Exercícios: Reta tangente a uma curva

Calcule o declive da reta tangente ao gráfico da função $f(x) = x^2 - 3x$ no ponto de abcissa $x = 2$.

Encontra a equação da reta tangente à curva $f(x) = x^2 + 1$ no ponto de abcissa $x = 1$, como o da figura, escrevendo-a na forma $y - f(1) = f'(1) \cdot (x - 1)$.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x) = x^3 - 2x$ no ponto de abcissa $x = 1$.

Em que ponto do gráfico da função $f(x) = x^2 - 4x + 3$ a reta tangente é horizontal? Indique as coordenadas do ponto.

Encontre o ponto da parábola $f(x) = x^2$ no qual a reta tangente é paralela à reta $y = 4x - 1$.

Raciocine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: «A reta tangente a uma curva num ponto não pode voltar a cortar a curva noutro ponto». Se for falsa, dê um contraexemplo com a função $f(x) = x^3$ no ponto de abscissa $x = 1$.

A Marta tenta calcular a equação da reta tangente à curva $f(x) = x^2 - 3x + 2$ no ponto de abcissa $x = 2$. No seu teste escreve o seguinte:

«$f'(x) = 2x - 3$

Equação: $y - f(2) = f'(x)\cdot(x - 2)$

Como $f(2) = 0$, substituo: $y - 0 = (2x - 3)(x - 2)$

Portanto, a reta tangente é $y = 2x^2 - 7x + 6$».

1. a) Identifica o erro conceptual que a Marta comete e explica por que razão o seu resultado final contradiz a própria definição geométrica de reta tangente.
2. b) Corrige o exercício, calculando de forma correta a equação reduzida da reta tangente e a da reta normal em $x = 2$.

Considera a função $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Antes de calcular qualquer derivada, faz as seguintes estimativas qualitativas raciocinando sobre a forma da parábola e o seu vértice:

1. A reta tangente em $x = 1$ terá declive positivo ou negativo? Justifica-o de acordo com a monotonia da função.

2. A reta normal nesse ponto terá declive positivo ou negativo?

3. A ordenada na origem ($n$) da reta tangente será maior ou menor que $4$?

1. b) Calcula algebricamente a equação da reta tangente e a da reta normal ao gráfico em $x = 1$.
2. c) Verifica se os valores numéricos obtidos para o declive e a ordenada na origem confirmam as tuas estimativas da alínea a).

Um ciclista que treina num velódromo percorre $s(t) = 2t^2 + 3t$ metros durante os primeiros $t$ segundos.

1. a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $s(t)$ no instante $t = 2$.

1. b) Que grandeza física representa o declive dessa reta tangente? Indique o seu valor e as suas unidades.

A figura mostra o ramo da hipérbole $f(x) = \frac{1}{x}$ correspondente a $x > 0$ e o ponto de abcissa $x = 2$. Determina a equação da reta tangente nesse ponto e verifica que ela interseta o eixo das ordenadas em $y = 1$.

Encontra a equação da reta tangente à curva $f(x) = \ln x$ no ponto de abcissa $x = 1$. Que relação essa reta tem com os valores de $\ln x$ quando $x$ está muito próximo de $1$?

Encontra os pontos do gráfico de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ nos quais a reta tangente é paralela à reta $y = 9x + 5$ e indica as coordenadas de cada um.

Seja a função $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

1. a) Determine a equação da reta tangente no ponto de abscissa $x = 3$.

1. b) Determine os pontos de interseção dessa reta tangente com os eixos coordenados.

1. c) Calcule a área do triângulo que a reta tangente forma com os dois eixos.

A reta normal a uma curva num ponto é a perpendicular à reta tangente nesse ponto. Encontra as equações da reta tangente e da reta normal à parábola $f(x) = x^2$ no ponto de abcissa $x = 1$.

Uma estação do IPMA na Serra da Estrela regista a temperatura ambiente $T$ (em $^{\circ}\text{C}$) durante um dia de primavera. Entre as $08:00$ e as $18:00$, os dados ajustam-se à função $T(t) = -0,1t^2 + 2,6t - 4,9$, onde $t$ é o tempo em horas decorridas desde a meia-noite ($8 \le t \le 18$).

