Exercícios: Derivada de um polinômio

Calcule a função derivada da seguinte função polinomial: $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.

Dada a função que descreve a trajetória de uma partícula $s(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2$, onde $s$ é medido em metros e $t$ em segundos, determine a expressão da sua velocidade instantânea $v(t)$.

Determine o valor da derivada da função $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ no ponto de abcissa $x = -1$.

Determine os pontos singulares (aqueles em que a derivada se anula) da função quadrática $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.

Calcule a segunda derivada, $f''(x)$, da função polinomial $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.

O custo de produção, em euros, para fabricar $x$ unidades de um produto artesanal é dado por $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$. Determine a função custo marginal, $C'(x)$.

Determine o declive da reta tangente à curva $y = x^3 - 5x + 2$ no ponto em que ela interseta o eixo das ordenadas.

Calcule a derivada da função $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ realizando primeiro o produto dos polinómios.

Num trabalho de aula, o Carlos tinha de derivar a função polinomial $f(x) = 4x^3 - 7x + 5^2$. No seu caderno escreveu o seguinte procedimento:

1. a) Localiza e explica detalhadamente o erro concetual que o Carlos cometeu ao derivar o termo $5^2$. Porque não é correto aplicar a regra da potência $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ a uma base constante?
2. b) Escreve a expressão correta da função derivada $f'(x)$.
3. c) Calcula o valor de $f'(2)$ e interpreta o seu significado geométrico relativamente à reta tangente à curva em $x = 2$.

Um relatório meteorológico do IPMA modela a temperatura $T$ (em graus Celsius) registada numa localidade durante uma manhã limpa através do polinómio $T(t) = -0,5t^2 + 5t + 10$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas desde as 7:00 ($0 \le t \le 8$).

1. a) Sem calcular a derivada ainda, estima de forma fundamentada se às 9:00 ($t = 2$) a temperatura estará a aumentar de forma notória ou a diminuir, baseando-te na evolução natural do dia e nos sinais dos coeficientes do polinómio.
2. b) Determina a função derivada $T'(t)$ e calcula a taxa de variação instantânea exata às 9:00 ($t = 2$), indicando claramente as suas unidades de medida ($^{\circ}\text{C}/\text{h}$).
3. c) Verifica se o valor numérico e o sinal obtidos confirmam a tua estimativa prévia e explica que significado físico teria o facto de a derivada ser exatamente $0$.

O perfil de um cabo de uma ponte suspensa aproxima-se por meio da parábola $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$, onde $x$ e $y$ são medidos em metros. Calcule o declive do cabo no ponto situado a $40$ metros da origem.

Encontra as coordenadas dos pontos do gráfico da função $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ nos quais a reta tangente é paralela à bissetriz do primeiro quadrante.

O número de utilizadores registados numa aplicação de produtividade, em milhares, evolui segundo a função $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, onde $t$ é o tempo em meses desde o seu lançamento. Determine a taxa de crescimento do número de utilizadores no instante $t = 5$ meses e indique se, nesse momento, o ritmo de crescimento está a aumentar ou a diminuir.

Determina os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a parábola $y = ax^2 + bx + 5$ passe pelo ponto $(1, 2)$ e tenha nesse ponto uma reta tangente com declive igual a $-1$.

Um projétil é lançado verticalmente para cima. A sua altura, em metros, após $t$ segundos é dada por $h(t) = -4,9t^2 + 29,4t + 1,5$. Calcule o tempo que ele leva para atingir a sua altura máxima, sabendo que, nesse ponto, a sua velocidade instantânea é nula.

Encontra a equação da reta tangente à função $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ no seu vértice.

O nível de poluição sonora num cruzamento urbano das 8:00 às 18:00 horas é modelado pela função $N(t) = 0,1t^3 - 1,5t^2 + 6t + 60$, onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde as 8:00. Determine o instante $t$ em que o nível de ruído diminui mais rapidamente.

Encontra a abcissa dos pontos da curva $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x$ onde a reta tangente forma um ângulo de $45^\circ$ com o semieixo positivo das abcissas.

Para localizar os pontos com tangente horizontal da curva polinomial $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8$, dois alunos propõem caminhos distintos:

• O Hugo propõe resolver a equação $f(x) = 0$ para encontrar os pontos de interseção com o eixo horizontal e assumir que os pontos singulares estarão exatamente no ponto médio de cada par de interseções consecutivas, baseando-se na simetria de que se lembrava das parábolas.

• A Irene propõe calcular a função derivada $f'(x)$ e resolver diretamente a equação $f'(x) = 0$.

1. a) Compara criticamente ambas as abordagens: justifica por que razão a estratégia do Hugo não é válida para este polinómio cúbico e esclarece para que tipo específico de polinómio funcionaria a sua intuição geométrica.
2. b) Aplica o método correto para encontrar as abcissas de todos os pontos singulares de $f(x)$.
3. c) Calcula as coordenadas completas $(x, y)$ desses pontos singulares e classifica-os fundamentadamente (máximo ou mínimo relativo) estudando o sinal de $f'(x)$ à esquerda e à direita de cada um.

