Exercícios: Regras de derivação

Calcule a função derivada de $f(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2} + 2\sqrt{x} - 7$, aplicando as regras básicas de derivação de potências e a linearidade.

Determine a derivada da função $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ recorrendo à regra do produto.

Aplique a regra do quociente para encontrar a derivada da função racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.

Calcule a derivada da função composta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicando corretamente a regra da cadeia.

Encontra a primeira derivada da função logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.

Calcule a derivada da função $f(x) = 3^{2x} + \arctan(x)$, recordando a regra de derivação para exponenciais de base diferente de $e$ e para funções trigonométricas inversas.

Determine a segunda derivada, $f''(t)$, da função $f(t) = \cos(5t) - t^3$.

A Beatriz tem de calcular a função derivada de $h(x) = (3x^2 - 5)^4$. No seu exame escreve o seguinte:

E a partir daí deduz que $h'(1) = 4(3\cdot 1^2 - 5)^3 = 4(-2)^3 = -32$.

1. a) Identifica com precisão que regra de derivação aplicou de forma incompleta e explica pelas tuas palavras que fator se esqueceu de adicionar segundo a regra da cadeia e o que representa conceptualmente esse fator.
2. b) Corrige o procedimento da Beatriz, escreve a expressão correta da função derivada $h'(x)$ e calcula o verdadeiro valor de $h'(1)$.

Propõe-se calcular a função derivada de $f(x) = \frac{6x^4 - 9x^2}{3x^2}$ para todo o $x \ne 0$.

• Método 1: Aplicar diretamente a regra de derivação do quociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

• Método 2: Dividir previamente cada termo do numerador pelo monómio do denominador para reescrever $f(x)$ como um polinómio simples e derivar depois termo a termo.

1. a) Calcula a derivada aplicando ambos os métodos, passo a passo.
2. b) Compara os dois caminhos: qual resulta mais ágil e com menor probabilidade de cometer erros de cálculo ou de sinais? Justifica por que razão o Método 2 só é recomendável quando o denominador é um único monómio.

O número de reproduções diárias de uma música que se tornou viral evolui segundo a função $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, onde $t$ é medido em dias desde o seu lançamento e $R(t)$ em milhares de reproduções. Calcule a taxa de variação instantânea $R'(t)$ aplicando as regras de derivação e indique a sua expressão fatorizada ao máximo.

O custo médio de produção de um componente eletrónico de alta precisão é dado por $C(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x}$, onde $x$ é o número de lotes fabricados ($x > 0$). Determine a função que descreve o ritmo de variação do custo médio, $C'(x)$.

A temperatura de um forno industrial depois de ser desligado desce segundo a lei de arrefecimento $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, com $T$ em graus Celsius e $t$ em horas. Determina a expressão da taxa de arrefecimento $T'(t)$ usando a regra da derivação da função composta.

O perfil da cobertura de um estádio olímpico segue a curva plana dada por $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, em metros. Calcule a equação geral da reta tangente no ponto de abscissa $x = 5$ para projetar um suporte estrutural retilíneo que se apoie tangencialmente nesse ponto.

Um braço robótico articulado move-se de tal forma que o ângulo da sua articulação principal (em radianos), em função de um parâmetro de controlo $x$, é $\theta(x) = \arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ para $x > 1$. Obtenha e indique a forma completamente simplificada de $\theta'(x)$.

A posição de um êmbolo pneumático dentro de um cilindro é descrita pela equação de movimento $s(t) = \ln(1 + t^2)$, onde $s$ está em decímetros e $t$ em segundos. Calcule a expressão da aceleração do êmbolo, que corresponde à segunda derivada $s''(t)$, e determine em que instante $t > 0$ essa aceleração se anula.

Uma placa solar fotovoltaica instalada numa habitação em Faro sofre uma ligeira dilatação térmica durante as horas centrais do dia. A sua largura em metros varia segundo a função $a(t) = 1 + 0,02t$, e o seu comprimento segundo $l(t) = 2 + 0,05t$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas desde as 11:00 ($t \ge 0$). A superfície de captação é dada por $S(t) = a(t) \cdot l(t)$.

1. a) Antes de derivar, estima de forma fundamentada se a velocidade instantânea de aumento da área em $t = 0$ ($S'(0)$) será maior, menor ou igual à soma das velocidades a que crescem os seus lados ($a'(0) + l'(0) = 0,02 + 0,05 = 0,07\text{ m}^2/\text{h}$). Apoia a tua conjetura na interpretação geométrica da regra do produto (o crescimento de um retângulo repartido em duas faixas).
2. b) Aplica a regra do produto para calcular a função derivada $S'(t)$ e avalia exatamente o valor de $S'(0)$.
3. c) Verifica se a tua estimativa inicial estava correta e fundamenta como intervêm as dimensões iniciais ($a(0) = 1\text{ m}$ e $l(0) = 2\text{ m}$) no ritmo global de crescimento da superfície.