1. a) Interpreta o significado físico da derivada $T'(a)$ e da reta tangente à curva num instante qualquer $t = a$. Indica em que unidades se mede esse declive.
2. b) Determina a equação da reta tangente ao gráfico da temperatura às $10:00$ da manhã ($t = 10$).
3. c) Utiliza a reta tangente obtida como aproximação linear para estimar a temperatura prevista às $10:15$ ($t = 10,25$). Compara o resultado com o valor exato fornecido pelo modelo $T(10,25)$ e explica por que razão a reta tangente é uma ferramenta útil de previsão a muito curto prazo.

Determina os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da função polinomial $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que cumpre simultaneamente três condições geométricas:

1. O seu gráfico interseta o eixo das ordenadas no ponto $(0, 3)$.

2. A reta tangente à curva no ponto de abcissa $x = 2$ é completamente horizontal.

3. No ponto de abcissa $x = -1$, a reta normal à curva é paralela à reta de equação $x - 6y + 12 = 0$.

Escreve primeiro a tradução matemática de cada condição em termos de $f$ e $f'$, e resolve detalhadamente o sistema resultante.

A partir do ponto $P(0, -4)$, exterior à parábola $f(x) = x^2$ e representado na figura, querem-se traçar retas tangentes à curva.

1. a) Escreva a equação da reta tangente à parábola num ponto genérico de abscissa $x = a$.

1. b) Imponha a condição de que passe por $P$ e encontre as equações das duas retas tangentes possíveis, indicando os pontos de tangência.

Determine o ponto da curva $f(x) = \ln x$ no qual a reta tangente passa pela origem das coordenadas e escreva a equação dessa tangente. (Sugestão: determine a tangente num ponto genérico de abcissa $x = a$ e imponha que passe por $(0, 0)$.)

As parábolas $f(x) = x^2$ e $g(x) = 2 - x^2$ intersectam-se formando um ângulo, que é o ângulo formado pelas suas retas tangentes no ponto de interseção, como mostrado na figura.

1. a) Verifique que as duas curvas se intersectam nos pontos de abscissa $x = -1$ e $x = 1$.

1. b) Calcule os declives das tangentes de ambas as curvas no ponto de abscissa $x = 1$.

1. c) Utilizando a fórmula do ângulo entre duas retas, $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$, determine o ângulo que as duas curvas formam nesse ponto.

Quer-se estimar o valor de $\sqrt{102}$ sem calculadora.

1. a) Determine a equação da reta tangente a $f(x) = \sqrt{x}$ no ponto de abscissa $x = 100$.

1. b) Utilize essa reta para dar uma estimativa de $\sqrt{102}$ com duas casas decimais.

1. c) Sabendo que o valor real arredondado às dez milésimas é $10,0995$, comente se a aproximação pela tangente é por excesso ou por defeito e justifique a que se deve.

Pretende-se determinar as equações das retas tangentes à parábola $f(x) = x^2 - 4x + 5$ que passam pelo ponto exterior $P(2, -3)$ (verifica primeiro que $P$ não pertence à curva). Dois alunos propõem caminhos diferentes:

• Método 1 (Geometria analítica): Escrever o feixe de retas que passa por $P$, $y + 3 = m(x - 2)$, substituir na parábola para formar uma equação do segundo grau em $x$ e impor discriminante nulo ($\Delta = 0$) para exigir tangência.

• Método 2 (Cálculo diferencial): Formular a reta tangente genérica num ponto desconhecido $(a, f(a))$, impor que passe por $P(2, -3)$ e determinar os valores de $a$.

1. a) Aplica o Método 1 e obtém as equações das retas tangentes.
2. b) Aplica o Método 2 e verifica que se alcançam exatamente as mesmas soluções.
3. c) Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois é preferível se a curva fosse $g(x) = x^3 - 2x$ ou $h(x) = e^x$, explicando com precisão por que razão o outro método deixa de ser aplicável ou se torna impraticável.

Considera a família de parábolas $f_k(x) = x^2 + k$, onde $k \in \mathbb{R}$ é uma constante. A partir do ponto exterior $P(0, -1)$, traçam-se retas tangentes à curva.

1. a) Deduz a equação da reta tangente num ponto genérico $(a, f_k(a))$ e impõe que passe por $P(0, -1)$ para obteres uma equação na incógnita $a$.
2. b) Discute fundamentadamente o número de retas tangentes que se podem traçar a partir de $P(0, -1)$ em função dos valores do parâmetro $k$ (distinguindo quando existem duas, uma ou nenhuma).
3. c) Para os valores de $k$ nos quais existem duas retas tangentes distintas, demonstra que essas retas são perpendiculares entre si para um único valor de $k$. Calcula esse valor e as equações reduzidas de ambas as tangentes perpendiculares.