Exercícios: Interpretação gráfica da derivada

Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x) = x^2 - 4x + 5$ no ponto de abcissa $x = 3$.

Determine a equação da reta normal à curva $f(x) = x^3 - 2x$ no ponto de abcissa $x = -1$.

Encontra as coordenadas dos pontos da curva $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ nos quais a reta tangente é horizontal.

Observe o gráfico da função $f(x)$ e a reta tangente traçada no ponto de abcissa $x = 1$. A partir das coordenadas dos pontos $A$ e $B$ indicados sobre a reta, determine o valor da derivada $f'(1)$.

Observe o gráfico da função polinomial $f(x)$. Sem calcular a sua expressão analítica, determine o sinal da derivada $f'(x)$ nos pontos de abcissa $x = -2$, $x = 0$ e $x = 2$, indicando se nesses pontos a função é crescente ou decrescente.

Encontra a equação da reta tangente ao gráfico da função racional $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ no ponto exato onde esse gráfico interseta o eixo das ordenadas.

A figura mostra o gráfico de uma função quadrática $f(x)$. A partir dos seus elementos geométricos visíveis (vértice e pontos de interseção), deduza a expressão analítica da sua função derivada $f'(x)$.

Determine em que ponto exato do gráfico da função com radicais $f(x) = \sqrt{x+4}$ a reta tangente tem um declive igual a $m = \frac{1}{4}$.

O Marcos tem de determinar a equação da reta normal ao gráfico da função $f(x) = x^2 - 4x + 6$ no ponto de abcissa $x = 3$. No seu teste, escreve o seguinte procedimento:

«1. Calculo a ordenada do ponto: $f(3) = 3^2 - 4\cdot 3 + 6 = 3$. O ponto de tangência é $(3, 3)$.

1. Determino a função derivada: $f'(x) = 2x - 4$, pelo que o declive da reta tangente é $f'(3) = 2\cdot 3 - 4 = 2$.

2. Como a reta normal é perpendicular à tangente, o seu declive é o oposto, ou seja, $m_{\text{normal}} = -2$.

3. Aplico a equação ponto-declive: $y - 3 = -2\cdot(x - 3) \implies y = -2x + 9$.»

1. a) Identifica o erro concetual que o Marcos cometeu no passo 3 e explica a relação geométrica correta entre os declives de duas retas perpendiculares quando nenhuma delas é horizontal nem vertical.
2. b) Corrige o procedimento e calcula a equação correta da reta normal.

Dada a função quadrática $f(x) = -x^2 + 4x - 1$:

1. a) Sem utilizar derivadas, determina as coordenadas do vértice da parábola e a sua orientação (para cima ou para baixo). A partir da posição relativa da abcissa $x = 3$ em relação ao vértice, estima de forma fundamentada se o declive da reta tangente em $x = 3$ deve ser positivo, negativo ou nulo, e que sinal esperarias para o declive da reta normal.
2. b) Calcula analiticamente, através da derivada, as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x = 3$.
3. c) Verifica se os resultados analíticos confirmam as tuas estimativas da alínea a) e deduz, observando a ordenada na origem da reta tangente obtida, se essa reta interseta o eixo $Y$ acima ou abaixo do vértice da parábola.

A trajetória de um drone de inspeção num plano vertical segue a curva definida por $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, onde $x$ e $y$ são medidos em metros. Determine em que pontos do seu percurso a direção do seu movimento é paralela à reta de equação $y = -3x + 5$.

Um arquiteto está a projetar o arco principal de uma ponte que segue a forma de uma parábola de equação $f(x) = ax^2 + bx + c$. Sabe-se que o arco passa pelo ponto $(0, 5)$ e que no ponto $(2, 9)$ a reta tangente tem por equação $y = 4x + 1$. Calcule os valores exatos dos parâmetros $a$, $b$ e $c$.

Um raio de luz incide sobre um espelho parabólico cuja secção transversal corresponde à função $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Se o raio incide no ponto de abcissa $x = 2$, determine a equação da reta normal à superfície nesse ponto (a qual é fundamental na ótica geométrica para calcular o ângulo de reflexão).

A figura mostra o gráfico da função derivada $f'(x)$ de uma certa função polinomial $f(x)$. A partir dele, determine analiticamente os intervalos de crescimento e decrescimento da função original $f(x)$, e indique as abcissas nas quais $f(x)$ apresenta os seus extremos relativos.

O número de inscritos num canal de ciência numa plataforma de vídeo cresce segundo a função exponencial $S(t) = 500 e^{0,2t}$, onde $t$ é medido em semanas. Determine a equação da reta tangente à curva no instante $t = 5$ e utilize-a para estimar de forma linear o número de inscritos em $t = 6$.

Determine as coordenadas dos pontos da curva definida por $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + 1$ nos quais a sua reta tangente forma um ângulo exato de $45^\circ$ com o semieixo positivo das abcissas.

Dadas as funções polinomiais $f(x) = x^2 - 3x + 2$ e $g(x) = -x^2 + 7x - 6$, determine primeiro os pontos de interseção dos respetivos gráficos. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)$ no ponto de interseção que tiver maior abcissa.

No projeto de uma estrada de montanha, um troço reto dado pela equação $y = 2x$ (para $x \le 1$) deve unir-se suavemente a outro troço reto de equação $y = -x + 6$ (para $x \ge 3$) por meio de uma curva de transição parabólica $f(x) = ax^2 + bx + c$ definida estritamente no intervalo $[1, 3]$. Calcule os valores de $a$, $b$ e $c$ para que a estrada seja contínua e diferenciável em ambos os pontos de ligação ($x=1$ e $x=3$).