A partir dos registos da Red Eléctrica de España (REE), a potência solar fotovoltaica gerada na rede peninsular durante as horas centrais de um dia de primavera pode ser aproximada através da função cúbica:

onde $P(t)$ é a potência gerada em gigawatts ($\text{GW}$) e $t$ é a hora solar do dia, válida no intervalo $10 \le t \le 16$.

1. a) Modela o ritmo de variação instantâneo da produção solar obtendo a função derivada $P'(t)$. Especifica em que unidades físicas se mede $P'(t)$.
2. b) Avalia $P'(12)$ e $P'(15)$. A partir do sinal e do valor obtido em cada caso, interpreta o que acontece com a geração de energia solar às 12:00 e às 15:00.
3. c) Determina a que hora exata do dia o ritmo de variação da produção se anula ($P'(t) = 0$) atingindo o pico máximo solar do dia, e calcula a potência máxima gerada nesse momento.

Determine os coeficientes $a, b, c, d$ da função polinomial do terceiro grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabendo que passa pela origem do referencial, tem um ponto singular em $x = 2$ e apresenta um ponto de inflexão em $(1, -2)$.

Uma empresa fabrica e vende $x$ unidades de um artigo tecnológico. A função receita é dada por $I(x) = 1200x - 2x^2$ e a função custo total é $C(x) = x^3 - 15x^2 + 400x + 1500$. Determine o número de unidades que devem ser produzidas para maximizar o lucro e calcule esse lucro máximo.

Determina as equações das retas tangentes à parábola $y = x^2 - 2x + 3$ que passam pelo ponto exterior $P(1, -2)$.

Dois veículos de teste deslocam-se em linha reta. As suas posições em relação a um ponto de referência são dadas por $s_1(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ e $s_2(t) = 2t^2 - 4t + 10$, com $t \ge 0$ em segundos e $s$ em metros. Determine em que instantes ambos os veículos se deslocam com a mesma aceleração e calcule a distância que os separa nesse momento.

Encontra a equação de uma parábola da forma $y = ax^2 + bx + c$ sabendo que é tangente à reta $y = -2x + 5$ no ponto de abcissa $x = 1$ e que passa pelo ponto $(-1, 15)$.

Um estudo ambiental modela a concentração de um poluente num lago pela função $C(t) = -0,05t^4 + 0,8t^3 - 3,6t^2 + 10$, onde $t$ representa os meses decorridos desde o início do ano. Descubra em que meses a concentração do poluente está a aumentar e em quais está a diminuir.

Demonstre matematicamente que a função polinomial $f(x) = x^3 + 2x + 5$ é estritamente crescente em todo o seu domínio $\mathbb{R}$ e, portanto, não tem nenhuma reta tangente que seja paralela ao eixo das abcissas.

Dadas as parábolas $f(x) = x^2$ e $g(x) = -x^2 + 8x - 16$, determine as equações de todas as retas que são tangentes a ambas as curvas simultaneamente.

Pretende-se reconstruir a expressão analítica de um polinómio $P(x)$ de terceiro grau cujos coeficientes não são conhecidos, mas do qual se dispõe da seguinte informação sobre o seu comportamento e derivadas:

1. A sua segunda derivada é $P''(x) = 6x - 12$.

2. Apresenta um ponto singular na abcissa $x = 1$.

3. Nesse ponto singular, a função toma o valor $P(1) = 8$.

1. a) Sabendo que ao derivar sucessivamente um polinómio o seu grau diminui uma unidade em cada passo, deduz pelo caminho inverso a expressão geral de $P'(x)$ a partir de $P''(x)$ e determina a constante desconhecida utilizando a condição do ponto singular.
2. b) Seguindo o mesmo raciocínio inverso, recupera a fórmula completa de $P(x)$ determinando o seu termo independente com o dado $P(1) = 8$.
3. c) Demonstra que este polinómio possui um segundo ponto singular, determina as suas coordenadas $(x, y)$ e classifica ambos os pontos singulares (como máximo ou mínimo local) justificando-o através do sinal da segunda derivada $P''(x)$ em cada abcissa.

Num debate sobre as propriedades das funções cúbicas, o Sérgio formula a seguinte afirmação: «Como a função derivada de qualquer polinómio de terceiro grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (com $a \neq 0$) é um polinómio de segundo grau, e segundo a fórmula resolvente as equações de segundo grau têm duas soluções, todo o polinómio de terceiro grau tem obrigatoriamente dois pontos singulares».

1. a) Refuta com rigor o argumento do Sérgio explicando que erro comete sobre as soluções de uma equação de segundo grau no conjunto dos números reais. Constrói um contraexemplo explícito de polinómio de terceiro grau (com coeficientes numéricos simples) que não tenha nenhum ponto singular e demonstra-o através da sua derivada.
2. b) Considera a família de polinómios dependentes do parâmetro real $k$:

Calcula a derivada $g'(x)$ e determina fundamentadamente para que valores do parâmetro $k$ a função $g(x)$:

• Possui exatamente dois pontos singulares distintos.

• Possui um único ponto singular com tangente horizontal.

• É estritamente crescente em todo o $\mathbb{R}$ por não ter nenhum ponto singular.