a proporção da população infetada por um vírus ao longo do tempo $t$ (em semanas) segue uma curva logística dada por $I(t) = \frac{1}{1 + 49e^{-0,5t}}$. Calcule a taxa de variação da infeção $I'(t)$ e determine em que semana a doença se propaga com maior rapidez (isto é, o ponto de inflexão onde $I''(t) = 0$).

Determine a expressão geral da derivada de ordem $n$ da função $f(x) = \ln(2x - 1)$.

Determine a equação da reta tangente à curva $f(x) = e^x \cos x$ que seja paralela à reta $y = -e^{\pi} x + 5$, sabendo que o ponto de tangência se encontra no intervalo $[0, 2\pi]$.

O lucro mensal de uma empresa de software, em milhares de euros, é modelado pela função $B(x) = x^2 \ln\left(\frac{10}{x}\right)$, onde $x$ é o investimento em marketing em milhares de euros ($0 < x \le 10$). Calcule o investimento ótimo $x$ que maximiza o lucro e demonstre que se trata de um máximo relativo.

Num estudo biomédico modela-se a concentração no sangue $C(t)$ (em mg/l) de um princípio ativo após ser administrado por via oral mediante uma função da família:

onde $t$ é o tempo decorrido em horas e as constantes $a$ e $k$ são parâmetros reais positivos.

1. a) Determina o valor exato de $a$ e $k$ sabendo que a velocidade inicial de absorção na corrente sanguínea é de $6\text{ mg/(l}\cdot\text{h)}$ (ou seja, $C'(0) = 6$) e que a concentração máxima é atingida exatamente às 2 horas após a ingestão (ou seja, $C'(2) = 0$).
2. b) Com os valores encontrados, calcula a taxa de variação às 4 horas após a toma ($C'(4)$) e interpreta o sinal obtido.
3. c) Demonstra analiticamente que, para qualquer instante $t > 2$, a função derivada verifica estritamente que $C'(t) < 0$, e raciocina sobre que implicação clínica tem este facto na evolução do fármaco.

Dois alunos abordam de forma distinta o cálculo da derivada da função $f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x)$, definida em $[-1, 1]$:

• A Beatriz aplica de forma mecânica as regras da tabela de derivadas para ambas as funções habituais e soma os resultados algébricos.

• O Tomás recorda a propriedade geométrica dos ângulos complementares num triângulo retângulo, segundo a qual $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ para todo o $x \in [-1, 1]$, e deriva a referida constante.

1. a) Desenvolve o procedimento analítico da Beatriz para calcular $f'(x)$ em $(-1, 1)$. O que deduz diretamente qualquer observador a partir da sua derivada sobre o gráfico de $f(x)$?
2. b) Explica como o raciocínio geométrico do Tomás confirma o resultado da Beatriz e compara a eficiência de ambas as abordagens.
3. c) Escolhe e justifica o método mais adequado para calcular a função derivada de $g(x) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ para todo o $x > 0$. Realiza os cálculos e explica que propriedade geométrica revela o valor de $g'(x)$ sobre a função $g$.