Durante um episódio de precipitação contínua de outono, o volume de água armazenado numa albufeira da bacia do rio Tejo evolui em função do tempo segundo o modelo:

onde $V(t)$ representa o volume adicional armazenado em hectómetros cúbicos ($\text{hm}^3$) e $t$ é o tempo decorrido em dias desde o início do temporal ($t \ge 0$).

1. a) Aplica a regra do quociente para obter a função derivada $V'(t)$ e simplifica ao máximo o numerador da fração resultante.
2. b) Determina em que dia $t$ a taxa instantânea de enchimento se anula ($V'(t) = 0$). Analisa o sinal de $V'(t)$ antes e depois desse dia e interpreta o que acontece fisicamente com o volume da albufeira.
3. c) Calcula a velocidade de variação do volume em $t = 2$ dias e em $t = 6$ dias. Indica as unidades em que se mede esta derivada e interpreta o significado físico do seu sinal em ambos os instantes.

A trajetória de um satélite durante uma complexa manobra orbital é descrita num plano de referência através da curva definida de forma implícita pela equação $x^2 y - 3y^3 x = 10$. Calcula o valor do declive da trajetória, $y'$, no ponto de coordenadas $(-2, 1)$.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções cujos gráficos se mostram na figura. O gráfico de $f$ é a parábola $f(x)=-x^2+6x-3$, que passa pelos pontos $(2,\,5)$ e $(4,\,5)$. O gráfico de $g$ é a reta que passa pelos pontos $(2,\,4)$ e $(4,\,2)$. Definem-se a função composta $h(x)=f(g(x))$ e a função produto $p(x)=f(x)\cdot g(x)$.

Calcula os valores exatos de:

1. a) $h'(2)$

1. b) $p'(4)$

A intensidade de um sinal eletromagnético atenuado ao atravessar um meio denso segue a função $I(x) = x e^{-x}$. Calcule as três primeiras derivadas $I'(x)$, $I''(x)$ e $I'''(x)$ e, a partir dos resultados obtidos, deduza e escreva a fórmula geral para a derivada de ordem n $I^{(n)}(x)$.

Num circuito RLC de corrente alternada, a carga do condensador é dada pela função $q(t) = e^{-\alpha t} (A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t))$. Demonstre, calculando detalhadamente $q'(t)$ e $q''(t)$, que, para as constantes $A=1$, $B=0$, $\alpha=2$ e $\omega=3$, a função satisfaz a equação diferencial de segunda ordem:

O nível de pressão sonora numa câmara anecoica, após a aplicação de um filtro de frequências, é dado pela função:

Demonstre, utilizando as propriedades dos logaritmos antes de derivar e aplicando identidades trigonométricas no resultado final, que $L'(x) = \frac{2}{\cos(2x)}$.

Sabe-se que uma função $h(x)$ é definida pelo produto $h(x) = x^2 \cdot g(x)$, onde $g(x)$ é uma função derivável em todo o $\mathbb{R}$ cuja expressão algébrica não se conhece de forma direta. No entanto, comprovou-se experimentalmente que a reta tangente ao gráfico de $h(x)$ no ponto de abcissa $x = 3$ tem por equação $y = 12x - 9$.

1. a) A partir da equação da reta tangente, deduz de forma justificada os valores numéricos exatos de $h(3)$ e da derivada $h'(3)$.
2. b) Aplica a regra do produto à expressão $h(x) = x^2 \cdot g(x)$ para formular uma relação algébrica entre $h'(3)$, $g(3)$ e $g'(3)$. Isola e calcula o valor numérico exato de $g(3)$ e de $g'(3)$.
3. c) A partir do sinal obtido para $g'(3)$, fundamenta se a função $g(x)$ é crescente ou decrescente na vizinhança de $x = 3$.
4. d) Com os resultados deduzidos, escreve a equação da reta tangente ao gráfico de $y = g(x)$ no ponto de abcissa $x = 3$.

Nos apontamentos fundamenta-se que um quociente equivale ao produto $\frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$, de modo que a sua derivada surge da combinação da regra do produto com a da cadeia.

1. a) Realiza formalmente essa dedução: deriva a expressão $f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$ aplicando a regra do produto e a da cadeia sobre $[g(x)]^{-1}$, coloca em evidência o fator comum $[g(x)]^{-2}$ e demonstra que se obtém exatamente a fórmula habitual: $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$.
2. b) Generaliza o raciocínio: demonstra que a derivada de uma função da forma $H(x) = \frac{f(x)}{[g(x)]^n}$ (onde $n \in \mathbb{N}$) pode ser expressa diretamente como:

1. c) Aplica a fórmula deduzida na alínea b para determinar a derivada de $k(x) = \frac{2x - 1}{(x^2 + 3)^3}$.
2. d) Escolhe e justifica: compara este procedimento com a utilização da regra do quociente tradicional sobre $k(x)$ e fundamenta por que razão a fórmula generalizada evita simplificações trabalhosas de fatores repetidos no numerador e no denominador.