Durante um dia de onda de calor em Évora, o Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) regista a evolução da temperatura ambiente $T$ (em graus Celsius, $^{\circ}\text{C}$) entre as 10:00 e as 18:00 horas solares ($t \in [10, 18]$), a qual é modelada através da função:

1. a) Obtém a expressão da função derivada $T'(t)$ e interpreta o seu significado físico em termos de taxa de variação instantânea da temperatura.
2. b) Determina a equação da reta tangente ao gráfico de $T$ em $t = 12$ e em $t = 16$.
3. c) A partir do sinal do declive de cada uma dessas duas tangentes, fundamenta se a temperatura estava a subir ou a descer nesses instantes e calcula a que hora solar exata ocorreu a temperatura máxima do dia, justificando por que razão a reta tangente nesse ponto é forçosamente horizontal.

Considera-se a função cúbica $f(x) = x^3 + a\cdot x + b$, onde $a$ e $b$ são números reais desconhecidos.

1. a) Determina os valores de $a$ e $b$ sabendo que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x = 1$ é $y = 5x - 7$. Justifica detalhadamente as duas condições independentes (uma de contacto ou pertença e outra de derivabilidade) que deves estabelecer.
2. b) Uma vez fixada a função com os coeficientes obtidos, averigua se existe algum outro ponto no gráfico de $f$ cuja reta tangente seja paralela à reta dada $y = 5x - 7$. Se existir, calcula as suas coordenadas e a equação dessa reta tangente.

Encontra as equações de todas as retas tangentes à curva $f(x) = x^2 - 2x + 3$ que passam pela origem do referencial $(0,0)$. Nota: tem em consideração que a origem não pertence à curva.

Determine os valores exatos dos parâmetros $a$, $b$, $c$ e $d$ para que a função cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tenha um extremo relativo no ponto $(0, 2)$ e a sua reta tangente no ponto $(1, 0)$ seja estritamente paralela à reta $y = -3x$.

Demonstre algebricamente que o gráfico da função racional $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x-1}$ não tem em todo o seu domínio nenhuma reta tangente que seja paralela à reta de equação $y = 2x$.

Calcule a área exata do triângulo formado pelo eixo das abcissas, a reta tangente e a reta normal à curva logarítmica $f(x) = \ln(x)$ no ponto de abcissa $x = e$.

Determine para que conjunto de valores do parâmetro $k$ a função racional $f(x) = \frac{x^2 + kx + 1}{x-2}$ não tem retas tangentes horizontais em nenhum ponto do seu domínio.

Os gráficos das funções quadráticas $f(x) = x^2 + ax + b$ e $g(x) = -x^2 + 2x - 1$ são tangentes entre si no ponto de abcissa $x = 1$ (isto é, partilham o mesmo ponto e a mesma reta tangente nesse ponto). Calcule os valores de $a$ e $b$, e indique a equação dessa reta tangente comum.

A figura representa o gráfico da função derivada $f'(x)$ (composta por dois segmentos retos) de uma função contínua $f(x)$. Com base exclusivamente nesse gráfico, identifique as abcissas dos extremos relativos de $f(x)$, classificando-os em máximos ou mínimos, e indique a abcissa do ponto de inflexão da função original.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Seja a função $f(x) = x^3 - 3x^2 + kx$. Determine o valor do parâmetro $k$ sabendo que a reta tangente ao gráfico de $f(x)$ no seu ponto de inflexão é paralela à reta bissetriz do segundo e quarto quadrantes.

Pretende-se calcular as equações das retas tangentes à curva $f(x) = x^2 + 1$ que passam pelo ponto exterior $P(1, -2)$. Dois estudantes propõem estratégias distintas:

• Método da Laura (abordagem diferencial): Considera um ponto genérico de tangência $T(a, f(a))$ sobre a curva, escreve a equação da reta tangente em função de $a$ utilizando a derivada, e impõe que o ponto $P(1, -2)$ satisfaça essa equação para determinar os possíveis valores de $a$.

• Método do Sérgio (abordagem algébrica): Escreve o feixe de retas que passam por $P(1, -2)$, dado por $y - (-2) = m\cdot(x - 1)$, iguala a sua expressão à da parábola para estabelecer o sistema de interseção ($x^2 + 1 = m(x - 1) - 2$) e exige que o discriminante da equação de segundo grau resultante seja zero ($\Delta = 0$) para forçar um único ponto de contacto duplo.

1. a) Resolve o problema aplicando ambos os métodos e verifica que conduzem exatamente às mesmas retas tangentes.
2. b) Compara criticamente ambos os métodos e responde de forma fundamentada: se a função dada fosse $g(x) = x^3 - 2x$ em vez de uma função quadrática, qual dos dois métodos deixaria de ser diretamente aplicável e por que razão concetual?

Determina os coeficientes reais $a$, $b$, $c$ e $d$ da função polinomial $f(x) = a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$ sabendo que satisfaz simultaneamente as seguintes três condições:

1. A reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x = 0$ tem por equação $y = 2x - 1$.

2. A reta normal ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x = 1$ é paralela à reta de equação $x + 8y = 0$.

3. O gráfico de $f$ passa pelo ponto $(2, 3)$.

Após determinares a expressão analítica definitiva de $f(x)$:

1. a) Justifica que informação geométrica direta fornecem a ordenada na origem e o declive da reta tangente dada na condição 1 relativamente aos coeficientes $c$ e $d$.
2. b) Deduz analiticamente se existe algum outro ponto no gráfico de $f$ onde a reta tangente tenha exatamente o mesmo declive que em $x = 0$ e, se for o caso, calcula a abcissa desse ponto.